Egzamin z Algebry, 8 II 2007 godz.9.00
1. Sformułować twierdzenie o mnożeniu i dzieleniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Obliczyć:
√ !3
1 −
3 i
(1 + i)5
2
Rozwiązanie:
Zapisujemy liczby w postaci trygonometrycznej:
√
| 1 + i| =
2
cos φ = 1
√ 2
sin φ = 1
√ 2
φ = π 4 √
1 + i =
2(cos( π ) + i sin( π )) 4
4
√
√
(1 + i)5 = ( 2)5(cos(5 π ) + i sin(5 π )) = 4 2(cos(5 π ) + i sin(5 π )) 4
4
4
4
√
1 −
3 i
= 1
2
cos φ = 12 √
sin φ = − 3
2
φ = −π 3
√
1 −
3 i
π
π
= (cos( − ) + i sin( − )) 2
3
3
√ !3
1 −
3 i
= (cos( − 3 π ) + i sin( − 3 π )) = (cos( −π) + i sin( −π)) 2
3
3
√ !3
1 −
3 i
√
√
(1 + i)5
= 4 2(cos(5 π − π) + i sin(5 π − π)) = 4 2(cos( π ) + i sin( π )) =
2
4
4
4
4
√
4 2( 1
√ + i 1
√ ) = 8 + 8 i
2
2
2. Podać definicję średnic sprzężonych elipsy. Znaleźć średnice (kierunki) sprzężone elipsy 5 x 2 + 8 y 2 = 40 z których jedna przechodzi przez punkt P (2 , 3) Rozwiązanie:
Przekształcamy równanie elipsy:
x 2
y 2
+
= 1
8
5
√
√
Z tego równania odczytujemy środek elipsy S(0 , 0) oraz półosie a =
8 , b =
5
Średnice elipsy przechodzą przez środek S mają więc równanie: y = mx Pierwsza średnica przechodzi przez punkt P : 3 = m 12 czyli m 1 = 32
Współczynnik kierunkowy średnicy sprzężonej znajdujemy z równania: b 2
m 1 m 2 = −a 2
2
2 = − 5
8
m 2 = − 512
Odpowiedź
Śzukane średnice sprzężone:
y 1 = 3 x
2
y 1 = − 5 x
12
3. Podać definicję macierzy odwrotnej. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy
1 − 1
1
A =
− 2
1
2
3
2 − 1
i rozwiązać metodą macierzową układ równań:
x − y + z = − 4
− 2 x + y + 2 z = − 6
3 x + 2 y − z =
10
Rozwiązanie:
Obliczamy |A|
1 − 1
1
|A| =
− 2
1
2 = − 1 − 6 − 4 − 3 − 4 + 2 = − 16
3
2 − 1
Ponieważ wyznacznik |A| 6= 0 więc macierz odwrotna istnieje.
1 − 2
3
AT =
− 1
1
2
1
2 − 1
− 5
1 − 3
( AT ) D =
4 − 4 − 4
− 7 − 5 − 1
5
− 1
3
16
16
16
( AT ) D
A− 1 =
= − 1
1
1
|A|
4
4
4
7
5
1
16
16
16
Rozwiązanie układu równań:
Macierzą współczynnkików jest macierz A. Macierz wyrazów wolnych:
− 4
B =
− 6
10
Rozwiązanie:
1
X = A− 1 B =
2
− 3
4. Obliczyć wysokość czworościanu o wierzchołkach A( − 1 , 1 , 0) , B(0 , 2 , 1)) , C(3 , 1 , 1) , S(2 , 3 , 4) opuszczoną z wierzchołka S.
Wyskość czworościanu jest równa odległości punktu S od płaszczyzny podstawy ABC.
Szukamy równania płaszczyzny ABC
−→
AB = [1 , 1 , 1]
−→
AC = [4 , 0 , 1]
Wektor prostopadły do płaszczyzny ABC
−→
−→
~n = AB × AC = [1 , 3 , − 4]
Równanie płaszczyzny ABC:
x + 3 y − 4 z + D = 0
Punkt A leży na płaszczyźnie:
− 1 + 3 + D = 0 czyli D = − 2
Równanie płaszczyzny ABC:
x + 3 y − 4 z − 2 = 0
Odległość punktu S od płaszczyzny:
| 2 + 9 − 16 − 2 |
7
hs = √
= √
1 + 9 + 16
26
5. Przez punkt P (2 , − 5 , 3) poprowadzić prostą równoległą do prostej: ( 3 x + 2 y − 7 = 0
l :
y + 6 z − 4 = 0
Rozwiązanie:
Równanie prostej l 1 równoległej do l w postaci krawędziowej: ( 3 x + 2 y + D
l
1 = 0
1 :
y + 6 z + D 2 = 0
Punkt P leży na prostej l 1 więc: ( 6 − 10 + D 1 = 0
− 5 + 18 + D 2 = 0
( D 1 = 4
D 2 = − 13
Równanie szukanej prostej:
( 3 x + 2 y + 4 = 0
l 1 :
y + 6 z − 13 = 0
6. Podać definicję powierzchni stożkowej o wierzchołku S i kierownicy L . Wykazać, że prosta
x = 2 t + 2
l :
y = t + 1
z = −t − 1
leży na stożku (jest jego tworzącą) x 2 + y 2 = z 2
5
5
Rozwiązanie:
Prosta leży na stożku gdy każdy jej punkt spełnia równanie stożka a więc gdy równanie
( t + 1)2
+
= ( −t − 1)2
5
5
jest spełnione dla każdego t
Upraszczamy równanie:
(2 t + 2)2 + ( t + 1)2 = 5( −t − 1)2
4 t 2 + 8 t + 4 + t 2 + 2 t + 1 = 5 t 2 + 10 t + 5
0 = 0
Czyli równanie jest spełnione dla każdego t a więc prosta l jest tworzącą stożka