Egzamin z Równań Różniczkowych, 16 IX 2008, godz. 9.00
1. Wyznaczyć całkę ogólną równania
( x + y) y0 − y = 0
Rozwiązanie:
Jest to równanie jednorodne.
y
y0 = x + y
y
y0 =
x
1 + yx
Podstawiamy:
z( x) = y( x)
x
Wtedy
y = zx
y0 = z0x + z
Czyli
z
z0x + z = 1 + z
Rozdzielamy zmienne
z 2
z0x = − 1 + z
1 + z
d x
d z = −
z 2
x
Z
1
1
Z
d x
(
+ ) d z =
−
z 2
z
x
− 1 + ln |z| = − ln |x| + C
z
−x + ln | y | = − ln |x| + C
y
x
x = y(ln |y| + C) 2. Rozwiązać zagadnienie Cuchy’ego
( y0 + 2 xy = xe−x 2
y(0) = 1
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie jednorodne: y0 + 2 xy = 0
Rozdzielamy zmienne:
d y = − 2 x d x
y
Z d y
Z
=
− 2 x d x
y
ln |y| = −x 2 + C
y = Ce−x 2
Rozwiązujemy równanie niejednorodne: y0 + 2 xy = xe−x 2
uzmienniamy stałą:
y = C( x) e−x 2
Wtedy:
y0 = C0e−x 2 − 2 xCe−x 2
Podstawiamy do równania:
C0e−x 2 − 2 xCe−x 2 + 2 xCe−x 2 = xe−x 2
C0 = x
Z
x 2
C =
x d x =
+ D
2
Wtedy
x 2
y = (
+ D) e−x 2
2
Podstawiamy warunek początkowy: x = 0 , y = 1
1 = D
Odpowiedź:
x 2
y = (
+ 1) e−x 2
2
3. Rozwiązać równanie:
y0 + y + exy 4 = 0
Rozwiązanie:
Jest to równanie Bernoulliego. Dzielimy obie strony przez y 4: y0
1
+
= −ex
y 4
y 3
Podstawiamy:
z( x) = y− 3( x) wtedy
z0 = − 3 y− 4 y0
Mamy:
z0
−
+ z = −ex
3
z0 − 3 z = 3 ex
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie jednorodne: z0 − 3 z = 0
Rozdzielamy zmienne:
d z = 3d x
z
Z d z
Z
=
3 d x
z
ln |z| = 3 x + C
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
z0 − 3 z = 3 ex
uzmienniamy stałą:
z = C( x) e 3 x Wtedy:
z0 = C0e 3 x + 3 Ce 3 x C0e 3 x + 3 Ce 3 x − 3 Ce 3 x = 3 ex C0 = 3 e− 2 x
Z
3
C =
3 e− 2 x d x = − e− 2 x + D
2
Stąd:
3
3
z = ( − e− 2 x + D) e 3 x = − ex + De 3 x 2
2
Czyli
1
y = s 3
3 − ex + De 3 x
2
4. Rozwiązać równanie:
y00 + y = x + sin 2 x Rozwiązanie
Jest to równanie liniowe rzędu 2. Rozwiązujemy równanie jednorodne: y00 + y = 0
Równanie charakterystyczne:
r 2 + 1 = 0
Pierwiastki równania charakterystycznego:
r 1 = i , r 2 = −i Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
y = C 1 cos x + C 2 sin x Rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego szukamy metodą przewidywań: Dla x
y00 + y = x
ys = Ax + B
y0 = A
s
y00 = 0
s
Podstawiamy do równania:
Ax + B = x
Stąd: A = 1 , B = 0
ys = x
y00 + y = sin 2 x
ys = A cos 2 x + B sin 2 x Wtedy:
y0 = − 2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x s
y00 = − 4 A cos 2 x − 4 B sin 2 x s
Podstawiamy do równania:
− 3 A cos 2 x − 3 B sin 2 x = sin 2 x Stąd: −A = 0 , B = − 13
Rozwiązanie szczególne jest więc równe:
ys = − 1 sin 2 x
3
Odpowiedź:
Rozwiązanie równania:
y = C 1 cos x + C 2 sin x + x − 1 sin 2 x 3
5. Wyznaczyć promień krzywizny oraz równanie stycznej do krzywej K zadanej równa-niem x = et cos t
K :
y = et sin t , t ∈ R
z = et
w punkcie P (1 , 0 , 1) Rozwiązanie:
Promień krzywizny krzyewj jest równy:
1
R = κ
gdzie krzywizna
| ˙ ~r × ¨
~r|
κ = |˙ ~r| 3
~r = [ et cos t, et sin t, et]
Punkt P odpowiada wartości t = 0
˙ ~r = [ et cos t − et sin t, et sin t + et cos t, et]
˙ ~r(0) = [1 , 1 , 1]
¨
~r = [ − 2 et sin t, 2 et cos t, et]
¨
~r(0) = [0 , 2 , 1]
i
j k
˙ ~r × ¨ ~r =
1 1 1 = [ − 1 , − 1 , 2]
0 2 1
stąd √
√
6
2
κ = √ =
3 3
3
Czyli promień krzywizny:
R = √ 2
Prosta styczna do krzywj ma wektor kierunkowy ˙ ~r(0) i przechodzi przez punkt P . Ma więc równanie:
x − 1
y
z − 1
=
=
1
1
1
6. Wyznaczyć funkcję f : < −π, π >→ R spełniającą warunki: 1. f ( x) = π dla x ∈ ( −π, 0) 2. Jej szereg Fouriera składa się z samych sinusów 3. W każdym punkcie przedziału < −π, π > funkcja jest równa sumie swojego szeregu Fouriera.
Naszkicować wykres tej funkcji. Wyznaczyć jej szereg Fouriera.
Rozwiązanie:
Funkcja f jest nieparzysta. W punkch nieciągłości jej wartość jest równa sredniej aryt-metycznej granic. Stąd:
(
π dla x ∈ ( −π, 0)
f ( x) =
−π dla x ∈ (0 , π)
oraz:
f (0+) + f (0 −)
f (0) =
= 0
2
f ( −π+) + f ( π−) f ( −π) = f ( π) =
= 0
2
Szukamy jej szeegu Fouriera. Współczynniki an = 0.
Dla n = 1 , 2 , 3 . . . uwzględniając nieparzystość f π
0
0
1 Z
2 Z
2 Z
cos nx0
bn =
f ( x) sin nx d x =
f ( x) sin nx d x =
π sin nx d x = 2
=
π
π
π
n
−π
−π
−π
−π
2(1 − cos nπ)
2(1 − ( − 1) n)
=
n
n
Szereg Fouriera dla funkcji f ( x) jest więc następujący:
∞
P
f ( x) =
bn sin nx
n=1
∞
P 2(1 − ( − 1) n)
f ( x) =
sin nx
n=1
n