Wykresy pewnych funkcji

elementarnych

3. Funkcja wykładnicza

Każdą funkcję postaci f(x)=a

x

, gdzie

a



R

+

=(0;+



) i x



R

nazywamy

funkcją wykładniczą –

)

;

0

(

:

1

1







na

R

f

• a



(0,1)

Wykres przechodzi przez (0,1) oraz (1,a) ; funkcja
różnowartościowa,

malejąca,

ograniczona z dołu.

x

y 2



2

1

2

1

x

x

a

a

x

x







2

1

x

x

a

a 

2

1

x

x 



x

y















2

1

• a



(1,



)

Wykres przechodzi przez (0,1) oraz (1,a)

Funkcja różnowartościowa, rosnąca, ograniczona
z dołu.

2

1

2

1

x

x

a

a

x

x







2

1

x

x

a

a 

2

1

x

x 



4. Funkcja logarytmiczna

Każdą funkcję postaci f(x)=log

a

x , gdzie

a



(0;+



)\{1} i x



R

+

nazywamy

funkcją

logarytmiczną –

R

f

na

1

1

)

;

0

(

:







• a



(0,1)

Wykres przechodzi przez (1,0), (a,1). Funkcja
różnowartościowa, malejąca, nie ograniczona

2

1

2

1

log

log

x

x

x

x

a

a







2

1

log

log

x

x

a

a



2

1

x

x 



x

y

2

1

log



• a



(1,



)

Wykres przechodzi przez (1,0), (a,1). Funkcja
różnowartościowa, rosnąca, nie ograniczona

2

1

2

1

log

log

x

x

x

x

a

a







2

1

log

log

x

x

a

a



2

1

x

x 



x

y

3

log



UWAGA:

Funkcje y=a

x

i y=log

a

x są wzajemnie odwrotne.

x

y ln



x

e

y 

5. Funkcje trygonometryczne

• y=sinx
• y=cosx
• y=tgx
• y=ctgx

Proszę przypomnieć sobie własności i wykresy tych
funkcji !



2

x

y sin





2

x

y cos



1

-
1

1

-
1



2

tgx

y 



2

ctgx

y 

/

2

-/2

6. Funkcje cyklometryczne

Funkcje trygonometryczne rozważane w swoich
dziedzinach nie są różnowartościowe, nie są
więc odwracalne, ale zwężone do przedziałów w
których są monotoniczne stają się bijekcjami –
mają funkcje odwrotne.

Funkcje odwrotne do f. trygonometrycznych
(odpowiednio zawężonych) nazywa się

funkcjami

cyklometrycznymi (kołowymi).

2



2





2





2



1

;

1

2

;

2

:

sin

1

1

2

;

2

/











na

x









-1

1

2

;

2

1

;

1

:

arcsin











na

x

2





2



-1

1

Arcus sinus.

Funkcję y=sinx zawężamy do przedziału

.

2

;

2







2

x

y cos



1

-
1



Arcus cosinus.

Funkcję y=cosx zawężamy do przedziału

.



;

0



2



1













1

,

1

;

0

:

cos

1

1

;

0

/

na

x





-1



;

0

1

,

1

:

arccos

na

x









2





-1

1

Arcus tangens.

Funkcję y=tgx zawężamy do przedziału

.











 

2

;

2





R

tgx

na

1

1

2

;

2

/

2

;

2

:

















 



















 



2

;

2

:





na

R

arctgx

2





2



2





2



Arcus cotangens.

Funkcję y=ctgx zawężamy do przedziału

.

 



;

0

 

R

ctgx

na

1

1

;

0

/

;

0

:









 



;

0

:

na

R

arcctgx 



y=sinhx

•y=coshx

•tghx

•y=ctghx

2

sinh

x

x

e

e

x







2

cosh

x

x

e

e

x







x

x

x

x

e

e

e

e

tghx











x

x

x

x

e

e

e

e

ctghx











7. Funkcje
hiperboliczne

• y=sinhx

• y=coshx

• y=tghx

• y=ctghx

Ważniejsze własności funkcji cyklometrycznych:

2

2

arccos

arcsin













arcctgx

arctgx

x

x

2

2

2

1

1

)

arcctg

sin(

1

)

arctg

sin(

1

,

1

1

)

sin(arccos

1

,

1

dla

)

sin(arcsin

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



























2

2

2

1

)

arcctg

cos(

1

1

)

arctg

cos(

1

,

1

dla

)

cos(arccos

1

,

1

1

)

cos(arcsin

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

)

arcctg

(

tg

)

arctg

(

tg

1

,

1

1

)

(arccos

tg

)

1

,

1

(

1

)

(arcsin

tg

2

2























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x























)

arcctg

(

ctg

1

)

arctg

(

ctg

1

,

1

1

)

(arccos

ctg

)

1

,

1

(

1

)

(arcsin

ctg

2

2