Przekształcenia wykresu funkcji

Funkcje, Przekształcanie wykresów funkcji

Wstęp

Bardzo przydatną umiejętnością podczas wykreślania funkcji jest znajomość elementarnych przekształceń jej wykresu, jak przesuwanie bądź skalowanie w pionie i poziomie. Z tą wiedzą okazuje się, że narysowanie wykresu dowolnie skomplikowanej funkcji przy znajomości kształtu jej podstawowej postaci sprowadza się do kilku elementarnych operacji graficznych w układzie współrzędnych

Przesuwanie funkcji w pionie

Jeśli znamy wykres funkcji f(x), możemy stosunkowo łatwo określić przebieg wykresu funkcji z nią spokrewnionych f(x+a) oraz f(x)+a. zajmijmy się najpierw przesunięciem w pionie, czyli przypadkiem f(x)+a.

Znając wykres f(x), wykres f(x)+a wyznaczamy przesuwając f(x) o a jednostek wzdłuż osi OY (w górę dla dodatnich a, w dół dla ujemnych), lub mówiąc inaczej - o wektor :

Przesuwanie funkcji w poziomie

Rozpatrzmy teraz drugi przypadek, tj. f(x+a).

Chcąc wyznaczyć wykres f(x+a) przesuwamy wykres f(x) o a jednostek wzdłuż osi OX (w lewo dla dodatnich a, w prawo dla ujemnych), lub mówiąc inaczej - o wektor m]\vec{u}[-a,0][/m]

Skalowanie funkcji w pionie

Kolejne przydatne przekształcenia wykresu f(x) to jego skalowanie względem stałej niezerowej wartości a·f(x) i f(a·x)

Najpierw zajmiemy się tzw. skalowaniem w pionie, czyli przypadkiem a·f(x). znając wykres funkcji f(x), wykres a·f(x) wyznaczamy skalując funkcję f(x) a razy wzdłuż osi OX (tzn punkty leżące na tej osi - m zerowe jeśli takie występują, jako jedyne nie zmieniają położenia). Zaznaczmy od razu, że mnożenie przez wartość ujemną zmienia znak, a więc dla ujemnyh a, poza zmianą skali wykresu, będzie on "odbity do góry nogami" względem osi OX:

Z powyższych wynika, że przeskalowanie w pionie dla a=-1 powoduje uzyskanie obrazu f(x) w symetrii osiowej względem osi OX:

Skalowanie funkcji w poziomie

Pozostał przypadek skalowanie funkcji w poziomie, czyli f(a·x). Zasady są tu podobne to skalowania pionowego

Znając wykres funkcji f(x), wykres f(a·x) wyznaczamy skalując funkcję f(x) a razy wzdłuż osi OY (tzn punkty leżące na tej osi, jeśli występują, jako jedyne nie zmieniają położenia). Podobnie w tym wypadku, mnożąc przez ujemne a, zmiana skali pociągnie lustrzane odbicie f(x) względem OY:

Z powyższych wynika, że przeskalowanie w poziomie dla a=-1 powoduje uzyskanie obrazu f(x) w symetrii osiowej względem osi OY:

Kolejność przekształcania funkcji

Poznawszy elemtarne przekształcenia wykresu funkcji, zastanówmy się nad przypadkami połączenia wielu tych przekształceń dla 1 funkji.

Obowiązują tu zasady kolejności jak dla działań na liczbach, tzn:

• w pierwszej kolejności przekształcenia w nawiasach (uwaga - nie chodzi tu o nawias we wzorze funkcji f(x)

• następnie skalowanie funkcji w pionie, poziomie - wg kolejności we wzorze

• na końcu przesuwanie funkcji w pionie, poziomie - wg kolejności we wzorze

A więc, dla przekształcenia , najpierw rozpatrujemy przekształcenie w nawiasie kwadratowym, tj. . Jest to połączenie skalowania w poziomie   oraz przesuwania funkcji w pionie. Najpierw musimy więc przeskalować f(x) w poziomie, następnie przesunąć w pionie o 2 jednostki i tak uzyskamy przekształcenie w nawiasie. W ostatnim kroku, cały ten wykres mnożymy przez wartość -1 (będzie więc „odbity” względem osi OX)