Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję wymierną określoną wzorem:

gdzie liczby a, b, c i d są ustalone, przy czym liczba c≠0. Liczba c musi być różna od zera, w przeciwnym wypadku mianownik byłby liczbą stałą i dany iloraz byłby tylko funkcją liniową.

Jest jeszcze jedna własność, którą muszą spełniać współczynniki funkcji, a mianowicie tzw. wyznacznik Δ=ad-bc≠0. Chodzi o to, aby ani licznik, ani mianownik nie miał w sobie takiej samej funkcji liniowej, co po skróceniu dałoby funkcję stałą.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz liczby będącej miejscem zerowym mianownika (D=R\{-d/c}). Natomiast przeciwdziedziną jest zbiór Y=R\{a/c}. Miejscem zerowym tej funkcji jest x₀=
. Jeżeli liczba b jest równa zeru, to funkcja nie ma miejsca zerowego.  

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

Wykres funkcji homograficznej

Hiperbola ma dwie asymptoty (poziomą i pionową). Asymptota pozioma jest funkcją stałą wyrażoną wzorem y =
, natomiast asymptota pionowa jest zależna od dziedziny (argument nie należący do dziedziny) i ma postać x=
.

Funkcja homograficzna może być na całej swojej długości (poza punktem x =
- asymptotą pionową) malejąca lub rosnąca. Przy określaniu tego faktu korzysta się ze znaku wyznacznika Δ:

1. Jeśli Δ>0 - funkcja jest rosnąca.

2. Jeśli Δ<0 - funkcja jest malejąca.

ad-bc<0	ad-bc>0

Funkcja malejąca Funkcja rosnąca

Wzór
funkcji homograficznej nazywamy postacią ogólną tej funkcji. Przekształcając ten wzór możemy sprowadzić do postaci zwanej postacią kanoniczną

.

Wzór ten jest wykorzystywany do sporządzania wykresu funkcji homograficznej. Gdy jednak funkcja dana jest w postaci ogólnej, to aby narysować jej wykres przekształcamy go właśnie do postaci kanonicznej. Można to zrobić na dwa sposoby.

Przykład 1

Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej:

a)

b)

c)

d)

Rozwiązanie

a)

b)

c)

d)

By przedstawić funkcję w postaci kanonicznej można również wykonać dzielenie licznika przez mianownik.

(5x + 4) : (x-1) = 5

-5x + 5

9

5x + 4 = 5(x - 1) + 9

Zatem

.

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji

 Rozwiązanie:

Dana jest funkcja : 
.

Trzeba tak przekształcić jej wzór, aby wyznaczyć wzór funkcji, której wykres po przesunięciu jest wykresem danej funkcji:

 

Wykresem danej funkcji jest więc hiperbola, powstała w wyniku przesunięcia wykresu funkcji
 o wektor:
.

Wykres funkcji przedstawia rysunek:

 

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania 1- 4 str. 47, 6 - str.48 z podręcznika.