Egzamin z Równań Różniczkowych, 27 VI 2011
1. Zadanie wstępne
Zadanie
Odp.
1. Rozwiązać równanie: xy0 = y y = Cx
Rozwiązanie:
d y
d y
d x
x
= y = ⇒
=
rozdzielamy zmienne
d x
y
x
ln |y| = ln |x| + C
całkujemy
y = Cx
2. Rozwiązać równanie: y00 − 4 y = 0
y = C 1 e 2 x + C 2 e− 2 x Rozwiązanie:
r 2 − 4 = 0 = ⇒ r 2 = 4 = ⇒ r = ± 2
równaniec harakterystyczne
y = C 1 e 2 x + C 2 e− 2 x
∞
n!
3. Zbadać zbieżność szeregu X
rozbieżny
2 n
n=1
Rozwiązanie:
a
( n+1)!
n+1
2 n( n + 1)!
n + 1
lim
= lim 2 n+1 = lim
= lim
= ∞ > 1
n→∞
a
n→∞
n!
n→∞
n→∞
n
2 n+1 n!
2
2 n
Z kryterium d‘Alamberta wynika, że szereg jest rozbieżny.
4. Rozwinąć w szereg Maclaurina f ( x) = e−x i obliczyć f (100)(0) .
1
Rozwiązanie:
( −x)2
( −x)3
( −x)4
x 2
x 3
x 4
f ( x) = 1 + ( −x) +
+
+
+ · · · = 1 − x +
−
+
+ . . .
2!
3!
4!
2!
3!
4!
, x ∈ ( −∞, inf ty)
1
a 100 =
= ⇒ f (100)(0) = a 100 · 100! = 1
100!
−
→
5. Wyznaczyć wektor styczny do krzywej r ( t) = [ e 2 t , et , 4 t] , dla t = 0
[2 , 1 , 4]
Rozwiązanie:
˙
−
→
r ( t) = [2 e 2 t , et , 4]
˙
−
→
r (0) = [2 , 1 , 4]
1
2. Rozwiązać równanie: y0 =
x
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe.
y
y0 −
= 2
x
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne: y
y0 −
= 0
x
Rozdzielamy zmienne:
d y
1
=
d x
y
x
Z
d y
Z
1
=
d x
y
x
ln |y| = ln |x| + C
y = Cx
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
y
y0 −
= 2
x
y = C( x) x
uzmienniamy stałą
Wtedy:
y0 = C0x + C
C0x + Cx − Cx = 2
wstawiamy do równania
C0x = 2
2
C0 = x
Z
2
C =
d x = 2 ln |x| + D
x
Stąd:
y = (2 ln |x| + D) x = 2 x ln |x| + Dx Odpowiedź:
y = 2 x ln |x| + Dx 2
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego : y00 + y0 = 2 x + 1 , y(0) = 5 , y0(0) = − 3
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne: y00 + y0 = 0
r 2 + r = 0
równanie charakterystyczne
r( r + 1) = 0
r 1 = 0 , r 2 = − 1
y = C 1 + C 2 e−x rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego: y00 + y0 = 2 x + 1
Ponieważ r = 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci: ys = ( Ax + B) x = Ax 2 + Bx y0 = 2 Ax + B
s
y00 = 2 A
s
Wstawiamy do równania:
A + 2 Ax + B = 2 x + 1
(
(
2 A = 2
A = 1
= ⇒
2 A + B = 1
B = − 1
ys = x 2 − x
y = C 1 + C 2 e−x + x 2 − x rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego y(0) = C 1 + C 2
y0 = −C 2 e−x + 2 x − 1
y0(0) = −C 2 − 1
Rozwiązujemy układ równań:
(
C 1 + C 2 = 5
= ⇒ C
−C
2 = 2 = ⇒ C 1 = 3
2 − 1 = − 3
Odpowiedź:
y = 3 + 2 e−x + x 2 − x 3
4. Znaleźć funkcje x( t) i y( t) będące rozwiązaniem układu równań: (
˙ x = y + 1
˙
y = −x + 2 t
Rozwiązanie:
y = ˙ x − 1
z pierwszego równania
˙
y = ¨
x
różniczkujemy
¨
x = −x + 2 t
podstawiamy do drugiego równania
¨
x + x = 2 t
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
¨
x + x = 0
r 2 + 1 = 0
równanie charakterystyczne
r 2 = − 1
r 1 = i , r 2 = −i
x = C 1 cos t + C 2 sin t rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
¨
x + x = 2 t
Ponieważ r = 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc rozwią-
zanie szczególne przewidujemy w postaci: xs = At + B
˙ xs = A
¨
xs = 0
Wstawiamy do równania:
At + B = 2 t
(
A = 2
B = 0
xs = 2 t
x = C 1 cos t + C 2 sin t + 2 t
˙ x = −C 1 sin t + C 2 cos t + 2
y = −C 1 sin t + C 2 cos t + 1
Odpowiedź:
(
x = C 1 cos t + C 2 sin t + 2 t y = −C 1 sin t + C 2 cos t + 1
4
5. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f ( x) =
. Wyznaczyć zakres zbieżności
1 − 2 x
szeregu.
Rozwiązanie:
x
1
= x
= x(1 + (2 x) + (2 x)2 + (2 x)3 + (2 x)4 + · · · =
1 − 2 x
1 − (2 x)
x + 2 x 2 + 22 x 3 + 23 x 4 + . . .
Przedział zbieżności tego szeregu: 2 x ∈ ( − 1 , 1) = ⇒ x ∈ ( − 1 , 1 ) 2
2
Skorzystaliśmy z rozwinięcia w szereg funkcji: 1
= 1 + x + x 2 + x 3 x 4 + . . . , x ∈ ( − 1 , 1) 1 − x
5
6. Wyznaczyć szereg trygonometryczny Fouriera funkcji:
0 dla −π < x < − 1
f ( x) =
2 dla
− 1 < x < 1
0 dla
1 < x < π
Rozwiązanie:
Funkcja f ( x) jest parzysta, więc bn = 0 dla n = 1 , 2 , 3 . . .
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
π
π
1
1 Z
2 Z
2 Z
4 sin nx 1
an =
f ( x) cos nx d x =
f ( x) cos nx d x =
2 cos nx d x =
=
π
π
π
π
n
0
−π
0
0
4 sin n
nπ
Korzystamy z parzystości funkcji podcałkowej: f ( x) cos nx .
π
π
1
1 Z
2 Z
2 Z
4
4
a 0 =
f ( x) d x =
f ( x) d x =
2 d x =
[ x]1 =
π
π
π
π
0
π
−π
0
0
Szereg Fouriera f ( x) jest więc następujący: a
∞
2
∞ 4 sin n
S
0
( x) =
+ X a
X
n cos nx =
+
cos nx
2
π
nπ
n=1
n=1
6