Egzamin z Równań Różniczkowych, 21 VI 2007, godz. 9.00
1. Rozwiązać równanie
xy
y0 +
= x
1 + x 2
y(0) = 13
a następnie narysować wyznaczoną krzywą całkową.
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne: xy
y0 +
= 0
1 + x 2
Rozdzielamy zmienne:
d y
xy
= −
d x
1 + x 2
d y
x d x
= −
y
1 + x 2
Całkujemy obie strony
Z d y
Z
x d x
= −
y
1 + x 2
Całkę z prawej strony liczmy przez podstawienie: (
)
t = 1 + x 2
d t = 2 x d x
Z
x d x
Z d t
1
1
=
=
ln |t| + C =
ln | 1 + x 2 | + C
1 + x 2
2 t
2
2
Rozwiązanie równania liniowego jednorodnego: ln |y| = − 1 ln | 1 + x 2 | + C
2
Po uproszczeniu:
C
y = √ 1 + x 2
Rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne: xy
y0 +
= x
1 + x 2
Szukamy rozwiązania w postaci:
C( x)
y = √ 1 + x 2
Wtedy
C0
2 xC
y0 = √
−
√
1 + x 2
2( 1 + x 2)3
Po podstawieniu do równania:
C0
√
= x
1 + x 2
√
C0 = x 1 + x 2
Z
√
C =
x 1 + x 2 d x
(
)
t = 1 + x 2
d t = 2 x d x
Z 1 √
1 √
1 √
C =
t d t = ( t)3 + D = ( 1 + x 2)3 + D
2
3
3
Rozwiązanie ogólne równania:
√
1 ( 1 + x 2)3 + D
1
1
D
y = 3
√
=
+ x 2 + √
1 + x 2
3
3
1 + x 2
Postawiamy waruknek początkowy: x = 0, y = 13
1 = 1 + D
3
3
D = 0
Szukane rozwiązanie:
y = 1 + 1 x 2
3
3
Jest to parabola.
2. Rozwiązać równanie różniczkowe
y000 + 2 y00 + y0 + 2 y = 18 e 2 x Rozwiązanie:
Rozwiąznujemy najpierw równanie liniowe jednorodne: y000 + 2 y00 + y0 + 2 y = 0
Szukamy pierwiastków równania charakterystycznego: r 3 + 2 r 2 + r + 2 = 0
( r + 2)( r 2 + 1) = 0
r 1 = − 2 , r 2 = i , r 3 = −i Rozwiąznie ogólne równania jednorodnego: y = C 1 e− 2 x + C 2 cos x + C 3 sin x Szukamy rozwiązania szczególnego równania liniowego niejednorodnego metodą przewidy-wań
ys = Ae 2 x
y0 = 2 Ae 2 x
s
y00 = 4 Ae 2 x
s
y000 = 8 Ae 2 x
s
Po podstawieniu do równania:
20 Ae 2 x = 18 e 2 x Czyli A = 9
10
A więc rozwiąznie szczególne:
ys = 9 e 2 x
10
Rozwiaznie ogólne równania jest więc równe: y = C 1 e− 2 x + C 2 cos x + C 3 sin x + 9 e 2 x 10
3. Wyznaczyć zakres zbieżności szeregu:
∞
X cos nπ
√ ( x − 1) n
n n
n=1
Rozwiązanie:
cos nπ = ( − 1) n
Szukamy promienia zbieżności szeregu. W tym celu liczymy granicę: v
q
u
u ( − 1) n
√
lim n |a
n
t
√ = lim ( n n) − 32 = 1
n→∞
n| = lim
n→∞
n n
n→∞
Promień zbieżności jest więc równy:
R = 1 = 1
1
Szereg jest zbieżny dla |x − 1 | < 1 czyli dla x ∈ (0 , 2) Sprawdzamy zbieżność na brzegu obszaru: x = 0
∞
X ( − 1) n
∞
X 1
√ ( − 1) n =
n n
n=1
n=1 n 32
Ten szereg jest zbieżny (harmoniczny z α = 3 > 1) 2
x = 2
∞
X ( − 1) n
∞
X ( − 1) n
√ (1) n =
n n
n=1
n=1
n 32
Badamy zbieżność szeregu
∞
X
∞
( − 1) n
X 1
=
n=1
n 32
n=1 n 32
Ten szereg jest zbieżny, a więc szereg bez wartości bezwzględnej też jest zbiezny.
Odpowiedź:
Szereg jest zbiezny dla x ∈< 0 , 2 > 4. Napisać szereg Maclaurina funkcji f ( x) = xe−x 2 a następnie z postaci szeregu obliczyć pochodną f (23)(0)
Rozwiązanie:
x
x 2
x 3
x 4
ex = 1 +
+
+
+
+ . . . , x ∈ ( −∞, ∞) 1!
2!
3!
4!
( −x 2)
( −x 2)2
( −x 2)3
( −x 2)4
x 2
x 4
x 6
x 8
e−x 2 = 1 +
+
+
+
+ · · · = 1 −
+
−
+
+ . . . ,
1!
2!
3!
4!
1!
2!
3!
4!
x ∈ ( −∞, ∞)
x 3
x 5
x 7
x 9
xe−x 2 = x −
+
−
+
+ . . . , x ∈ ( −∞, ∞) 1!
2!
3!
4!
Współczynnik przy x 23 jest równy: 1
a 23 = − 11!
Więc
23!
f (23)(0) = a 23(23!) = − 11!
5. Wyznaczyć torsję w dowolnym punkcie krzywej K : x = cos t, y = sin t, z = 4 t .
...
( ˙ ~r, ¨
~r, ~r)
τ = |˙ ~r × ¨ ~r| 2
Rozwiązanie:
˙ ~r = [ − sin t, cos t, 4]
¨
~r = [ − cos t, − sin t, 0]
...
~r = [sin t, − cos t, 0]
i
j
k
˙ ~rר ~r =
− sin t
cos t
4 = − 4 j cos t+ k sin2 t+ k cos2 t+ i 4 sin t = [4 sin t, − 4 cos t, 1]
− cos t − sin t 0
...
( ˙ ~r, ¨
~r, ~r ) = [4 sin t, − 4 cos t, 1] · [sin t, − cos t, 0] = 4 sin2 t + 4 cos2 t = 4
A więc
4
4
τ = √
=
( 16 sin2 t + 16 cos2 t + 1)2
17
6. Dana jest funkcja:
( 0 dla x ∈ ( −π,− 1) ∪ (1 ,π) f ( x) =
1 dla x ∈ ( − 1 , 1) Uzupełnić tę funkcję aby w przedziale < −π, π > spełniała warunki Dirichleta. Wyznaczyć szereg Fouriera tej funkcji.
Rozwiązanie:
Aby fukcja spełniała warunki Dirichleta musi mieć wartości (średnie arytmetyczne granic obustronnych):
f ( −π) = 12
f ( π) = 12
f ( − 1) = 12
f (1) = 12
Funkcja jest parzysta, więc współczynniki bn = 0 dla n = 1 , 2 , 3 , . . . .
π
π
1
1 Z
2 Z
2 Z
2
2
a 0 =
f ( x) d x =
f ( x) d x =
1 d x =
[ x]1 =
π
π
π
π
0
π
−π
0
0
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
π
π
1
1 Z
2 Z
2 Z
2 sin nx1
an =
f ( x) cos nx d x =
f ( x) cos nx d x =
cos nx d x =
=
π
π
π
π
n
0
−π
0
0
2 sin n
nπ
Szereg Fouriera dla funkcji f ( x) jest więc następujący: a
∞
X
f ( x) = 0 +
a
2
n cos nx
n=1
1
∞
X 2 sin n
f ( x) =
+
cos nx
π
nπ
n=1