Funkcja homograficzna
Funkcją homograficzną nazywamy funkcję wymierną określoną wzorem:
gdzie liczby a, b, c i d są ustalone, przy czym liczba c≠0. Liczba c musi być różna od zera, w przeciwnym wypadku mianownik byłby liczbą stałą i dany iloraz byłby tylko funkcją liniową.
Jest jeszcze jedna własność, którą muszą spełniać współczynniki funkcji, a mianowicie tzw. wyznacznik Δ=ad-bc≠0. Chodzi o to, aby ani licznik, ani mianownik nie miał w sobie takiej samej funkcji liniowej, co po skróceniu dałoby funkcję stałą.
Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz liczby będącej miejscem zerowym mianownika (D=R\{-d/c}). Natomiast przeciwdziedziną jest zbiór Y=R\{a/c}. Miejscem zerowym tej funkcji jest x0=
. Jeżeli liczba b jest równa zeru, to funkcja nie ma miejsca zerowego.
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.
Wykres funkcji homograficznej
Hiperbola ma dwie asymptoty (poziomą i pionową). Asymptota pozioma jest funkcją stałą wyrażoną wzorem y =
, natomiast asymptota pionowa jest zależna od dziedziny (argument nie należący do dziedziny) i ma postać x=
.
Funkcja homograficzna może być na całej swojej długości (poza punktem x =
- asymptotą pionową) malejąca lub rosnąca. Przy określaniu tego faktu korzysta się ze znaku wyznacznika Δ:
Jeśli Δ>0 - funkcja jest rosnąca.
Jeśli Δ<0 - funkcja jest malejąca.
ad-bc<0 |
ad-bc>0 |
|
|
Funkcja malejąca Funkcja rosnąca
Wzór
funkcji homograficznej nazywamy postacią ogólną tej funkcji. Przekształcając ten wzór możemy sprowadzić do postaci zwanej postacią kanoniczną
.
Wzór ten jest wykorzystywany do sporządzania wykresu funkcji homograficznej. Gdy jednak funkcja dana jest w postaci ogólnej, to aby narysować jej wykres przekształcamy go właśnie do postaci kanonicznej. Można to zrobić na dwa sposoby.
Przykład 1
Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej:
a)
b)
c)
d)
Rozwiązanie
a)
b)
c)
d)
By przedstawić funkcję w postaci kanonicznej można również wykonać dzielenie licznika przez mianownik.
(5x + 4) : (x-1) = 5
-5x + 5
9
5x + 4 = 5(x - 1) + 9
Zatem
.
Przykład 2
Naszkicuj wykres funkcji
Rozwiązanie:
Dana jest funkcja :
.
Trzeba tak przekształcić jej wzór, aby wyznaczyć wzór funkcji, której wykres po przesunięciu jest wykresem danej funkcji:
Wykresem danej funkcji jest więc hiperbola, powstała w wyniku przesunięcia wykresu funkcji
o wektor:
.
Wykres funkcji przedstawia rysunek:
Ćwiczenie 1
Rozwiąż zadania 1- 4 str. 47, 6 - str.48 z podręcznika.