Egzamin z Równań Różniczkowych, 26 VI 2007, godz. 12.00
1. Rozwiązać układ równań różniczkowych
˙
y + 9 x = 0
˙ x − y = 0
y(0) = 0
x(0) = 1
Rozwiązanie:
Z równania drugiego
y = ˙ x
Po zróżniczkowaniu
˙ y = ¨
x
Podstawiamy do równania pierwszego
¨
x + 9 x = 0
Równanie charakterystyczne
r 2 + 9 = 0
Pierwiastki równania charakterystycznego
r 1 = 3 i , r 2 = − 3 i Rozwiązanie ogólne
x = C 1 cos 3 t + C 2 sin 3 t y = − 3 C 1 sin 2 t + 3 C 2 cos 2 t Podstawiamy t = 0 , x = 1 , y = 0
( C 1 = 1
3 C 2 = 0
Stąd C 2 = 0
A więc rozwiązanie układu:
( x = cos3 t
y = − 3 sin 2 t
2. Rozwiązać równanie różniczkowe obniżając najpierw jego rząd 3 y00 + y0 4 = 0
Rozwiązanie
Podstawiamy
y0 = p( x)
Wtedy
y00 = p0
Podstawiamy
3 p0 + p 4 = 0
Jest to rówanie rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielających się. Rozdzielamy zmienne d p
3
= −p 4
d x
3
= − d x
p 4
Całkujemy obie strony
Z d p
Z
3
= −
d x
p 4
1
−
= −x + C
p 3
1
1
p = √
3 x + C 1
Rozwiązujemy równanie
1
y0 = √
3 x + C 1
Z
1
3 q
2
y =
√
d x =
3 x + C
+ C
3 x + C
1
2
1
2
3. Rozwiązać równanie różniczkowe
y000 + 8 y = 4 e− 2 x Rozwiązanie:
Rozwiązujemy najpierw równanie liniowe jednorodne: y000 + 8 y = 0
Szukamy pierwiastków równania charakterystycznego: r 3 + 8 = 0
Znajdujemy pierwiastek r = − 2
( r + 2)( r 2 − 2 r + 4) = 0
∆ = − 12
√
√
r 1 = − 2 , r 2 = 1 − 3 i , r 2 = 1 + 3 i Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
√
√
y = C 1 e− 2 x + C 2 ex cos 3 x + C 3 ex sin 3 x Szukamy rozwiązania szczególnego równania liniowego niejednorodnego metodą przewidy-wań
ys = Axe− 2 x
y0 = Ae− 2 x − 2 Axe− 2 x s
y00 = − 2 Ae− 2 x − 2 Ae− 2 x + 4 Axe− 2 x = 4 Axe− 2 x − 4 Ae− 2 x s
y000 = 4 Ae− 2 x − 8 Axe− 2 x + 8 Ae− 2 x = − 8 Axe− 2 x + 12 Ae− 2 x s
Po podstawieniu do równania:
12 Ae− 2 x = 4 e− 2 x Czyli A = 13
A więc rozwiązanie szczególne:
ys = 1 xe− 2 x
3
Rozwiaznie ogólne równania jest więc równe:
√
√
y = C 1 e− 2 x + C 2 ex cos 3 x + C 3 ex sin 3 x + 1 xe− 2 x 3
4. Wyznaczyć wzór i dziedzinę funkcji
∞
P
f ( x) =
xn
n
1
Rozwiązanie:
Liczymy pochodną:
∞
P
∞
P
∞
P
f 0( x) = (
xn ) 0 = ( xn ) 0 =
xn− 1 = 1
n
n
1 −x
1
1
1
Promień zbieżności tego szeregu jest równy 1.
Stąd
R
f ( x) =
1
d x = − ln | 1 − x| + C
1 −x
Aby znaleźć stałą C podstawiamy x = 0
f (0) = 0 = C
Czyli
f ( x) = − ln | 1 − x|
Badamy zbiezność szeregu na brzegach:
Dla x = − 1
− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . .
2
3
4
5
an = ( − 1) n 1 n Jest to szereg naprzemienny,
lim 1 = 0
n→∞ n
Ciąg 1 jest malejący, a więc szereg jest zbieżny.
n
Dla x = 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . .
2
3
4
5
Jest to szereg harmoniczny rozbieżny.
A więc zakres zbieżności szeregu czyli dziedzina funkcji f ( x) jest równa < − 1 , 1) 1
Z
√
5. Całkę I =
cos x d x zapisać w postaci szeregu liczbowego 0
∞
X
I =
an
n=1
Wskazówka: skorzystać z szeregu potęgowego Maclaurina funkcji cos x Rozwiązanie:
x 2
x 4
x 6
x 8
cos x = 1 −
+
−
+
+ . . . , x ∈ ( −∞, ∞) 2!
4!
6!
8!
√
Podstawiamy zmiast x ,
x
√
x
x 2
x 3
x 4
cos x = 1 −
+
−
+
+ . . . , x ∈< 0 , ∞) 2!
4!
6!
8!
Z
√
1
Z
1
1
1
x
x 2
x 3
x 4
Z
Z x
Z x 2
I =
cos x d x =
(1 −
+
−
+
+ . . . ) d x =
d x −
d x +
d x −
2!
4!
6!
8!
2!
4!
0
0
0
0
0
1
Z
1
"
#
"
#
"
#
"
#
x 3
Z x 4
x 2
1
x 3
1
x 4
1
x 5
1
d x +
d x + · · · = [ x]1 −
+
−
+
+ · · · =
6!
8!
0
2 · 2!
3 · 4!
4 · 6!
5 · 8!
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
−
+
−
+
+ . . .
1!
2 · 2!
3 · 4!
4 · 6!
5 · 8!
Zapisując szereg w innej postaci:
∞
X
( − 1) n+1
I =
(2 n + 1)(2 n)!
n=1
6. Funkcja f ( x) jest okresową o okresie T = 4, przy czym: ( 4 dla − 1 < x < 1
f ( x) =
0 dla − 2 < x < − 1 ∪ 1 < x < 2
Narysować tę funkcje na przedziale ( − 3 , 8) oraz wyznaczyć szereg Fouriera tej funkcji.
Rozwiązanie:
Wyznaczamy szereg Fouriera tej funkcji na przedziale < − 2 , 2 > Funkcja jest parzysta, więc współczynniki bn = 0 dla n = 1 , 2 , 3 , . . . .
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
T
2
2
2
2 Z
2 π
1 Z
nxπ
Z
nxπ
an =
f ( x) cos nx
d x =
f ( x) cos
d x =
f ( x) cos
d x =
T
T
2
2
2
T
− 2
0
− 2
1
Z
"
#
nxπ
sin nπx 1
8 sin nπ
4 cos
d x = 4 2
2
=
2
2
nπ
nπ
0
0
1
Z
a 0 =
4 d x = 4
0
Szereg Fouriera dla funkcji f ( x) jest więc następujący:
∞
X
nπx
f ( x) = a 0 +
a
2
n cos
2
n=1
∞
X 8 sin nπ
nπx
f ( x) = 2 +
2 cos
nπ
2
n=1