Egzamin z Algebry, 8 IX 2011

1. Zadanie wstępne

Nr

Zadanie

Odp.

1

Wyznaczyć moduł i argument główny liczby zespolonej będącej wartością

wyrażenia

1 + i

i

Rozwiązanie:

z =

1 + i

i

=

(1 + i) · (−i)

i · (−i)

= 1 − i

|z| =

q

1

1

+ (−1)

2

=

√

2

cos ϕ =

1

√

2

, sin ϕ = −

1

√

2

=⇒ ϕ = −

π

4

+ 2kπ , k ∈ Z

Arg z ∈< 0, 2π) =⇒ Arg z =

7π

4

|z|

=

√

2

,

Arg z =

7π

4

2

Dla jakiej wartości parametru p ∈ R wyznacznik macierzy A ma wartość
dodatnią?

A =








0 1 0 0
1 2 p 3
2 3 0 1
1 4 1 0








Rozwiązanie:

detA =

0 1 0 0
1 2 p 3
2 3 0 1
1 4 1 0

= 1 · (−1)

1+2

1 p 3
2 0 1
1 1 0

= −1 · (p + 6 − 1) = −p − 5

Stosujemy rozwinięcia Laplace’a względem pierwszego wiersza.
−p − 5 > 0 =⇒ p < −5

p < −5

3

Dla danych wektorów ~a = [1, 2, 3] , ~b = [1, 0, 0] oraz ~c = [0, 1, 0] obliczyć

~a ◦ (~b × ~c)

Rozwiązanie:

~a ◦ (~b × ~c) =

1 2 3
1 0 0
0 1 0

= 3

3

4

Wyznaczyć współrzędne środka elipsy: x

2

+ 9y

2

− 2x − 36y + 28 = 0 .

Rozwiązanie:

(x − 1)

2

− 1 + 9(y − 2)

2

− 36 + 28 = 0 =⇒

(x − 1)

2

9

+ (y − 2)

2

= 1

S(1, 2)

środek elipsy

S(1, 2)

5

Napisać równanie sfery o środku w punkcie P (2, 1, 1) stycznej do płaszczy-
zny π : x + 2y + 2z + 3 = 0
Rozwiązanie:

R =

|2 + 2 + 2 + 3|

√

1

2

+ 2

2

+ 2

2

=

9

3

= 3

odległość P od π

(x − 2)

2

+ (y − 1)

2

+ (z − 1)

2

= 9

równanie sfery

1

2. Rozwiązać równanie z

3

− (4 + 3i)z

2

+ (1 + 5i)z = 0 , z ∈ C

Rozwiązanie:

z(z

2

− (4 + 3i)z + (1 + 5i)) = 0

z

1

= 0

z

2

− (4 + 3i)z + (1 + 5i) = 0

∆ = (−(4 + 3i))

2

− 4(1 + 5i) = 16 + 24i − 9 − 4 − 20i = 3 + 4i

Obliczamy

w =

√

∆ =⇒ w

2

= ∆

w = x + iy , x, y ∈ R

postać algebraiczna

(x + iy)

2

= 3 + 4i

x

2

+ 2ixy − y

2

= 3 + 4i

Rozwiązujemy układ równań:

(

x

2

− y

2

= 3

2xy = 4

y =

2

x

x

2

−

4

x

2

= 3

x

4

− 3x

2

− 4 = 0

Podstawiamy t = x

2

t

2

− 3t − 4 = 0

∆ = 9 + 16 = 25

√

∆ = 5

t

1

= 4 , t

2

= −1

x

2

= t

1

=⇒ x

2

= 4 =⇒ x

1

= 2 , x

2

= −2

x

2

= t

2

=⇒ x

2

= −1 brak rozwiązań ponieważ x ∈ R

y

1

=

2

x

1

= 1

y

2

=

2

x

2

= −1

stąd w = ±(2 + i)

Obliczmy:

z

2

=

4 + 3i + w

2

=

4 + 3i + 2 + i

2

= 3 + 2i

z

3

=

4 + 3i − w

2

=

4 + 3i − 2 − i

2

= 1 + i

Odpowiedź:

Pierwiastki wielomianu:

z

1

= 0 , z

2

= 3 + 2i , z

3

= 1 + i

2

3. Wyznaczyć niewiadomą x z układu równań



















2x +

y − z

+

t =

5

x +

y + z − 2t = −1

x − 2y + z

+

t =

2

x

+ z

=

3

Rozwiązanie:

Obliczamy

|A| =

2

1 −1

1

1

1

1 −2

1 −2

1

1

1

0

1

0

= {k

0

1

= k

1

−k

3

} =

3

1 −1

1

0

1

1 −2

0 −2

1

1

0

0

1

0

= 3·(−1)

1+1

1 1 −2

−2 1

1

0 1

0

=

3(4 − 1) = 9

Stosujemy rozwinięcie Laplace’a względem pierwszej kolumny.

|A

x

| =

5

1 −1

1

−1

1

1 −2

2 −2

1

1

3

0

1

0

= {k

0

1

= k

1

−3k

3

} =

8

1 −1

1

−4

1

1 −2

−1 −2

1

1

0

0

1

0

= 1·(−1)

4+3

8

1

1

−4

1 −2

−1 −2

1

=

−(8 + 2 + 8 + 1 − 32 + 4) = 9

Stosujemy rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza.

Stąd:

x =

|A

x

|

|A|

=

9

9

= 1

Odpowiedź

x = 1

3

4. Znaleźć rzut prostej l :

x − 3

1

=

y − 5

2

=

z + 1

0

na płaszczyznę π : x + 3y − 2z − 6 = 0

Rozwiązanie:

~

v = [1, 2, 0]

wektor kierunkowy prostej

~

n = [1, 3, −2]

wektor normalny płaszczyzny

wektor normalny płaszczyzny rzutującj π

1

jest równy:

−

→

n

1

= ~

v × ~

n =

i j

k

1 2

0

1 3 −2

= −4i + 3k − 2k + 2j = [−4, 2, 1]

równanie płaszczyzny π

1

:

−4x + 2y + z + D = 0

weźmy dowolny punkt prostej l np. P (3, 5, −1) . Punkt P ∈ π

1

=⇒

−12 + 10 − 1 + D = 0 =⇒ D = 3

π

1

: −4x + 2y + z + 3 = 0

Równanie rzutu prostej l na płaszczyznę π w postaci krawędziowej:

l

0

:

(

−4x + 2y + z + 3 = 0
x + 3y − 2z − 6 = 0

4

5. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez środek sfery x

2

+ y

2

+ z

2

+ 2x − 10y +

4z − 6 = 0 prostpadłej do płaszczyzny π : x − 3y + 4z − 8 = 0

Rozwiązanie:

Przekształcamy równanie sfery do postaci kanonicznej:

(x + 1)

2

− 1 + (y − 5)

2

− 25 + (z + 2)

2

− 4 − 6 = 0

(x + 1)

2

+ (y − 5)

2

+ (z + 2)

2

= 36

Środek sfery jest w punkcie O(−1, 5, −2) .

Wektor kierunkowy prostej jest wektorem normalnym płaszczyzny:

~

v = [1, −3, 4]

Równanie szukanej prostej:

x + 1

1

=

y − 5

−3

=

z + 2

4

6. Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do powierzchni:

x

2

+ y

2

+ z

2

− 2x + 4y − 6z − 11 = 0 i prostopadłych do prostej

x − 4

4

=

y − 1

3

=

z − 1

1

Odpowiedź:

l :

x + 1

1

=

y − 5

−3

=

z + 2

4

5

7. Obliczyć pole trójkąta utworzonego przez proste:

x

1

=

y

1

=

z

1

,

x − 3

0

=

y − 3

−3

=

z − 3

−6

,

x − 3

3

=

y

0

=

z + 3

−3

Rozwiązanie:

Szukamy wierzchołków trójkąta:

A :



















x = y
y = z
x = 3

y−3

−3

=

z−3

−6

=⇒ A(3, 3, 3)

B :



















x = y
y = z
y = 0

x−3

−3

=

z+3

−3

=⇒ B(0, 0, 0)

C :























x = 3

y−3

−3

=

z−3

−6

y = 0

x−3

−3

=

z+3

−3

=⇒ z = −3 =⇒ C(3, 0, −3)

Uwaga: punkty te są rozwiązaniami układów równań - spełnione są wszystkie cztery
równania.

Wektory rozpinające trójkąt:
−→

AB = [−3, −3, −3] ,

−→

AC = [0, −3, −6] ,

Pole trójkąta:

P =

1
2

|

−→

AB ×

−→

AC|

−→

AB ×

−→

AC =

i

j

k

−3 −3 −3

0 −3 −6

= 18i + 9k − 9i − 18j = [9, −18, 9]

P =

1
2

q

9

2

+ (−18)

2

+ 9

2

=

9
2

√

6

Odpowiedź:

Pole trójkata jest równe

9
2

√

6

6