Egzamin z ALgebry, 8 IX 2009

1. Zadanie wstępne

Zadanie

Odp.

1. Zapisać w postaci kanonicznej (algebraicznej)

√

2

2

+ i

√

2

2

3

Rozwiązanie:

z =

√

2

2

+ i

√

2

2

,

|z| =

q

1
2

+

1
2

= 1 , arg z =

π

4

z = 1 ·

cos

π

4

+ i sin

π

4

postać trygonometryczna

z

3

= cos

3π

4

+ i sin

3π

4

= −

√

2

2

+ i

√

2

2

−

√

2

2

+ i

√

2

2

2. Obliczyć wyznacznik macierzy C , jeżeli C = A · B , zaś

A =







1 0 0
0 2 0
0 0 3







,

B =







1 2 3
0 1 0
0 0 1







Rozwiązanie:
|C| = |A| · |B|
|A| = 1 · 2 · 3 = 6

,

|B| = 1 · 1 · 1 = 1

macierze trójkątne

|C| = 6

6

3. Dla jakiej wartości parametru p wektor ~v = [p, 2, 3] jest prostopadły do
wektora normalnego płaszczyzny o równaniu: x + y + z + 1 = 0
Rozwiązanie:

~n = [1, 1, 1]

wektor normalny płaszczyzny

~v · ~n = 0

p + 2 + 3 = 0
p = −5

−5

4. Wyznaczyć wersor kierunkowy prostej

l :

(

x − y = 0
x − z + 1 = 0

Rozwiązanie:
x = t =⇒ y = t , z = t + 1

równanie parametryczne

~v = [1, 1, 1]

wektor kierunkowy

±

~v

|~v|

= ±

[1, 1, 1]

√

3

= ±

h

1

√

3

,

1

√

3

,

1

√

3

i

wersor kierunkowy

±

h

1

√

3

,

1

√

3

,

1

√

3

i

5. Wyznaczyć punkt P symetryczny względem początku układu współrzęd-
nych do środka sfery o równaniu: x

2

+ y

2

+ z

2

− 2x − 2y − 2z − 4 = 0

Rozwiązanie:
(x − 1)

2

+ (y − 1)

2

+ (z − 1)

2

= 7

równanie sfery

S(1, 1, 1)

środek sfery

P (−1, −1, −1)

punkt symetryczny do S

(−1, −1, −1)

1

2. Wiedząc, że z

1

= i jest jednym z pierwiastków wielomianu W (z) = z

3

− iz

2

− 2iz − 2

wyznaczyć pozostałe pierwiastki w dziedzinie zespolonej.

Rozwiązanie:

Ponieważ z

1

= i jest peierwiastkiem więc W (z) dzieli się przez wielomian (z − i)

W (z) = (z − i) · (z

2

− 2i)

Uwaga: Współczynniki welomianu W (z) nie są rzeczywiste, więc z

2

= z

1

nie musi być

pierwiastkiem W (z)

z

2

− 2i = 0

z

2

= 2i

z =

√

2i

2i = 2 · (cos

π

2

+ i cos

π

2

)

postać trygonometryczna

z

2

=

√

2 · (cos

π

4

+ i cos

π

4

) =

√

2 · (

√

2

2

+ i

√

2

2

) = 1 + i

z

3

=

√

2 · (cos

5π

4

+ i cos

5π

4

) =

√

2 · (−

√

2

2

− i

√

2

2

) = −1 − i

Odpowiedź:

z

2

= 1 + i , z

3

= −1 − i

2

3. Wyznaczyć wartości parametru p ∈ R , dla których spełniona jest równość

"

1 0
0 1

#

· p +

"

1 2
0 1

#

2

=

"

1 4
0 1

#

Rozwiązanie:

"

1 0
0 1

#

· p +

"

1 2
0 1

#

2

=

"

p + 1

2

0

p + 1

#

2

=

"

p + 1

2

0

p + 1

#

·

"

p + 1

2

0

p + 1

#

=

"

(p + 1)

2

4p + 4

0

(p + 1)

2

#

Rozwiązujemy układ równań:



















(p + 1)

2

= 1

4p + 4 = 4
(p + 1)

2

= 1

0 = 0

Z drugiego równania mamy p = 0 . Sprawdzamy, że dla p = 0 spełnione są pozostałe
3 równania.

Odpowiedź:

p = 0

3

4. Obliczyć pole trójkąta wyciętego przez płaszczyzny układu współrzędnych z płaszczy-

zny π , 3x + 2y + 6z − 18 = 0

Rozwiązanie:

Znajdujemy wierzchołki trójkąta.

3x + 2y + 6z − 18 = 0 ,

x = 0 ,

y = 0 =⇒ A(0, 0, 3)

3x + 2y + 6z − 18 = 0 ,

x = 0 ,

z = 0 =⇒ B(0, 9, 0)

3x + 2y + 6z − 18 = 0 ,

y = 0 ,

z = 0 =⇒ C(6, 0, 0)

−→

AB = [0, 9, −3]

,

−→

AC = [6, 0, −3]

wektory rozpinające trójkąt

S =

1
2

|

−→

AB ×

−→

AC|

pole trójkąta

−→

AB ×

−→

AC =

i j

k

0 9 −3
6 0 −3

= −27i − 18j − 54k = [−27, −18, −54]

S =

1
2

[−27, −18, −54]

=

9
2

[3, 2, 6]

=

9
2

√

49 =

63

2

Odpowiedź:

S =

63

2

4

5. Obliczyć kąt między płaszczyzną π

1

: 2x + y + 3z − 2 = 0 oraz płaszczyzną π

2

prze-

chodzącą przez punkt P (1, 0, −2) i rozpiętą na wektorach ~u = [1, 1, −1] i ~v = [0, −2, 3]

Rozwiązanie:
−

→

n

1

= [2, 1, 3]

wektor normalny płaszczyzny π

1

−

→

n

2

= ~u × ~v

wektor normalny płaszczyzny π

2

−

→

n

2

=

i

j

k

1

1 −1

0 −2

3

= 3i − 2k − 2i − 3j = [1, −3, −2]

Kąt między płaszczyznami jest równy kątowi mięczy wektorami normalnymi ( w przy-
padku kąta rozwartego π minus kąt między wketorami)

cos α =

|−

→

n

1

· −

→

n

2

|

|−

→

n

1

| · |−

→

n

2

|

=

|2 − 3 − 6|

√

14 ·

√

14

=

1
2

α =

π

3

Odpowiedź:

α =

π

3

5

6. Zapisać w postaci kierunkowej równanie rzutu prostej l :

(

x − 4y + 2z − 5 = 0
3x + y − z + 2 = 0

na

płaszczyznę π : 2x + 3y + z − 6 = 0

Rozwiązanie:

Szukamy płasczyzny rzutującej π

1

. Płaszczyzna ta jest wyznaczoma przez warunki:

π

1

⊥ π , l ⊂ π

1

Warunek l ⊂ π

1

oznacza, że π

1

jest jedną z pęku płaszczyzn przechodzących przez

prostą l .

π

1

:

α(x − 4y + 2z − 5) + β(3x + y − z + 2) = 0

równanie pęku płaszczyzn

π

1

:

(α + 3β)x + (−4α + β)y + (2α − β)z − 5α + 2β = 0

−

→

n

1

= [α + 3β , −4α + β , 2α − β]

wektor normalny płaszczyzny π

1

−

→

n = [2, 3, 1]

wektor normalny płaszczyzny π

−

→

n

1

· −

→

n = 0

ponieważ π

1

⊥ π

−8α + 8β = 0

Podstawiamy za β = 1 ( możemy wybrać dowolną wartość β 6= 0 i tak dostaniemy tę
samą płaszczyznę)

wtedy α = 1

π

1

:

4x − 3y + z − 3 = 0

Szukana prosta l

0

jest przecięciem płaszczyzn π i π

1

.

l

0

:

(

2x + 3y + z − 6 = 0
4x − 3y + z − 3 = 0

równanie krawędziowe

Odejmujemy równania. Wtedy

2x − 6y + 3 = 0 =⇒ x = 3y −

3
2

=⇒ y =

x +

3
2

3

z = −9y + 9 =⇒ y =

z−9

−9

Stąd:

l

0

:

x +

3
2

3

=

y
1

=

z − 9

−9

równanie kierunkowe

Odpowiedź:

l

0

:

x +

3
2

3

=

y
1

=

z − 9

−9

6