Egzamin z Równań Różniczkowych, 26 VI 2007, godz. 9.00
1. Rozwiązać układ równań różniczkowych
˙
x = − 4 y
˙ y = x
x(0) = 0
y(0) = 1
Rozwiązanie:
Różniczkujemy równanie drugie
¨
y = ˙ x
i podstawiamy do pierwszego
¨
y = − 4 y
¨
y + 4 y = 0
Równanie charakterystyczne
r 2 + 4 = 0
Pierwiastki równania charakterystycznego
r 1 = 2 i , r 2 = − 2 i Rozwiązanie ogólne
y = C 1 cos 2 t + C 2 sin 2 t x = − 2 C 1 sin 2 t + 2 C 2 cos 2 t Podstawiamy t = 0 , x = 0 , y = 1
( 2 C 2 = 0
C 1 = 1
Stąd C 2 = 0
A więc rozwiązanie układu:
( x = − 2sin2 t
y = cos 2 t
2. Rozwiązać równanie różniczkowe obniżając najpierw jego rząd y00 + y0 2 = 0
Rozwiązanie
Podstawiamy
y0 = p( x)
Wtedy
y00 = p0
Podstawiamy
p0 + p 2 = 0
Jest to rówanie rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielających się. Rozdzielamy zmienne d p = −p 2
d x
Całkujemy obie strony
Z d p
Z
= −
d x
p 2
1
− = −x + C
p
1
1
p = x + C 1
Rozwiązujemy równanie
1
y0 = x + C 1
Z
1
y =
d x = ln |x + C
x + C
1 | + C 2
1
3. Rozwiązać równanie różniczkowe
yV − 16 y0 = x
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy najpierw równanie liniowe jednorodne: yV − 16 y0 = 0
Szukamy pierwiastków równania charakterystycznego: r 5 − 16 r = 0
r( r 4 − 16) = 0
r( r 2 − 4)( r 2 + 4) = 0
r( r − 2)( r + 2)( r − 2 i)( r + 2 i) = 0
r 1 = 0 , r 2 = 2 , r 3 = − 2 , r 4 = 2 i , r 5 = − 2 i Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e− 2 x + C 4 cos 2 x + C 5 sin 2 x Szukamy rozwiązania szczególnego równania liniowego niejednorodnego metodą przewidy-wań
ys = ( Ax + B) x = Ax 2 + Bx y0 = 2 Ax + B
s
y00 = 2 A
s
y000 = yIV = yV = 0
s
s
s
Po podstawieniu do równania:
− 32 Ax − 16 B = x Czyli A = − 1 , B = 0
32
A więc rozwiązanie szczególne:
ys = − 1 x 2
32
Rozwiaznie ogólne równania jest więc równe: y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e− 2 x + C 4 cos 2 x + C 5 sin 2 x − 1 x 2
32
4. Wyznaczyć szereg Maclaurina funkcji f ( x) = arctan x a następnie wyznaczyć zakres zbieżności tego szeregu.
Rozwiązanie:
Liczymy pochodną:
1
f 0( x) = 1 + x 2
Korzystając z rozwinięcia w szereg funkcji: 1
= 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + . . . , x ∈ ( − 1 , 1) 1 − x
Promień zbieżności tego szeregu jest równy 1.
Mamy
1
1
=
= 1 + ( −x 2) + ( −x 2)2 + ( −x 2)3 + ( −x 2)4 + · · · = 1 − x 2 + x 4 −
1 + x 2
1 − ( −x 2)
x 6 + x 8 + . . .
Wzór ten zachodzi dla −x 2 ∈ ( − 1 , 1) czyli dla x ∈ ( − 1 , 1) Promień zbieżności tego szeregu jest równy 1.
Z
1
1
1
1
f ( x) =
(1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 + . . . ) d x = ( x − x 3 + x 5 − x 7 + x 9 + . . . ) + C
3
5
7
9
Stałą C obliczmy podstawiając x = 0
f (0) = arctan 0 = C
Czyli C = 0
A więc
f ( x) = x − 1 x 3 + 1 x 5 − 1 x 7 + 1 x 9 + . . .
3
5
7
9
Promień zbieżności szeregu potęgowego przy cłąkowaniu nie zmienia się, a więc jest równy 1.
Zakres zbieżności szeregu ( − 1 , 1) Badamy zbiezność na brzegach:
Dla x = − 1
− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . .
3
5
7
9
an = ( − 1) n+1 1
2 n+1
Jest to szereg naprzemienny,
lim
1
= 0
n→∞ 2 n+1
Ciąg
1
jest malejący, a więc szereg jest zbieżny.
2 n+1
Dla x = 1
1 − 1 + 1 − 1 + 1 + . . .
3
5
7
9
an = ( − 1) n 1
2 n+1
Jest to szereg naprzemienny,
lim
1
= 0
n→∞ 2 n+1
Ciąg
1
jest malejący, a więc szereg jest zbieżny.
2 n+1
A więc zakres zbieżności szeregu: < − 1 , 1 >
Z sin x
5. Całkę I =
d x zapisać w postaci szeregu liczbowego x
0
∞
X
I =
an
n=1
Wskazówka: skorzystać z szeregu potęgowego Maclaurina funkcji sin x Rozwiązanie:
x
x 3
x 5
x 7
sin x =
−
+
−
+ . . . , x ∈ ( −∞, ∞) 1!
3!
5!
7!
Dzielimy obie strony przez x
sin x
1
x 2
x 4
x 6
=
−
+
−
+ . . . , x ∈ ( −∞, ∞) , x 6= 0
x
1!
3!
5!
7!
1
Z
1
1
1
1
sin x
Z
1
x 2
x 4
x 6
Z 1
Z x 2
Z x 4
I =
d x =
(
−
+
−
+ . . . ) d x =
d x −
d x +
d x −
x
1!
3!
5!
7!
1!
3!
5!
0
0
0
0
0
1
Z
"
#
"
#
"
#
x 6
x 1
x 3
1
x 5
1
x 7
1
1
1
1
d x + · · · =
−
+
−
+ · · · =
−
+
−
7!
1! 0
3 · 3!
5 · 5!
7 · 7!
1!
3 · 3!
5 · 5!
0
0
0
0
1
+ . . .
7 · 7!
Zapisując szereg w innej postaci:
∞
X
( − 1) n+1
I =
(2 n − 1)(2 n − 1)!
n=1
6. Funkcja f ( x) jest okresową o okresie T = 2, przy czym: ( − 2 dla − 1 < x < 0
f ( x) =
2 dla 0 < x < 1
Narysować tę funkcje na przedziale ( − 2 , 4). Wyznaczyć szereg Fouriera tej funkcji.
Rozwiązanie:
Wyznaczamy szereg Fouriera tej funkcji na przedziale < − 1 , 1 > Funkcja jest nieparzysta, więc współczynniki an = 0 dla n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . .
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
T
2
1
2 Z
2 π
Z
bn =
f ( x) sin nx
d x =
f ( x) sin nxπ d x =
T
T
T
− 1
− 2
1
Z
cos nπx1
4(1 − cos( nπ))
4(1 − ( − 1) n)
2
2 sin nxπ d x = 4 −
=
=
nπ
0
nπ
nπ
0
Szereg Fouriera dla funkcji f ( x) jest więc następujący:
∞
X
f ( x) =
bn sin nπx
n=1
∞
X 4(1 − ( − 1) n)
f ( x) =
sin nπx
nπ
n=1