Egzamin z Analizy 1, 8 II 2008 godz. 9.00
1. Dla jakich wartości parametrów a, b ∈ R funkcja f ( x) jest ciągła?
arc tg x
dla x > 0
x
f ( x) =
ax + b
dla x ∈< − 1 , 0 >
x 3 + 1
dla x < − 1
x 2 + 4 x + 3
Rozwiązanie:
Funkcja jest ciągła dla x ∈ ( −∞, − 1) ∪ ( − 1 , 0) ∪ (0 , ∞). Sprawdzamy ciągłość w punktach x = 0 i x = − 1.
Funkcja będzie ciągła w punkcie x = 0 , gdy wartość f (0) (równa granicy lewostronnej w x = 0) będzie równa granicy prawostronnej w x = 0.
f (0) = b
arc tg x
1
lim f ( x) = lim
= lim x 2+1 = 1
x→ 0+
x→ 0+
x
x→ 0+
1
Zastosowaliśmy regułę del’Hospitala dla granicy [ 0 ]
0
Dostajemy równanie:
b = 1
Funkcja będzie ciągła w punkcie x = − 1 , gdy wartość f ( − 1) (równa granicy prawostronnej w x = − 1) będzie równa granicy lewostronnej w x = − 1.
f ( − 1) = −a + b x 3 + 1
3 x 2
3
lim f ( x) = lim
== lim
=
x→− 1 −
x→− 1 − x 2 + 4 x + 3
x→− 1 − 2 x + 4
2
Zastosowaliśmy regułę del’Hospitala dla granicy [ 0 ]
0
Dostajemy równanie:
3
−a + b = 2
Stąd
1
a = − 2
Odpowiedź:
1
Funkcja jest ciągła dla paramatrów a = −
i b = 1.
2
2. Zbadać przebieg zmienności funkcji (bez badania drugiej pochodnej) ln x 2
f ( x) =
x
Rozwiązanie:
Dziedzina funkcji: D = ( −∞, 0) ∪ (0 , ∞) ln( −x)2
ln x 2
Funkcja jest nieparzysta: f ( −x) =
= −
= −f ( x)
−x
x
Wysarczy więc ją zbadać na zbiorze D 1 = (0 , ∞)
ln x 2
−∞
lim f ( x) = lim
=
= −∞
x→ 0+
x→ 0+
x
0+
ln x 2
2 x
2
lim f ( x) = lim
= lim x 2 = lim
= 0
x→∞
x→∞
x
x→∞ 1
x→∞ x
Asymptoty:
Funkcja ma asymptotę pionową x = 0 i poziomą y = 0 w + ∞
Badamy monotoniczność obliczając pochodną: 2 x x − ln x 2
2 − ln x 2
f 0( x) = x 2
=
x 2
x 2
Rozwiązujemy nierówność f 0( x) > 0 . Ponieważ mianownik jest dodatni: 2 − ln x 2 > 0
2 − 2 ln x > 0
ln x < 1
x < e
Wniosek: Funkcja f ( x) jest rosnąca na przedziale (0 , e > , malejąca na przedziale < e, ∞ > , ma więc w x = e maksimum lokalne. Jest to jedyne ekstremum na D 1.
x
0+
...
e
...
∞
f 0( x)
+
+
0
−
f ( x)
−∞
%
2
&
0
e
3. Wyznaczyć wzór Taylora dla f ( x) wokół x 0 = 0 stosując wielomian stopnia trzeciego.
Wyznaczyć resztę.
f ( x) = ( x + 1) sin x Rozwiązanie:
Wzór Taylora:
f 0(0) x
f 00(0) x 2
f 000(0) x 3
f ( x) = f (0) +
+
+
+ R 3
1!
2!
3!
f IV ( c) x 4
R 3 =
, gdzie c ∈ (0 , x)
4!
f (0) = 0
f 0( x) = sin x + ( x + 1) cos x , f 0(0) = 1
f 00( x) = −( x + 1) sin x + 2 cos x , f 00(0) = 2
f 000( x) = −( x + 1) cos x − 3 sin x , f 000(0) = − 1
f IV ( x) = ( x + 1) sin x − 4 cos x Stąd:
1 x
2 x 2
−x 3
1
f ( x) = 0 +
+
+
+ R 3 = x + x 2 − x 3 + R 3
1!
2!
3!
6
gdzie
(( c + 1) sin c − 4 cos c) x 4
R 3 =
, gdzie c ∈ (0 , x)
4!
4. Obliczyć całkę nieoznaczoną Z
sin3 x
I =
d x
cos3 x + cos2 − cos x − 1
Rozwiązanie:
Całkujemy przez podstawienie:
t = cos x
d t = − sin x d x
sin3 x d x = sin2 x sin x d x = (1 − cos2 x) sin x d x = −(1 − t 2) d t
Z
−(1 − t 2)
Z
t 2 − 1
Z
1
I =
d t =
d t =
d t = ln |t + 1 | + C =
t 3 + t 2 − t − 1
( t 2 − 1)( t + 1) t + 1
ln | cos x + 1 | + C
5. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót Obszaru D: s 2 x + 1
0 ¬ y ¬
, 0 ¬ x ¬ 2 dookoła osi Ox x 2 + 4
Rozwiązanie:
Objętość bryły jest równa:
2
2
2
Z
2 x + 1
Z
2 x
Z
1
V = π
d x = π
d x + π
d x
x 2 + 4
x 2 + 4
x 2 + 4
0
0
0
Pierwszą całkę obliczamy przez podstawienie:
t = x 2 + 4
d t = 2 x d x
t = 4 dla x = 0
t = 8 dla x = 2
2
8
Z
2 x
Z
1
d x =
d t = [ln |t|]8 = ln 8 − ln 4 = ln 2
x 2 + 4
t
4
0
4
Obliczamy drugą całkę:
2
2
2
Z
1
1 Z
1
1 Z
1
1
x 2
1
d x =
d x =
d x =
2 arc tg
=
(arc tg 1 −
x 2 + 4
4
x 2 + 1
4
( x )2 + 1
4
2 0
2
0
0
4
0
2
π
arc tg 0) = 8
Odpowiedź:
V = π ln 2 + π 2
8
6. Obliczyć całkę niewłaściwą
∞
Z
xe−x d x
0
Rozwiązanie:
∞
b
Z
Z
I =
xe−x d x = lim
xe−x d x
b→∞
0
0
Całkujemy przez części:
)
f = x
g0 = e−x
f 0 = 1 g = −e−x b
b
Z
Z
h
h
xe−x d x = −xe−x i b −
−e−x d x = −be−b + −e−x i b = −be−b − e−b + 1
0
0
0
0
Obliczmy granicę:
−b − 1
− 1
I = lim ( −be−b − e−b + 1) = 1 + lim
= 1 + lim
= 1
b→∞
b→∞
eb
b→∞ eb
Stosujemy regułę del’Hospitala dla granicy [ ∞ ]
∞