Egzamin z Równań Różniczkowych, 25 VI 2008, godz. 9.00
1. Rozwiązać równanie:
y00 + 4 y = sin 2 x
Rozwiązanie
Jest to równanie liniowe rzędu 2. Rozwiązujemy równanie jednorodne: y00 + 4 y = 0
Równanie charakterystyczne:
r 2 + 4 = 0
Pierwiastki równania charakterystycznego:
r 1 = 2 i , r 2 = − 2 i Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
y = C 1 cos 2 x + C 2 sin 2 x Rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego szukamy metodą przewidywań: y00 + 4 y = sin 2 x
ys = x( A cos 2 x + B sin 2 x) Wtedy:
y0 = A cos 2 x + B sin 2 x − 2 Ax sin 2 x + 2 Bx cos 2 x s
y00 = − 2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x − 2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x − 4 Ax cos 2 x − 4 Bx sin 2 x =
s
− 4 A sin 2 x + 4 B cos 2 x − 4 Ax cos 2 x − 4 Bx sin 2 x Podstawiamy do równania:
− 4 A sin 2 x + 4 B cos 2 x = sin 2 x Stąd: − 4 A = 1 , 4 B = 0
Czyli A = − 1 , B = 0
4
Rozwiązanie szczególne jest więc równe:
ys = − 1 x cos 2 x 4
Odpowiedź:
Rozwiązanie równania:
y = C 1 cos 2 x + C 2 sin 2 x − 1 xA cos 2 x 4
2. Rozwiązać układ równań:
( ˙ x + y = 0
˙ x − ˙ y = 3 x + y Rozwiązanie:
Obliczamy y z rónania pierwszego:
y = − ˙ x
Podstawiamy do równania drugiego:
˙ y = −¨
x
˙ x + ¨
x = 3 x − ˙ x
x + 2 ˙ x − 3 x = 0
Równanie charakterystyczne:
r 2 + 2 r − 3 = 0
Pierwiastki równania charakterystycznego:
r 1 = − 1 , r 2 = 3
Stąd:
x = C 1 e−t + C 2 e 3 t Obliczamy:
˙ x = −C 1 e−t + 3 C 2 e 3 t I stąd:
y = C 1 e−t − 3 C 2 e 3 t 3. Rozwiązać zagadnienie Cuchy’ego
1
1
y0 − y =
x
2 y
y(1) = 4
Rozwiązanie:
Jest to równanie Bernoulliego. Mnożymy obie strony przez 2 y: 2
2 yy0 − y 2 = 1
x
Podstawiamy:
z( x) = y 2( x) wtedy
z0 = 2 yy0
Mamy:
2
z0 − z = 1
x
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie jednorodne: 2
z0 − z = 0
x
Rozdzielamy zmienne:
d z
2 d x
=
z
x
Z d z
Z 2 d x
=
z
x
ln |z| = 2 ln |z| + C
z = Cx 2
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
2
z0 − z = 1
x
uzmienniając stałą:
z = C( x) x 2
z0 = C0x 2 + 2 xC
C0x 2 + 2 xC − 2 Cx = 1
1
C0 = x 2
Z d x
1
C =
= − + D
x 2
x
Stąd:
z = −x + Dx 2
Z podstawienia z = y 2 mamy:
√
y =
−x + Dx 2 , wybieramy znak + ponieważ w warunku poczatkowym y > 0
Podstawiamy warunek początkowy: x = 1 , y = 4
√
4 =
− 1 + D
Stąd D = 17
√
Czyli: y =
−x + 17 x 2
4. Wyznaczyć promienie krzywizny krzywej o równaniu y = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) w punktach jej przecięcia z osią Ox. Wzór na krzywiznę :
|¨
y|
k = (1 + ˙ y 2)32
Rozwiązanie:
Punkty przecięcia z osią Ox:
( x − 1)( x − 2)( x − 3) = 0
Stąd:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3
Przekształamy równanie:
y = x 3 − 6 x 2 + 11 x − 6
Obliczamy pochodne:
˙ y = 3 x 2 − 12 x + 11
¨
y = 6 x − 12
Stąd ( R + 1 )
k
√
| − 6 |
6
5 5
dla x = 1 : k 1 =
= √ , R 1 =
(1 + 22)32
5 5
6
| 0 |
dla x = 2 : k 2 =
= 0 , R 2 = ∞
(1 + ( − 1)2)32
√
| 6 |
6
5 5
dla x = 3 : k 3 =
= √ , R 3 =
(1 + 22)32
5 5
6
5. Podać definicję promienia zbiezności szeregu potęgowego. Korzystając z odpowiednich twierdzeń o szeregach potęgowych obliczyć sumę szeregu:
∞
X ( − 1) n
n 2 n
n=1
Szukamy sumy szeregu potęgowego:
∞
X xn
f ( x) =
n
n=1
Różniczkujemy ten szereg:
∞
X
f 0( x) =
xn− 1 = 1 + x + x 2 + x 3 + . . .
n=1
Jest to szereg geometryczny o promieniu zbiezności R = 1 i sumie: 1
f 0( x) = 1 − x
Całkując to równanie dostajemy:
Z
1
f ( x) =
d x = − ln | 1 − x| + C
1 − x
Wzór ten zachodzi dla x ∈ ( − 1 , 1) Podstawiając x = 0 obliczamy stałą C: 0 = 0 + C, czyli C = 0
Mamy więc:
f ( x) = − ln | 1 − x|
Stąd:
∞
X ( − 1) n
1
3
= f ( − ) = − ln
n 2 n
2
2
n=1
6. Na zbiorze D = ( −π, − 1) ∪ ( − 1 , 0) jest określona funkcja: ( 0 dla x ∈ ( −π,− 1)
g( x) =
2
dla
x ∈ ( − 1 , 0)
Wyznaczyć i narysować funkcję f okresloną na przedziale < −π, π > która jest sumą szeregu trygonometrycznego Fouriera złożonego z samych cosinusów i którego sumą na zbiorze D jest funkcja g. Wyznaczyć ten szereg.
Rozwiązanie:
Definiujemy przedłużenie parzyste G funkcji g.
(
g( x)
dla
x ∈ ( −π, 0)
G( x) =
g( −x)
dla
x ∈ (0 , π)
Funkcję G rozwijamy w szereg Fouriera. Funkcja jest parzysta, więc współczynniki bn = 0 dla n = 1 , 2 , 3 , . . . .
π
0
0
1 Z
2 Z
2 Z
4
4
a 0 =
G( x) d x =
g( x) d x =
2 d x =
[ x]0 =
π
π
π
π
− 1
π
−π
−π
− 1
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
π
0
0
1 Z
2 Z
2 Z
4 sin nx0
an =
G( x) cos nx d x =
g( x) cos nx d x =
2 cos nx d x =
=
π
π
π
π
n
− 1
−π
−π
− 1
4 sin n
nπ
Szereg Fouriera jest więc następujący:
∞
X
f ( x) = 0 +
a
2
n cos nx
n=1
2
∞
X 4 sin n
f ( x) =
+
cos nx
π
nπ
n=1
Szereg ten jest zbieżny do funkcji G na zbiorze: ( −π, − 1) ∪ ( − 1 , 0) ∪ (0 , 1) ∪ (1 , π) (punkty ciągłości G)
oraz: f (1) = f ( − 1) = 1 , f ( π) = f ( −π) = 9 , f (0) = 2 (średnia arytmetyczna granic lewostronnej i prawostronnej).