Egzamin z Równań Różniczkowych, 17 IX 2010
1. Zadanie wstępne
Zadanie
Odp.
1. Napisać równanie różniczkowe, którego całka ogólna ma postać: y00 − 6 y0 + 9 y = 0
y = C 1 e− 3 x + C 2 xe− 3 x Rozwiązanie:
r 1 = r 2 = − 3
pierwiastki wielomianu charakterystycznego
( r − 3)2 = r 2 − 6 r + 9
wielomian charakterystyczny
y00 − 6 y0 + 9 y = 0
równanie różniczkowe
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
y = e sin x
(
y0 = y cos x
y(0) = 1
Rozwiązanie:
d y = cos x d x = ⇒ ln |y| = sin x + C
rozdzielamy zmienne
y
y = Ce sin x
y(0) = 1 = ⇒ 1 = C = ⇒ C = 1
∞ 2 n + 3 n
7
3. Wyznaczyć sumę szeregu X
6 n
2
n=0
Rozwiązanie:
∞ 2 n + 3 n
∞
∞
1 n
1 n
1
1
7
X
= X
+ X
=
+
=
6 n
3
2
1 − 1
1 − 1
2
n=0
n=0
n=0
3
2
Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego 4. Wyznaczyć styczną do krzywej o równaniu: x = t + 1 ; y =
−
→
t
r ( t) = [1 − sin t , 1 − cos t , 4 sin ] dla t = π
2 ; z = 4
2
Rozwiązanie:
−
→
r ( π) = [1 , 2 , 4]
˙
−
→
t
r ( t) = [ − cos t , sin t , 2 cos ]
,
˙
−
→
r ( π) = [1 , 0 , 0]
2
x = t + 1 ; y = 2 ; z = 4
prosta styczna
5. Wyznaczyć równanie rózniczkowe rodziny krzywych y = Cx 2 + x− 1 , C ∈ R xy0 = 2 y − x + 2
Rozwiązanie:
y0 = 2 Cx + 1
rózniczkujemy równanie rodziny
C = y0− 1
eliminujemy stałą C
2 x
y = y0− 1 · x 2 + x − 1 = ⇒ 2 y = xy0 − x + 2 x − 2 = ⇒ xy0 = 2 y − x + 2
2 x
1
y0 + xy = xy− 3
Rozwiązanie:
Jest to równanie Bernoulliego. Mnożymy obie strony przez y 3: y 3 y0 + xy 4 = x Podstawiamy: z( x) = y 3( x) , wtedy z0 = 4 y 3 y0
1 z0 + xz = x
4
z0 + 4 xz = 4 x
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne: z0 + 4 xz = 0
Rozdzielamy zmienne:
d z = − 4 x d x
z
Z
d z
Z
=
− 4 x d x
z
ln |z| = − 2 x 2 + C
z = Ce− 2 x 2
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
z0 + 4 xz = 4 x
z = C( x) e− 2 x 2
uzmienniamy stałą
Wtedy:
z0 = C0e− 2 x 2 − 4 xCe− 2 x 2
C0e− 2 x 2 − 4 xCe− 2 x 2 + 4 xCe− 2 x 2 = 4 x wstawiamy do równania
C0 = 4 xe 2 x 2
Z
Z
C =
4 xe 2 x 2 d x = {t = 2 x 2 ; d t = 4 x d x} =
et d t = et + D = e 2 x 2 + D
Stąd:
z = ( e 2 x 2 + D) e− 2 x 2 = 1 + De− 2 x 2
√
√
y = 4 z = 4 1 + De− 2 x 2
Odpowiedź:
√
y = 4 1 + De− 2 x 2
2
y(4) − y00 = 2 x
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y(4) − y00 = 0
r 4 − r 2 = 0
równanie charakterystyczne
r 2( r 2 − 1) = 0 = ⇒ r 2( r − 1)( r + 1) = 0
r 1 = r 2 = 0 , r 3 = 1 , r 4 = − 1
y = C 1 + C 2 x + C 3 ex + C 4 e−x rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego: y(4) − y00 = 2 x
Ponieważ r = 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu charakterystyczneg, więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci:
ys = ( Ax + B) x 2 = Ax 3 + Bx 2
y0 = 3 Ax 2 + 2 Bx
s
y00 = 6 Ax + 2 B
s
y000 = 6 A
s
y(4) = 0
s
Wstawiamy do równania:
− 6 Ax − 2 B = 2 x
(
−
(
6 A = 2
A = − 1
= ⇒
3
− 2 B = 0
B = 0
ys = − 1 x 3
3
Odpowiedź:
y = C 1 + C 2 x + C 3 ex + C 4 e−x − 1 x 3
3
3
4. Wyznaczyć rozwiązanie układu równań (
y0 = 3 y
1
1 + 2 y 2 + 1
y0 = 8 y
2
1 + 3 y 2
spełniające warunek początkowy y 1(0) = − 1 , y 2(0) = 2
Rozwiązanie:
y 2 = 1 y0 − 3 y
z pierwszego równania
2 1
2 1 − 1
2
y0 = 1 y00 − 3 y0
2
2 1
2 1
1 y00 − 3 y0 = 8 y
y0 − 9 y
podstawiamy do drugiego równania
2 1
2 1
1 + 3
2 1
2 1 − 3
2
y00 − 6 y0 − 7 y
1
1
1 = − 3
Równanie liniowe jednorodne:
y00 − 6 y0 − 7 y
1
1
1 = 0
r 2 − 6 r − 7 = 0
∆ = 64
r 1 = − 1 , r 2 = 7
y 1 = C 1 e−x + C 2 e 7 x Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania liniowego niejednorodnego: y 1 s = A
y0 = 0
1 s
y00 = 0
1 s
− 7 A = − 3 = ⇒ A = 37
y 1 s = 37
Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego: y 1 = C 1 e−x + C 2 e 7 x + 37
y0 = −C
1
1 e−x + 7 C 2 e 7 x
y 2 = 1 ( −C
( C
) − 1 = − 2 C
2
1 e−x + 7 C 2 e 7 x) − 3
2
1 e−x + C 2 e 7 x + 3
7
2
1 e−x + 2 C 2 e 7 x − 8
7
Podstawiamy warunki początkowe:
(
−
(
(
1 = C 1 + C 2 + 3
C
C
7
= ⇒
1 + C 2 = − 10
7
= ⇒
1 = − 3
2
2 = − 2 C 1 + 2 C 2 − 8
−C
C
7
1 + C 2 = 11
7
2 = 1
14
Odpowiedź:
y 1 = − 3 e−x + 1 e 7 x + 3
2
14
7
y 2 = 3 e−x + 1 e 7 x − 8
7
7
4
5. Wyznaczyć szereg Maclaurina funkcji f ( x) = xe−x 2+1 . Określić przedział zbieżności tego szeregu. Wyznaczyć wartość f (10)(0) .
Rozwiązanie:
( −x 2)2
( −x 2)3
( −x 2)4
f ( x) = xe · e−x 2 = xe 1 + ( −x)2 +
+
+
. . .
=
2!
3!
4!
∞
x 4
x 6
x 8
ex 5
ex 7
ex 9
( − 1) nex 2 n+1
xe 1 − x 2 +
−
+
. . .
= ex − ex 3 +
−
+
· · · = X
2!
3!
4!
2!
3!
4!
n!
n=0
Przdział zbiezności tego szeregu: x ∈ ( −∞ , ∞) Skorzystaliśmy z rozwinięcia w szereg funkcji:
x 2
x 3
x 4
ex = 1 + x +
+
+
+ . . . , x ∈ R
2!
3!
4!
f (10)(0)
Ponieważ a 10 = 0 oraz a 10 =
więc
10!
f (10)(0) = 0
5
6. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję: (
0
dla
x ∈ ( −π , 0)
f ( x) =
−x
dla
x ∈ [0 , π}
Wyznaczyć i naszkicować funkcję f , która jest sumą szeregu.
Rozwiązanie:
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
π
π
π
π
1
0
Z
1 Z
1 Z
1 Z
sin nx
an =
f ( x) cos nx d x =
0 · cos nx d x+
−x cos nx d x =
−x
d x =
π
π
π
π
n
−π
0
0
0
π
1 −x sin nx π
Z
sin nx
1
− cos nx π
− cos nπ + 1
1 − ( − 1) n
+
d x
=
0 +
=
=
π
n
0
n
π
n 2
0
πn 2
πn 2
0
π
π
π
1
"
# π
Z
1 Z
1 Z
1
x 2
π
a 0 =
f ( x) d x =
0 · d x +
−x d x =
−
= −
π
π
π
π
2
2
−π
0
0
0
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
π
π
π
π
1 Z
1 Z
1 Z
1 Z
− cos nx 0
bn =
f ( x) sin nx d x =
0 · sin nx d x+
−x sin nx d x =
−x
d x =
π
π
π
π
n
−π
0
0
0
π
1 x cos nx π
Z
cos nx
1 π cos nπ
sin nx π
cos nπ
( − 1) n
−
d x
=
−
=
=
π
n
0
n
π
n
n 2
0
n
n
0
Szereg Fouriera jest więc następujący:
a
∞
∞
S
0
( x) =
+ X a
X
n cos nx +
bn sin nx
2
n=1
n=1
∞ 1 − ( − 1) n
∞ ( − 1) n
S( x) = − π + X
cos nx + X
sin nx
4
πn 2
n
n=1
n=1
Szereg ten jest zbieżny do funkcji f na zbiorze: ( −π, π) .
0 + −π
π
S( −π) = S( π) =
2
= −
2
4
6