Egzamin z Równań Różniczkowych, 20 VI 2008, godz. 9.00
1. Rozwiązać równanie
y
0
+ 2xy = xe
−x
2
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie jednorodne:
y
0
+ 2xy = 0
Rozdzielamy zmienne
dy
y
= −2x dx
Z
dy
y
=
Z
−2x dx
ln |y| = −x
2
+ C
y = Ce
−x
2
Uzmienniamy stałą:
y = C(x)e
−x
2
y
0
= C
0
e
−x
2
− 2xCe
−x
2
Podstawiamy do równania niejednorodnego
C
0
e
−x
2
− 2xCe
−x
2
+ 2xCe
−x
2
= xe
−x
2
C
0
= x
C =
Z
x dx =
1
2
x
2
+ D
Rozwiązanie równania:
y = (
1
2
x
2
+ D)e
−x
2
2. Podać definicję zagadnienia Cauchy’ego dla równania różniczkowego zwyczajnego rzędu
pierwszego. Wyznaczyć całkę szczególną równania:
y
0
=
1
x + y
y(0) = 0
Rozwiązanie
Podstawiamy
z = y + x
Wtedy
z
0
= y
0
+ 1
Podstawiamy
z
0
− 1 =
1
z
z
0
=
z + 1
z
Jest to równanie o zmiennych rozdzielających się. Rozdzielamy zmienne
z dz
z + 1
= dx
Całkujemy obie strony
Z
z dz
z + 1
=
Z
dx
Z
(1 −
1
z + 1
) dz = x + C
z − ln |z + 1| = x + C
y + x − ln |y + x + 1| = x + C
y − ln |y + x + 1| = C
Podstawiamy warunek początkowy: x = 0 , y = 0
C = 0
Stąd mamy rozwiązanie:
y − ln |y + x + 1| = 0
3. Wyznaczyć całkę ogólną równania
y
00
+ 2y
0
+ y = 3e
−x
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy najpierw równanie liniowe jednorodne:
y
00
+ 2y
0
+ y = 0
Szukamy pierwiastków równania charakterystycznego:
r
2
+ 2r + 1 = 0
(r + 1)
2
= 0
r
1
= −1 , r
2
= −1
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
y = C
1
e
−x
+ C
2
xe
−x
Szukamy rozwiązania szczególnego równania liniowego niejednorodnego metodą prze-
widywań
y
s
= Ax
2
e
−x
y
0
s
= 2Axe
−x
− Ax
2
e
−x
= (−Ax
2
+ 2Ax)e
−x
y
00
s
= (−2Ax + 2A)e
−x
− (−Ax
2
+ 2Ax)e
−x
= (Ax
2
− 4Ax + 2A)e
−x
Po podstawieniu do równania niejednorodnego:
(Ax
2
− 4Ax + 2A)e
−x
+ 2(−Ax
2
+ 2Ax)e
−x
+ Ax
2
e
−x
= 3e
−x
2A = 3
Czyli A =
3
2
A więc rozwiązanie szczególne:
y
s
=
3
2
x
2
e
−x
Rozwiaznie ogólne równania jest więc równe:
y = C
1
e
−x
+ C
2
xe
−x
+
3
2
x
2
e
−x
4. Wyznaczyć wersory trójścianu Freneta dla krzywej ~r(t) = [t sin t, t cos t, te
t
] w poczatku
układu współrzednych. Napisac równanie płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej w tym
punkcie.
Rozwiązanie:
Początek uładu współrzednych (0, 0, 0, ) jest dla t = 0
Obliczamy:
˙
−
→
r = [sin t + t cos t, cos t − t sin t, e
t
+ te
t
]
˙
−
→
r (0) = [0, 1, 1]
¨
−
→
r = [cos t + cos t − t sin t, − sin t − sin t − t cos t, e
t
+ e
t
+ te
t
]
¨
−
→
r (0) = [2, 0, 2]
Wektor styczny:
−
→
s = ˙
−
→
r = [0, 1, 1]
Wersor styczny:
−
→
s
|−
→
s |
=
[0, 1, 1]
√
2
=
"
0,
1
√
2
,
1
√
2
#
Wektor binormalny:
−
→
b = ˙
−
→
r × ¨
−
→
r = [0, 1, 1] × [2, 0, 2] = [2, 2, −2]
Wersor binormalny:
−
→
b
|
−
→
b |
=
[2, 2, −2]
2
√
3
=
"
1
√
3
,
1
√
3
, −
1
√
3
#
Wektor normalny:
−
→
b =
−
→
b × −
→
s = [2, 2 − 2] × [0, 1, 1] = [4, −2, 2]
Wersor normalny:
−
→
b
|
−
→
b |
=
[4, −2, 2]
2
√
6
=
"
2
√
6
, −
1
√
6
,
1
√
6
#
Napisac równanie płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej:
2x + 2y − 2z = 0
5. Całkę
1
2
Z
0
e
−x
2
dx wyrazić za pomocą szeregu liczbowego.
Rozwiązanie:
Rozwiajmy funkcję f (x) = e
−x
2
w szereg Maclaurina:
Korzystamy z rozwinięcia w szereg funkcji:
e
x
= 1 + x +
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
+ . . . , x ∈ (−∞, ∞)
e
−x
2
= 1 − x
2
+
x
4
2!
−
x
6
3!
+
x
8
4!
+ . . . , x ∈ (−∞, ∞)
Mamy:
1
2
Z
0
e
−x
2
dx =
1
2
Z
0
(1 − x
2
+
x
4
2!
−
x
6
3!
+
x
8
4!
+ . . . ) dx =
1
2
Z
0
1 dx −
1
2
Z
0
x
2
dx +
1
2
Z
0
x
4
2!
dx −
1
2
Z
0
x
6
3!
dx +
1
2
Z
0
x
8
4!
dx + · · · = [x]
1
2
0
−
"
x
3
3
#
1
2
0
+
"
x
5
2! · 5
#
1
2
0
−
"
x
7
3! · 7
#
1
2
0
+
"
x
9
4! · 9
#
1
2
0
+ · · · =
1
2
−
1
2
3
· 3
+
1
2
5
· 5 · 2!
−
1
2
7
· 7 · 3!
+
1
2
9
· 9 · 4!
+ . . .
Zapisując szereg w innej postaci:
I =
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n + 1)2
2n+1
n!
6. Na przedziale < −π, π > dana jest funkcja:
f (x) =
0
dla
x ∈< −π, −1 >
−1
dla
x ∈ (−1, 0 >
1
dla
x ∈ (0, 1 >
0
dla
x ∈ (1, π >
Wyznaczyć szereg Fouriera tej funkcji. Jak funkcja jest jego sumą. Sporządzić wykres
sumy dla x ∈< −π, π >
Rozwiązanie:
Funkcja jest nieparzysta, więc współczynniki a
n
= 0 dla n = 0, 1, 2, 3, . . . .
Dla n = 1, 2, 3 . . .
b
n
=
1
π
π
Z
−π
f (x) sin nx dx =
2
π
π
Z
0
f (x) sin nx dx =
2
π
1
Z
0
sin nx dx =
2
π
−
cos nx
n
1
0
=
2(1 − cos n)
nπ
Szereg Fouriera dla funkcji f (x) jest więc następujący:
S(x) =
∞
X
n=1
b
n
sin nx
S(x) =
∞
X
n=1
2(1 − cos n)
nπ
sin nx
Szereg ten jest zbieżny do funkcji f na zbiorze: (−π, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, π)
(punkty ciągłości f )
oraz: S(0) = S(1) = S(−1) = S(π) = S(−π) = 0 (średnia arytmetyczna granic
lewostronnej i prawostronnej).