Egzamin z Równań Różniczkowych, 22 VI 2011
1. Zadanie wstępne
Zadanie
Odp.
1. Sprawdzić, czy funkcje f ( x) = 1 + x oraz g( x) = 2 − x tworzą układ funda-tak
mentalny rozwiązań pewnego równania różniczkowego rzędu drugiego(tzn. czy są liniowo niezależne)
Rozwiązanie:
f
g
1 + x 2 − x
W ( x) =
=
= − 1 − x − 2 + x = − 3 6= 0
f 0 g0
1
− 1
2. Rozwiązać równanie: y0 = cos2 y y = arc tg( x + C)
Rozwiązanie:
d y
= d x = ⇒ tg y = x + C
rozdzielamy zmienne
cos2 y
tg y = x + C
całkujemy
y = arc tg( x + C) + kπ , k ∈ Z
3. Wyznaczyć linie ortogonalne do rodziny krzywych tworzących całkę ogólną y 2 = 2 x + C
równania różniczkowego y0 + y = 0
Rozwiązanie:
1
−
+ y = 0
równanie linii ortogonalych
y0
y d y = d x
rozdzielamy zmienne
y 2 = x + C = ⇒ y 2 = 2 x + C
całkujemy
2
−
→
4. Wyznaczyć wektor binormalny do krzywj o równaniu r = [ t , t 2 , et] , dla
[ − 2 , − 1 , 2]
t = 0
Rozwiązanie:
˙
−
→
r ( t) = [1 , 2 t , et]
,
˙
−
→
r (0) = [1 , 0 , 1]
¨
−
→
r ( t) = [0 , 2 , et]
,
¨
−
→
r (0) = [0 , 2 , 1]
−
→
b = ˙
−
→
r × ¨
−
→
r = [1 , 0 , 1] × [0 , 2 , 1] = [ − 2 , − 1 , 2]
wektor binormalny
∞
p
5. Dla jakich wartości parametru p zachodzi równość X
= 6
p = 3
2 n
n=0
Rozwiązanie:
∞
p
p
X
=
= 2 p
suma szeregu geometrycznego
2 n
1 − 1
n=0
2
2 p = 6 = ⇒ p = 3
1
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
(
y0 + y tg x = sin 2 x
y( π) = 1
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne: y0 + y tg x = 0
Rozdzielamy zmienne:
d y = − tg x d x
y
Z
d y
Z
sin x
= −
d x
y
cos x
ln |y| = ln | cos x| + C
y = C cos x
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
y0 + y tg x = sin 2 x
y = C( x) cos x
uzmienniamy stałą
Wtedy:
y0 = C0 cos x − C sin x sin x
C0 cos x − C sin x + C cos x ·
= sin 2 x
wstawiamy do równania
cos x
C0 cos x = 2 sin x cos x C0 = 2 sin x
Z
C =
2 sin x d x = − 2 cos x + C
Stąd:
y = ( − 2 cos x + C) cos x = − 2 cos2 x + C cos x y( π) = − 2 − C = 1 = ⇒ C = − 3
y = − 2 cos2 x − 3 cos x Odpowiedź:
y = − 2 cos2 x − 3 cos x 2
3. Rozwiązać równanie: ( y0)2 + sin2 3 x = 1
Rozwiązanie:
( y0)2 = 1 − sin2 3 x
( y0)2 = cos2 3 x
y0 = ± cos 3 x
d y = ± cos 3 x d x
rozdzielamy zmienne
Z
sin 3 x
y = ±
cos 3 x d x = ±
+ C
całkujemy: podstawienie liniowe t = 3 x
3
Odpowiedź:
sin 3 x
y = ±
+ C
3
3
4. Rozwiązać równanie: y000 − 4 y0 = x + e 3 x Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y000 − 4 y0 = 0
r 3 − 4 r = 0
równanie charakterystyczne
r( r 2 − 4) = 0 = ⇒ r( r − 2)( r + 2) = 0
r 1 = 0 , r 2 = 2 , r 3 = − 2
y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e− 2 x rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego: y000 − 4 y0 = x
Ponieważ r = 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci: ys = ( Ax + B) x = Ax 2 + Bx y0 = 2 Ax + B
s
y00 = 2 A
s
y000 = 0
s
Wstawiamy do równania:
− 8 Ax − 4 B = x
(
−
(
8 A = 1
A = − 1
= ⇒
8
− 4 B = 0
B = 0
ys = − 1 x 2
8
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego: y000 − 4 y0 = e 3 x
Ponieważ r = 3 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc rozwią-
zanie szczególne przewidujemy w postaci:
ys = Ae 3 x
y0 = 3 Ae 3 x
s
y00 = 9 Ae 3 x
s
y000 = 27 Ae 3 x
s
Wstawiamy do równania:
27 Ae 3 x − 12 Ae 3 x = Ae 3 x 15 A = 1 = ⇒ A = 1
15
ys = 1 e 3 x
15
Odpowiedź:
y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e− 2 x − 1 x 2 + 1 e 3 x 8
15
4
5. Korzystając z odpowiednich twierdzeń o całkowaniu i różniczkowaniu funkcji rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f ( x) = x arc tg x. Wyznaczyć zakres zbieżności szeregu.
Rozwiązanie:
g( x) = arc tg x
1
g0( x) = 1 + x 2
1
1
=
= 1 + ( −x 2) + ( −x 2)2 + ( −x 2)3 + ( −x 2)4 + · · · =
1 + x 2
1 − ( −x 2)
1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 + . . .
Przedział zbieżności tego szeregu: −x 2 ∈ ( − 1 , 1) = ⇒ x ∈ ( − 1 , 1) Skorzystaliśmy z rozwinięcia w szereg funkcji:
1
= 1 + x + x 2 + x 3 x 4 + . . . , x ∈ ( − 1 , 1) 1 − x
Stąd:
Z
Z
Z
Z
Z
g( x) =
g0( x) d x =
1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 + . . . d x =
d x +
( −x 2) d x +
x 4 d x +
Z
Z
x 3
x 5
x 7
x 9
( −x 6) d x +
x 8 d x + · · · = x −
+
−
+
+ · · · + C
3
5
7
9
Promień zbieżności tego szeregu jest taki sam, więc x ∈ ( − 1 , 1) Podstawiamy x = 0
g(0) = C = ⇒ arc tg 0 = C = ⇒ C = 0
x 3
x 5
x 7
x 9
g( x) = x −
+
−
+
+ . . .
3
5
7
9
Stąd:
x 3
x 5
x 7
x 9
x 4
x 6
x 8
x 10
f ( x) = xg( x) = x x −
+
−
+
+ . . .
= x 2 −
+
−
+
+ . . .
3
5
7
9
3
5
7
9
x ∈ ( − 1 , 1)
5
6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziale (0 , π) przyj-
π
muje wartości identyczne z funkcją f ( x) =
. Wypisać sumę trzech pierwszych wy-
4
razów szeregu. Wykorzystując otrzymany szereg, obliczyć sumę szeregu liczbowego:
∞ sin(2 n − 1)
X
2 n − 1
n=1
Rozwiązanie:
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
π
π
π
2 Z
2 Z π
1 Z
1 − cos nx π
bn =
f ( x) sin nx d x =
· sin nx d x =
sin nx d x =
=
π
π
4
2
2
n
0
0
0
0
1
1 − ( − 1) n
− cos nπ + 1 =
2 n
2 n
Szereg Fouriera sinusów jest więc następujący:
∞
∞ 1 − ( − 1) n
S( x) = X b
X
n sin nx =
sin nx
2 n
n=1
n=1
Suma trzech pierwszych wyrazów szeregu:
1 − ( − 1)
1 − ( − 1)2
1 − ( − 1)3
S 3( x) =
sin x +
sin 2 x +
sin 3 x =
2
4
6
1
1
sin x + 0 sin 2 x +
sin 3 x = sin x +
sin 3 x
3
3
1
Widać, że współczynniki parzyste: b 2 k = 0, a nieparzyste b 2 k− 1 =
. Stąd
2 k − 1
∞ sin(2 k − 1) x
S( x) = X
2 k − 1
k=1
Podstawiamy x = 1
∞ sin(2 k − 1)
S(1) = X
2 k − 1
k=1
Stąd suma szeregu liczbowego:
∞ sin(2 k − 1)
π
X
= S(1) = f (1) =
2 k − 1
4
k=1
6