Egzamin z Równań Różniczkowych, 28 VI 2010 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Zadanie
Odp.
1. Wielomian charakterystyczny równania różniczkowego liniowego jednorod-y = C 1 + C 2 x +
nego o stałych współczynnikach rzeczywistych ma następujące pierwiastki: C 3 cos 2 x+ C 4 sin 2 x r 1 = r 2 = 0 , r 3 = 2 i , r 4 = − 2 i . Wyznaczyć całkę ogólną tego równania.
Rozwiązanie:
r 1 = r 2 = 0 = ⇒ y 1 = 1 , y 2 = x r = ± 2 i = ⇒ y 3 = cos 2 x , y 4 = sin 2 x y = C 1 + C 2 x + C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x Całka ogólna
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
y 2 + 2 y = x 2
(
x d x + ( y + 1) d y = 0
y(0) = 0
Rozwiązanie:
( y + 1) d y = −x d x = ⇒ 1 y 2 + y = 1 x 2 + C
rozdzielamy zmienne
2
2
y(0) = 0 = ⇒ 0 + 0 = 0 + C = ⇒ C = 0
∞ 2 n + 3 n
7
3. Wyznaczyć sumę szeregu X
6 n
2
n=0
Rozwiązanie:
∞ 2 n + 3 n
∞
∞
1 n
1 n
1
1
7
X
= X
+ X
=
+
=
6 n
3
2
1 − 1
1 − 1
2
n=0
n=0
n=0
3
2
Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego 4. Wyznaczyć płaszczyznę normalną do krzywej o równaniu: z = 0
−
→
r ( t) = [cos3 t , sin3 t , cos t] dla t = π 2
Rozwiązanie:
−
→
r ( π ) = [0 , 1 , 0]
2
˙
−
→
r ( t) = [ − 3 cos2 t sin t , 3 sin2 t cos t , − sin t]
,
˙
−
→
r ( π ) = [0 , 0 , − 1]
2
0 · x + 0 · y − 1 · z + D = 0
płaszczyzna normalna
Punkt P (0 , 1 , 0) leży na płaszczyźnie = ⇒ D = 0
5. Dla jakiej wartości parametru p ∈ R suma szeregu Fouriera funkcji: 0
(
2 dla x ∈ [ −π, − 1] ∪ [1 , π]
f ( x) =
px 2 dla x ∈ ( − 1 , 1) w punkcie x = 1 przyjmie wartość równą 1 ?
Rozwiązanie:
f (1 −) + f (1+)
p + 2
S(1) =
=
2
2
p + 2 = 1 = ⇒ p = 0
2
1
2. Sprawdzić, czy funkcje 1 , x , sin 2 x , cos 2 x są liniowo niezależne dla x ∈ R
Rozwiązanie:
Wyznacznik Wrońskiego:
y
1
y 2
y 3
y 4
y0
y0
y0
y0
W ( x) =
1
2
3
4
y00
y00
y00
y00
1
2
3
4
y000 y000 y000 y000
1
2
3
4
y 1 = 1 , y0 = 0 , y00 = 0 , y000 = 0
1
1
1
y 2 = x , y0 = 1 , y00 = 0 , y000 = 0
2
2
2
y 3 = sin 2 x , y0 = 2 cos 2 x , y00 = − 4 sin 2 x , y000 = − 8 cos 2 x 3
3
3
y 4 = cos 2 x , y0 = − 2 sin 2 x , y00 = − 4 cos 2 x , y000 = 8 sin 2 x 4
4
4
Obliczamy:
1 0
0
1
1
2
0
0 1
2
0
W (0) =
= { Rozwinięcie Laplace’a wzgl. pierwszej kolumny } = 0
0 − 4 =
0 0
0 − 4
0 − 8
0
0 0 − 8
0
− 32 6= 0
Ponieważ wyzncznik Wrońskiego jest różny od zera, więc funkcje są liniowo neizależne.
Odpowiedź:
Funkcje są liniowo niezależne.
2
d x
= 2 e 3 t − y
d t
d y
= e 3 t − x
d t
Rozwiązanie:
y = 2 e 3 t − x0
z pierwszego równania
y0 = 6 e 3 t − x00
6 e 3 t − x00 = e 3 t − x podstawiamy do drugiego równania
x00 − x = 5 e 3 t
Równanie liniowe jednorodne:
x00 − x = 0
r 2 − 1 = 0
r 1 = 1 , r 2 = − 1
x = C 1 et + C 2 e−t Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania liniowego niejednorodnego: xs = Ae 3 t
x0 = 3 Ae 3 t
s
x00 = 9 Ae 3 t
s
9 Ae 3 t − Ae 3 t = 5 e 3 t A = 58
xs = 5 e 3 t
8
Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego: x = C 1 et + C 2 e−t + 5 e 3 t 8
x0 = C 1 et − C 2 e−t + 15 e 3 t 8
y = 2 e 3 t − C 1 et − C 2 e−t + 15 e 3 t = −C
e 3 t
8
1 et + C 2 e−t + 1
8
Odpowiedź:
x = C 1 et + C 2 e−t + 5 e 3 t 8
y = −C 1 et + C 2 e−t + 1 e 3 t 8
3
4. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego (
y0 + y = ex
x
y(1) = 1
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe
y0 + y = 0
równanie liniowe jednorodne
x
d y
1
= −
d x
rozdzielamy zmienne
y
x
Z
d y
Z
1
= −
d x
całkujemy
y
x
ln |y| = − ln |x| + C
C
y =
rozwiązanie ogólne równannia liniowego jednorodnego x
C( x)
y =
uzmienniamy stałą
x
C0 · x − C
y =
x 2
C0·x−C + C = ex
x 2
x 2
C0 = xex
Z
Z
Z
C =
xex d x =
x ex 0 d x = xex −
ex d x = xex − ex + D
(całkujemy przez części)
xex − ex + D
y =
x
Podstawiamy warunek początkowy x = 1 , y = 1 : 1 = D
Stąd:
xex − ex + 1
y =
x
Odpowiedź:
xex − ex + 1
y =
x
4
5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu:
∞
1
X
(1 − 2 x) n
3 n + 4 n
n=1
Rozwiązanie:
Przekształcamy:
∞
1
∞
( − 2) n
1
X
n
(1 − 2 x) n = X
x −
3 n + 4 n
3 n + 4 n
2
n=1
n=1
Mamy:
( − 2) n
an = 3 n + 4 n
a
( − 2) n+1
3 n + 4 n
3 n + 4 n
q
n+1
= lim
= lim
·
= lim 2 ·
=
n→∞ a
n→∞
n→∞
n
3 n+1 + 4 n+1
( − 2) n
3 n+1 + 4 n+1
3 n
1
+ 1
1
lim
·
4
=
n→∞ 2
3 n+1 + 1
2
4
Promień zbieżności szeregu jest równy:
1
R =
= 2
q
Środek przedziału zbieżności x 0 = 1 , więc szereg jest zbieżny dla x ∈ ( − 3 , 5 ) , a 2
2
2
rozbieżny dla x ∈ ( −∞ , − 3 ) ∪ ( 5 , ∞) 2
2
Badamy zbieżność na końcach przedziału:
Dla x = − 3 :
2
∞
( − 2) n
3
1
∞
4 n
X
n
− −
= X
3 n + 4 n
2
2
3 n + 4 n
n=1
n=1
Badamy warunkek konieczny:
4 n
1
lim an = lim
= lim
= 1 6= 0
n→∞
n→∞ 3 n + 4 n
n→∞ 3 n + 1
4
Warunek konieczny nie jest spełniony, a więc szereg jest rozbieżny dla x = − 3 .
2
Dla x = 5 :
2
Warunek konieczny również nie jest spełniony, a więc szereg jest rozbieżny.
Odpowiedź:
Przedział zbieżności: ( − 3 , 5 ) 2
2
5
6. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję: (
x
dla
x ∈ ( −π , π)
f ( x) =
0
dla
x ∈ {−π , π}
Wyznaczyć i narysować funkcję f , która jest sumą szeregu.
Rozwiązanie:
Funkcję f jest nieparzysta, więc współczynniki an = 0 dla n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . .
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
π
π
π
1 Z
2 Z
2 Z
− cos nx 0
bn =
f ( x) sin nx d x =
x sin nx d x =
x
d x =
π
π
π
n
−π
0
0
π
2 −x cos nx π Z cos nx
2 −π cos nπ
sin nx π
− 2 cos nπ
− 2( − 1) n
+
d x
=
+
=
=
π
n
0
n
π
n
n 2
0
n
n
0
Szereg Fouriera jest więc następujący:
∞
S( x) = X bn sin nx n=1
∞ − 2( − 1) n
S( x) = X
sin nx
n
n=1
Szereg ten jest zbieżny do funkcji f na zbiorze: < −π, π > ponieważ funkcja spełnia warunki Dirichleta.
6