Egzamin z Równań Różniczkowych, 25 VI 2009
1. Zadanie wstępne
Nr
Zadanie
Odp.
1.1
Napisać równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego, którego całkami
szczególnymi są: y
1
= e
x
, y
2
= xe
x
Rozwiązanie:
(r − 1)
2
= 0
równanie charakterystyczne
r
2
− 2r + 1 = 0
y
00
− 2y
0
+ y = 0
y
00
− 2y
0
+ y =
0
1.2
Wyznaczyć krzywą całkową równania y
0
= 3x
2
y , do której należy
punkt P (5, 0)
Rozwiązanie:
dy
dx
= 3x
2
y
dy
y
= 3x
2
dx
rozdzielamy zmienne
ln |y| = x
3
+ C
całkujemy
y = Ce
x
3
0 = Ce
125
=⇒ C = 0
y = 0
1.3
Rozwiązać równanie: y(1 + x
2
)y
0
=
1
2
Rozwiązanie:
2y dy =
dx
1 + x
2
rozdzielamy zmienne
y
2
= arc tg x + C
całkujemy
y
2
=
arc tg x + C
1.4
Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n=1
2n − 2
2n + 3
n
Rozwiązanie:
Korzystamy z warunku koniecznego:
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
2n − 2
2n + 3
n
= lim
n→∞
1 +
−5
2n + 3
n
=
lim
n→∞
1 +
−5
2n + 3
2n + 3
−5
−5n
2n + 3
= e
−
5
3
6= 0
szereg
jest
rozbieżny
1.5
Zapisać w postaci ogólnej równanie płaszczyzny normalnej do krzywej
K : x = t , y = t
2
, z = 3t w punkcie P (1, 1, 3)
Rozwiązanie:
~
r(t) = [t, t
2
, 3t]
Punkt P odpowiada t = 1
˙
~
r(t) = [1, 2t, 3]
,
˙
~
r(1) = [1, 2, 3]
1 · (x − 1) + 2 · (y − 1) + 3 · (z − 3) = 0
płaszczyzna normalna
x + 2y + 3z − 12 = 0
x + 2y + 3z −
12 = 0
1
2. Rozwiązać równanie:
y
0
= −
1
x
y + xy
3
dla x > 0
Rozwiązanie:
y
0
+
1
x
y = xy
3
równanie Bernoulliego , α = 3
u = y
1−3
= y
−2
podstawiamy nową funkcję u(x)
y = u
−
1
2
dla y 0
y
0
= −
1
2
u
−
3
2
u
0
−
1
2
u
−
3
2
u +
1
x
u
−
1
2
= xu
−
3
2
u
0
−
2
x
u = −2x
równanie liniowe
u
0
−
2
x
u = 0
równanie liniowe jednorodne
du
u
=
2
x
dx
rozdzielamy zmienne
Z
du
u
=
Z
2
x
dx
całkujemy
ln |u| = 2 ln |x| + C
u = Cx
2
rozwiązanie ogólne równannia liniowego jednorodnego
u = C(x)x
2
uzmienniamy stałą
u
0
= C
0
x
2
+ 2xC
C
0
x
2
+ 2xC −
2
x
Cx
2
= −2x
C
0
= −
2
x
C =
Z
−
2
x
dx = −2 ln |x| + D
u = (−2 ln |x| + D)x
2
y =
1
q
(−2 ln |x| + D)x
2
=
1
x
√
−2 ln x + D
x > 0
2
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
y
00
(x
2
+ 1) − 2xy
0
= 0
y(0) = 1
y
0
(0) = 5
Rozwiązanie:
Jest to równanie rzędu drugiego bez y. Podstawiamy:
y; = p(x)
y
00
= p
0
p
0
(x
2
+ 1) − 2xp = 0
równanie o zmiennych rozdzielających się
dp
p
=
2x
x
2
+ 1
dx
rozdzielamy zmienne
Z
dp
p
=
Z
2x
x
2
+ 1
dx
całkujemy
ln |p| = ln |x
2
+ 1| + C
licznik jest pochodną mianownika, podstawiamy t = x
2
+ 1
p = C(x
2
+ 1)
5 = C
z warunku y
0
(0) = 5 mamy p(0) = 5
p = 5x
2
+ 5
y
0
= 5x
2
+ 5
y =
Z
5x
2
+ 5 dx =
5
3
x
3
+ 5x + D
1 = D
z warunku y(0) = 1
y =
5
3
x
3
+ 5x + 1
Odpowiedź:
y =
5
3
x
3
+ 5x + 1
3
4. Rozwiązać równanie:
y
00
− y
0
= e
x
+ x
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y
00
− y
0
= 0
r
2
− r = 0
równanie charakterystyczne
r(r − 1) = 0
r
1
= 0 , r
2
= 1
y = C
1
+ C
2
e
x
rozwiązanie ogólne równannia liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y
00
− y
0
= e
x
Przewidujemy rozwiązanie w postaci:
y
s
= Ae
x
x
y
0
s
= Ae
x
x + Ae
x
y
0
s
= Ae
x
x + 2Ae
x
Ae
x
x + 2Ae
x
− Ae
x
x − Ae
x
= e
x
A = 1
y
s
= e
x
x
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y
00
− y
0
= x
Przewidujemy rozwiązanie w postaci:
y
s
= (Ax + B)x = Ax
2
+ V x
y
0
s
= 2Ax + B
y
0
s
= 2A
2A − 2Ax − B = x
−2A = 1 , 2A − B = 0
A = −
1
2
, B = −1
y
s
= −
1
2
x
2
− x
Odpowiedź:
y = C
1
+ C
2
e
x
+ xe
x
−
1
2
x
2
− x
4
5. Wyznaczyć przedział zbiezności szeregu potęgowego:
∞
X
n=1
[2 + (−1)
n
]
x
3
n
Rozwiązanie:
a
n
=
2 + (−1)
n
3
n
q = lim
n→∞
n
q
|a
n
| = lim
n→∞
1
3
n
q
2 + (−1)
n
1 ¬
n
q
2 + (−1)
n
¬
n
√
3
twierdzenie o trzech ciągach
lim
n→∞
n
√
3 = 1
Stąd
q =
1
3
Promień zbieżności szeregu jest równy:
R =
1
q
= 3
Szereg jest zbieżny na przedziale x ∈ (−3 , 3) . Badamy zbieżność na końcach prze-
działu:
x = −3
∞
X
n=1
[2 + (−1)
n
]
−3
3
n
=
∞
X
n=1
[2 · (−1)
n
+ 1]
|a
n
| = 2 + (−1)
n
1 więc lim
n→∞
a
n
6= 0 , warunek konieczny nie jest spełniony więc
szereg jest rozbieżny dla x = −3
x = 3
∞
X
n=1
[2 + (−1)
n
]
3
3
n
=
∞
X
n=1
[2 + (−1)
n
]
a
n
= 2 + (−1)
n
1 więc lim
n→∞
a
n
6= 0 , warunek konieczny nie jest spełniony więc szereg
jest rozbieżny dla x = 3
Odpowiedź:
Szereg jest zbieżny dla x ∈ (−3 , 3)
5
6. Wyznaczyć współczynniki szeregu Fouriera funkcji:
f (x) =
0 dla x ∈ [−π, −
π
2
]
−1 dla x ∈ (−
π
2
, 0)
0 dla x = 0
1 dla x ∈ (0,
π
2
)
0 dla x ∈ [
π
2
, π]
dla n = 1, 2, 3, 4 . Podać wartość sumy tego szeregu dla argumentu
π
4
i
π
2
Rozwiązanie:
Ponieważ funkcja jest nieparzysta, więc a
n
= 0 , n = 0, 1, 2, . . .
b
n
=
1
π
π
Z
−π
f (x) sin nx dx =
2
π
π
Z
0
f (x) sin nx dx =
2
π
π
2
Z
0
1 · sin nx dx =
2
π
− cos nx
n
π
2
0
=
2(− cos n
π
2
+ 1)
nπ
Korzystamy z parzystości funkcji podcałkowej.
Stąd:
a
1
= a
2
+ a
3
= a
4
= 0
b
1
=
2
π
b
2
=
2
π
b
3
=
2
3π
b
4
= 0
W punkcie x =
π
4
funkcja f (x) jest ciągła, więc szereg Fouriera jest zbieżny do f (
π
4
) = 1.
W punkcie x =
π
2
funkcja f (x) nie jest ciągła, więc szereg Fouriera jest zbieżny do
średniej arytmetycznej granic lewostronnej i prawostronnej f w x =
π
2
:
S
F
(
π
2
) =
1 + 0
2
=
1
2
Odpowiedź:
a
1
= a
2
+ a
3
= a
4
= 0
b
1
=
2
π
; b
2
=
2
π
; b
3
=
2
3π
; b
4
= 0
S
F
(
π
4
) = 1
S
F
(
π
2
) =
1
2
6