Wykresy pewnych funkcji
elementarnych
Wykresy pewnych funkcji
elementarnych
3. Funkcja wykładnicza
Każdą funkcję postaci f(x)=a
x
, gdzie
a
R
+
=(0;+
) i x
R
nazywamy
funkcją wykładniczą –
)
;
0
(
:
1
1
na
R
f
• a
(0,1)
Wykres przechodzi przez (0,1) oraz (1,a) ; funkcja
różnowartościowa,
malejąca,
ograniczona z dołu.
x
y 2
2
1
2
1
x
x
a
a
x
x
2
1
x
x
a
a
2
1
x
x
x
y
2
1
• a
(1,
)
Wykres przechodzi przez (0,1) oraz (1,a)
Funkcja różnowartościowa, rosnąca, ograniczona
z dołu.
2
1
2
1
x
x
a
a
x
x
2
1
x
x
a
a
2
1
x
x
4. Funkcja logarytmiczna
Każdą funkcję postaci f(x)=log
a
x , gdzie
a
(0;+
)\{1} i x
R
+
nazywamy
funkcją
logarytmiczną –
R
f
na
1
1
)
;
0
(
:
• a
(0,1)
Wykres przechodzi przez (1,0), (a,1). Funkcja
różnowartościowa, malejąca, nie ograniczona
2
1
2
1
log
log
x
x
x
x
a
a
2
1
log
log
x
x
a
a
2
1
x
x
x
y
2
1
log
• a
(1,
)
Wykres przechodzi przez (1,0), (a,1). Funkcja
różnowartościowa, rosnąca, nie ograniczona
2
1
2
1
log
log
x
x
x
x
a
a
2
1
log
log
x
x
a
a
2
1
x
x
x
y
3
log
UWAGA:
Funkcje y=a
x
i y=log
a
x są wzajemnie odwrotne.
x
y ln
x
e
y
5. Funkcje trygonometryczne
• y=sinx
• y=cosx
• y=tgx
• y=ctgx
Proszę przypomnieć sobie własności i wykresy tych
funkcji !
2
x
y sin
2
x
y cos
1
-
1
1
-
1
2
tgx
y
2
ctgx
y
/
2
-/2
6. Funkcje cyklometryczne
Funkcje trygonometryczne rozważane w swoich
dziedzinach nie są różnowartościowe, nie są
więc odwracalne, ale zwężone do przedziałów w
których są monotoniczne stają się bijekcjami –
mają funkcje odwrotne.
Funkcje odwrotne do f. trygonometrycznych
(odpowiednio zawężonych) nazywa się
funkcjami
cyklometrycznymi (kołowymi).
2
2
2
2
1
;
1
2
;
2
:
sin
1
1
2
;
2
/
na
x
-1
1
2
;
2
1
;
1
:
arcsin
na
x
2
2
-1
1
Arcus sinus.
Funkcję y=sinx zawężamy do przedziału
.
2
;
2
2
x
y cos
1
-
1
Arcus cosinus.
Funkcję y=cosx zawężamy do przedziału
.
;
0
2
1
1
,
1
;
0
:
cos
1
1
;
0
/
na
x
-1
;
0
1
,
1
:
arccos
na
x
2
-1
1
Arcus tangens.
Funkcję y=tgx zawężamy do przedziału
.
2
;
2
R
tgx
na
1
1
2
;
2
/
2
;
2
:
2
;
2
:
na
R
arctgx
2
2
2
2
Arcus cotangens.
Funkcję y=ctgx zawężamy do przedziału
.
;
0
R
ctgx
na
1
1
;
0
/
;
0
:
;
0
:
na
R
arcctgx
y=sinhx
•y=coshx
•tghx
•y=ctghx
2
sinh
x
x
e
e
x
2
cosh
x
x
e
e
x
x
x
x
x
e
e
e
e
tghx
x
x
x
x
e
e
e
e
ctghx
7. Funkcje
hiperboliczne
• y=sinhx
• y=coshx
• y=tghx
• y=ctghx
Ważniejsze własności funkcji cyklometrycznych:
2
2
arccos
arcsin
arcctgx
arctgx
x
x
2
2
2
1
1
)
arcctg
sin(
1
)
arctg
sin(
1
,
1
1
)
sin(arccos
1
,
1
dla
)
sin(arcsin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
)
arcctg
cos(
1
1
)
arctg
cos(
1
,
1
dla
)
cos(arccos
1
,
1
1
)
cos(arcsin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
)
arcctg
(
tg
)
arctg
(
tg
1
,
1
1
)
(arccos
tg
)
1
,
1
(
1
)
(arcsin
tg
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
arcctg
(
ctg
1
)
arctg
(
ctg
1
,
1
1
)
(arccos
ctg
)
1
,
1
(
1
)
(arcsin
ctg
2
2