Funkcja homograficzna, Matematyka, Matematyka(4)


Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję wymierną określoną wzorem:

0x01 graphic

gdzie liczby a, b, c i d są ustalone, przy czym liczba c0. Liczba c musi być różna od zera, w przeciwnym wypadku mianownik byłby liczbą stałą i dany iloraz byłby tylko funkcją liniową.

Jest jeszcze jedna własność, którą muszą spełniać współczynniki funkcji, a mianowicie tzw. wyznacznik Δ=ad-bc0. Chodzi o to, aby ani licznik, ani mianownik nie miał w sobie takiej samej funkcji liniowej, co po skróceniu dałoby funkcję stałą.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz liczby będącej miejscem zerowym mianownika (D=R\{-d/c}). Natomiast przeciwdziedziną jest zbiór Y=R\{a/c}. Miejscem zerowym tej funkcji jest x0= 0x01 graphic
. Jeżeli liczba b jest równa zeru, to funkcja nie ma miejsca zerowego.  

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.


Wykres funkcji homograficznej


0x01 graphic

Hiperbola ma dwie asymptoty (poziomą i pionową). Asymptota pozioma jest funkcją stałą wyrażoną wzorem y =0x01 graphic
, natomiast asymptota pionowa jest zależna od dziedziny (argument nie należący do dziedziny) i ma postać x=0x01 graphic
.


Funkcja homograficzna może być na całej swojej długości (poza punktem x =0x01 graphic
- asymptotą pionową) malejąca lub rosnąca. Przy określaniu tego faktu korzysta się ze znaku wyznacznika Δ:

  1. Jeśli Δ>0 - funkcja jest rosnąca.

  2. Jeśli Δ<0 - funkcja jest malejąca.

ad-bc<0

ad-bc>0

0x01 graphic

0x01 graphic

Funkcja malejąca Funkcja rosnąca

Wzór 0x01 graphic
funkcji homograficznej nazywamy postacią ogólną tej funkcji. Przekształcając ten wzór możemy sprowadzić do postaci zwanej postacią kanoniczną

0x01 graphic
.

Wzór ten jest wykorzystywany do sporządzania wykresu funkcji homograficznej. Gdy jednak funkcja dana jest w postaci ogólnej, to aby narysować jej wykres przekształcamy go właśnie do postaci kanonicznej. Można to zrobić na dwa sposoby.

Przykład 1

Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej:

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) 0x01 graphic

Rozwiązanie

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) 0x01 graphic

By przedstawić funkcję w postaci kanonicznej można również wykonać dzielenie licznika przez mianownik.

(5x + 4) : (x-1) = 5

0x08 graphic
-5x + 5

9

5x + 4 = 5(x - 1) + 9

Zatem

0x01 graphic
.

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji 0x01 graphic


 Rozwiązanie:


Dana jest funkcja : 
0x01 graphic
.

Trzeba tak przekształcić jej wzór, aby wyznaczyć wzór funkcji, której wykres po przesunięciu jest wykresem danej funkcji:

 

0x01 graphic


Wykresem danej funkcji jest wi
ęc hiperbola, powstała w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 0x01 graphic
 o wektor: 0x01 graphic
.

Wykres funkcji przedstawia rysunek:

 

0x01 graphic

0x01 graphic
Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania 1- 4 str. 47, 6 - str.48 z podręcznika.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
FUNKCJA HOMOGRAFICZNA, Matematyka
przeksztalcenie funkcji homograficznej, Matematyka, Liceum
Wzór funkcji y, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
homograficzna, Matematyka, Liceum
Funkcja kwadratowa, matematyka
Funkcja liniowa, Matematyka
FUNKCJA KWADRATOWA, Matematyka
Wybrane zastosowania pochodnej funkcji, Analiza matematyczna
Funkcja Liniowa, Matematyka- zadania
Funkcja, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Arkusz3, Katedra Analizy Funkcjonalnej Wydziału Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego
Arkusz2, Zakład Analizy Funkcjonalnej Wydziału Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego
funkcja kwadratowa (2), Matematyka, Liceum
Pochodna funkcji, Analiza matematyczna
Całki z funkcji wymiernych, Matematyka
funkcja wykładnicza, Matematyka, Liceum
Ciągłość funkcji, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Matematyka funkcje, Studia, Matematyka, Ćwiczenia

więcej podobnych podstron