Egzamin z Algebry, 10 IX 2010

1. Zadanie wstępne

Zadanie

Odp.

1. Zapisać w postaci kanonicznej (algebraicznej) z =

1 + i

√

3

1 − i

√

3

Rozwiązanie:

1 + i

√

3

1 − i

√

3

=

(1 + i

√

3) · (1 + i

√

3)

(1 − i

√

3) · (1 + i

√

3)

=

1 + 2i

√

3 − 3

1 + 3

= −

1

2

+ i

√

3

2

−

1
2

+ i

√

3

2

2. Wyznaczyć A

−1

jeżeli A =

"

1 2
3 4

#

Rozwiązanie:
|A| = 4 − 6 = −2 6= 0

A

d

=

"

4 −3

−2

1

#

(A

d

)

T

=

"

4 −2

−3

1

#

A

−1

=

(A

d

)

T

|A|

=

"

−2

1

3
2

−

1
2

#

"

−2

1

3
2

−

1
2

#

3. Obliczyć odległość punktu P (1, 0, 2) od płaszczyzny π : 2x + y + 2z − 7 = 0
Rozwiązanie:

d =

|2 · 1 + 0 + 2 · 2 − 7|

√

2

2

+ 1

2

+ 2

2

=

1

3

1

3

4. Obliczyć odległość ognisk elipsy

(x − 4)

2

9

+

y

2

25

= 1 .

Rozwiązanie:
a

2

= 9 =⇒ a = 3 , b

2

= 25 =⇒ b = 5 , b > a

Ogniska leżą na prostej równoległej do osi Oy przechodzącej przez środek
elipsy.
d =

√

b

2

− a

2

= 4

odległość ogniska od środka elipsy.

2d = 8

odległość między ogniskami

8

5. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez środek sfery o równa-

niu: (x − 1)

2

+ (y − 2)

2

+ z

2

= 1 , prostopadłej do prostej l :

(

x − y = 0
2x + z − 1 = 0

Rozwiązanie:
x = t =⇒ y = t =⇒ z = −2t + 1

prosta w postaci parametrycznej

−

→

n = [1, 1 − 2]

wektor normalny płaszczyzny

S = (1, 2, 0)

środek sfery

(x − 1) + (y − 2) − 2z = 0 =⇒ x + y − 2z − 3 = 0

równanie płaszczyzny

x + y − 2z − 3 = 0

1

2. Rozwiązać równanie: (z

2

+ z + 1)(z

3

− i) = 0 , z ∈ C .

Rozwiązanie:

(z

2

+ z + 1)(z

3

− i) = 0 ⇐⇒ z

2

+ z + 1 = 0

lub

z

3

− i = 0

Szukamy rozwiązań równania: z

2

+ z + 1 = 0

∆ = −3

√

∆ = ±

√

3i

z

1

=

−1 −

√

3i

2

z

2

=

−1 +

√

3i

2

Szukamy rozwiązań równania: z

3

− i = 0

z

3

= i

z =

3

√

i

Zapisujemy liczbę i w postaci trygonometrycznej:

i = 1 · (cos

π

2

+ i sin

π

2

)

z

k

= cos

π

2

+2kπ

3

+ i sin

π

2

+2kπ

3

, k = 0, 1, 2

z

3

= cos

π

6

+ i sin

π

6

=

√

3

2

+

1
2

i

z

4

= cos

5π

6

+ i sin

5π

6

= −

√

3

2

+

1
2

i

z

5

= cos

3π

2

+ i sin

3π

2

= −i

Odpowiedź:

z

1

= −

1
2

−

√

3i

2

z

2

= −

1
2

+

√

3i

2

z

3

=

√

3

2

+

i

2

z

4

= −

√

3

2

+

i

2

z

5

= −i

2

3. Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie:






1 2 3
0 1 2
0 2 1






· X =






7 7
4 4
2 5






Rozwiązanie:

Oznaczamy:

A =






1 2 3
0 1 2
0 2 1






, B =






7 7
4 4
2 5






Przy założeniu, że istnieje macierz odwrotna do A mamy:

A · X = B ⇐⇒ X = A

−1

· B

Obliczamy:

|A| = 1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 4 = −3 6= 0 =⇒ macierz odwrotna istnieje

A

d

=






−3

0

0

4

1 −2

1 −2

1






(A

d

)

T

=






−3

4

1

0

1 −2

0 −2

1






A

−1

=

(A

d

)

T

|A|

=











1 −

4
3

−

1
3

0 −

1
3

2
3

0

2
3

−

1
3











X = A

−1

· B =






1 0
0 2
2 1






Odpowiedź:

X =






1 0
0 2
2 1






3

4. Określić liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru p ∈ R :











x + py − z = 1
2x − y + pz = 0
x + 10y − 6z = p

Rozwiązanie:

Badamy rząd macierzy

A =






1

p −1

2 −1

p

1

10 −6






Obliczamy wyznacznik:

|A| = 6 + p

2

− 20 − 1 − 10p + 12p = p

2

+ 2p − 15

p

2

+ 2p − 15 = 0 =⇒ p

1

= −5 , p

2

= 3

Wniosek: dla p 6= −5 i p 6= 3 rząd A jest równy 3, rząd A

R

też jest równy 3 więc układ

ma jedno rozwiązanie.

Dla p = −5 :

Rząd A jest mniejszy niż 3. Rząd ten jest równy 2, ponieważ wyznacznik:







2 −1
1

10







= 21 6= 0

skreślamy w

1

i k

3

Badamy rząd A

R

=






1 −5 −1

1

2 −1 −5

0

1

10 −6 −5






Obliczamy wyznacznik:









1 −1

1

2 −5

0

1 −6 −5









= 25 + 0 − 30 + 5 − 0 − 10 = −10 6= 0

skreślamy k

2

Wniosek: dla p = −5 rząd A

R

= 3, rząd A = 2 więc układ nie ma rozwiązań.

Dla p = 3 :

Rząd A jest mniejszy niż 3. Rząd ten jest równy 2; sprawdzamy wyznacznik dla przy-
padku p = −5

Badamy rząd A

R

:

A

R

=






1

3 −1 1

2 −1

3 0

1

10 −6 3






Obliczamy wyznacznik:









1 −1 1
2

3 0

1 −6 3









= 9 + 0 − 30 − 3 − 0 + 6 = −18 6= 0

skreślamy k

2

Wniosek: dla p = 3 rząd A

R

=3, rząd A = 2 więc układ nie ma rozwiązań.

Odpowiedź:

Dla p = −5 oraz dla p = 3 układ jest sprzeczny, a dla pozostałych p układ ma jedno
rozwiązanie.

4

5. Napisać równanie płaszczyzny π zawierającej prostą

l :

(

4x − y + 3z − 1 = 0
x + 5y − z + 2 = 0

i prostopadłą do płaszczyzny o równaniu: 2x − y + 5z − 3 = 0 .

Rozwiązanie:

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l (pęk płaszczyzn):

π : α(4x − y + 3z − 1) + β(x + 5y − z + 2) = 0

Wektor normalny tej płaszczyzny:
−

→

n = [4α + β , 5β − α , 3α − β]

Płaszczyzna ta jest prostopadła do płaszczyzny π

1

: 2x − y + 5z − 3 = 0 , gdy wektor

−

→

n jest prostopadły do −

→

n

1

= [2, −1, 5] , czyli:

−

→

n

1

· −

→

n = 0

2(4α + β) − (5β − α) + 5(3α − β) = 0

24α − 8β = 0 =⇒ β = 3α

Wybieramy dowolną niezerową wartość np. α = 1 , wtedy mamy β = 3.

π : 7x + 14y + 0z + 5 = 0

Odpowiedź:

Równanie płaszczyzny π : 7x + 14y + 5 = 0

5

6. Dany jest czworościan o wierzchołkach: A(1, 1, 0) , B(0, 3, 2) , C(−1, 1, 1) , D(2, 0, 0).

Obliczyć:

a) długość wysokości czworościanu wychodzącej z wierzchołka D,

b) równanie płaszczyzny, na której leżą punkty A, B, C .

Rozwiązanie:

Obliczamy:
−→

AB = [−1, 2, 2]
−→

AC = [−2, 0, 1]
−

−

→

AD = [1, −1, 0]

a) Wysokość czworościanu jest równa wysokości równoległościanu rozpiętemu przez te

wektory. Mamy S · h = V =⇒ h =

V

S

Pole podstawy równoległościanu:

S = |

−→

AB ×

−→

AC|

−→

AB ×

−→

AC =









i j

k

−1 2 2
−2 0 1









= 2i − 4j + 4k + j = [2, −3, 4]

S =

q

2

2

+ (−3)

2

+ 4

2

=

√

29

Objetość równoległościanu:

S = |(

−→

AB ×

−→

AC) ·

−

−

→

AD| = |2 + 3 + 0| = 5

Stąd:

h =

5

√

29

b) wektor

−→

AB ×

−→

AC jest wektorem normalnym szukanej płaszczyzny:

π : 2x − 3y + 4z + E = 0

Punkt A leży na płaszczyźnie:

2 − 3 + 0 + E = 0 =⇒ E = 1

π : 2x − 3y + 4z + 1 = 0

Odpowiedź:

a) h =

5

√

29

b) punkty A, B, C leżą w płaszczyźnie: π : 2x − 3y + 4z + 1 = 0

6