Egzamin z Algebry, 5 II 2010

1. Zadanie wstępne

Zadanie

Odp.

1. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną n , dla której (

√

3 + i)

n

∈ R

Rozwiązanie:

√

3 + i = 2(cos

π

6

+ i sin

π

6

)

(

√

3 + i)

n

= 2

n

(cos

nπ

6

+ i sin

nπ

6

)

sin

nπ

6

= 0

nπ

6

= kπ , k ∈ Z

n = 6k

6

2. Dla jakiej wartości parametru p wyznacznik macierzy A jest równy -4 ?

A =








0

0 0 1

1

0 0 1

1 p

2

0 1

1

1 1 1








Rozwiązanie:

|A| =











0

0 0 1

1

0 0 1

1 p

2

0 1

1

1 1 1











= 1 · (−1)

5

·









1

0 0

1 p

2

0

1

1 1









= −p

2

= −4

p = ±2

3. Obliczyć wersor wektora ~

w = ~

v − 2~

u , jeżeli ~

v = [1, 0, 2] zaś ~

u = [1, 1, 0]

Rozwiązanie:

~

w = [−1, −2, 2]
| ~

w| =

√

1 + 4 + 4 = 3

~

w

| ~

w|

=

1

3

[−1, −2, 2] = [−

1

3

, −

2

3

,

2

3

]

[−

1
3

, −

2
3

,

2
3

]

4. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt P (1, −3, 2) i pro-
stopadłej do płaszczyzny π : 2x + 3y − 4 = 0
Rozwiązanie:
Wektor kierunkowy prostej jest wektorem normalnym płaszczyzny ~

n = [2, 3, 0]

Równaie prostej:











x = 2t
y = −3 + 3t
z = 2

, t ∈ R











x = 2t
y = −3 + 3t
z = 2

5. Napisać równanie okręgu ośrodku S(−3, 4) , przechodzącego przez początke
układu współrzędnych.
Rozwiązanie:

Promień okręgu: r = OS =

q

(−3)

2

+ 4

2

= 5

Równanie okręgu: (x + 3)

2

+ (y − 4)

2

= 25

(x + 3)

2

+ (y − 4)

2

=

25

1

2. Rozwiązać równanie: z

4

− z

2

+ 1 = 0 , z ∈ C .

Rozwiązanie:

Podstawiamy w = z

2

w

2

− w + 1 = 0

∆ = 1 − 4 = −3

Obliczamy

√

∆ = ±i

√

3

w

1

=

1 − i

√

3

2

=

1

2

− i

√

3

2

w

2

=

1 + i

√

3

2

=

1

2

+ i

√

3

2

Zapisujemy w

1

i w

2

w postaci trygonometrycznej:

w

1

= cos(−

π

3

) + i sin(−

π

3

)

w

2

= cos(

π

3

) + i sin(

π

3

)

Rozwiązujemy równanie: z

2

= w

z =

√

w

1

z

1

= cos(−

π

6

) + i sin(−

π

6

) =

√

3

2

−

1
2

i =

√

3

2

−

1
2

i

z

2

= cos(

5π

6

) + i sin(

5π

6

) = −

√

3

2

+

1
2

i = −

√

3

2

+

1
2

i

z =

√

w

2

z

3

= cos(

π

6

) + i sin(

π

6

) =

√

3

2

+

1
2

i =

√

3

2

+

1
2

i

z

4

= cos(

7π

6

) + i sin(

7π

6

) = −

√

3

2

−

1
2

i = −

√

3

2

−

1
2

i

Odpowiedź:

z

1

=

√

3

2

−

1
2

i

z

2

= −

√

3

2

+

1
2

i

z

3

=

√

3

2

+

1
2

i

z

4

= −

√

3

2

−

1
2

i

2

3. Rozwiązać nierówność:














1

1

1

1 1

1

2

1

x 2

3

3 x −1 0

x x x

x

2

0

1

1

1

2 1














< 0

Rozwiązanie:

Obliczamy wyznacznik macierzy A

|A| =














1

1

1

1 1

1

2

1

x 2

3

3 x −1 0

x x x

x

2

0

1

1

1

2 1














= {k

0

1

= k

1

−k

3

} =














0

1

1

1 1

0

2

1

x 2

3 − x

3 x −1 0

0 x x

x

2

0

0

1

1

2 1














= {Rozw. Laplace’a wzgl. k

1

} =

(3 − x) · (−1)

4











1

1

1 1

2

1

x 2

x x x

2

0

1

1

2 1











= {k

0

1

= k

1

− k

4

} = (3 − x) ·











0

1

1 1

0

1

x 2

x x x

2

0

0

1

2 1











=

{Rozw. Laplace’a wzgl. k

1

} = (3 − x)x · (−1)

4









1

1 1

1 x 2
1

2 1









=

(3 − x)x(x + 2 + 2 − x − 4 − 1) = (3 − x)x · (−1) = x(x − 3)

x(x − 3) < 0

x ∈ (0, 3)

Odpowiedź:

x ∈ (0, 3)

3

4. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt P (1, 2, 0) , równoległej do

płaszczyzny π : x + 2y − z + 4 = 0 oraz przecinającej prostą

l :











x = 2t
y = 1 − t
z = 3 + t

, t ∈ R

Rozwiązanie:

π

1

- płaszczyzna równoległa do π przechodząca przez punkt P

π

1

: x + 2y − z + D = 0

1 + 4 + D = 0

punkt P ∈ π

1

D = −5

π

1

: x + 2y − z − 5 = 0

A(x, y, z) - punkt przecięcia płaszczyzny π

1

i prostej l



















x + 2y − z − 5 = 0
x = 2t
y = 1 − t
z = 3 + t

2t + 2(1 − t) − (3 + t) − 5 = 0

−t − 6 = 0

t = −6

A(−12, 7, −3)

Wketor kierunkowy prostej:
−→

P A = [13, −5, 3]

l

1

:

x − 1

13

=

y − 2

−5

=

z

3

Odpowiedź:

l

1

:

x − 1

13

=

y − 2

−5

=

z

3

4

5. Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przeciecia osi układu współ-

rzędnych z płaszczyzną π : x + 3y + 2z − 6 = 0

Rozwiązanie:

Szukamy wierzchołków trójkąta:

x = 0 , y = 0 =⇒ 2z − 6 = 0 =⇒ z = 3

A(0, 0, 3)

x = 0 , z = 0 =⇒ 3y − 6 = 0 =⇒ y = 2

B(0, 2, 0)

y = 0 , z = 0 =⇒ x − 6 = 0 =⇒ x = 6

C(6, 0, 0)

Pole trójkąta jest równe:

S =

1
2

|

−→

AB ×

−→

AC|

−→

AB = [0, 2, −3]
−→

AC = [6, 0, −3]

−→

AB ×

−→

AC =









i j

k

0 2 −3
6 0 −3









= [−6, −18, −12]

S =

1
2

q

(−6)

2

+ (−18)

2

+ (−12)

2

= 3

√

14

Odpowiedź:

Pole trójkata S = 3

√

14

5

6. Wyznaczyć równanie sfery przechodzącej przez punkt O(0, 0, 0) , której środkiem S

jest punkt symetryczny do punktu P (1, −2, 7) względem prostej

l :











x = 2t
y = 1 + t
z = 2 − t

, t ∈ R

Rozwiązanie:

Szukamy płaszczyzny π prostopadłej do prostej l przechodzącej przez punkt P :

2x + y − z + D = 0

2 − 2 − 7 + D = 0

D = 7

2x + y − z + 7 = 0

Punkt Q przecięcia prostej l i płaszczyzny π jest rzutem punktu P na prostą l.

2 · 2t + (1 + t) − (2 − t) + 7 = 0

6t + 6 = 0

t = −1

Q(−2, 0, 3)

Wektor:

−→

P S = 2 ·

−→

P Q = 2 · [−3, 2, −4] = [−6, 4, −8]

Stąd:

S(−5, 2, −1)

Promień sfery:

r = OS =

q

(−5)

2

+ 2

2

+ (−1)

2

=

√

30

Równanie sfery:

(x + 5)

2

+ (y − 2)

2

+ (z + 1)

2

= 30

Odpowiedź:

Równanie sfery: (x + 5)

2

+ (y − 2)

2

+ (z + 1)

2

= 30

6