Egzamin z Analizy 1, 19 VI 2007 godz. 12.00
1. Napisać równanie stycznej do krzywej y = x 2 + 1
w punkcie o odciętej x = 1. Jaki 2 x− 1
kąt tworzy ta prosta z osią OY
Rozwiązanie:
Styczna w punkcie x = 1
y(1) = 2
y0 = 2 x − 2
1
(2 x− 1)2
y0(1) = 0
Równanie stycznej
y − 2 = 0( x − 1)
czyli
y = 2
Kąt między styczną a osią OY jest równy π 2
2. Obliczyć f 0(0) jeżeli f ( x) = (sin 2 x + x 2)2 + ln( e−x 2 + x) Rozwiązanie:
− 2 xe−x 2 + 1
f 0( x) = 2(sin 2 x + x 2)(2 cos 2 x + 2 x) +
e−x 2 + x
f 0(0) = 1
3. Wyznaczyć największą wartość funkcji f ( x) = x 2 e− 2 x w przedziale < 0 , + ∞) Rozwiązanie:
Badamy monotoniczność funkcji rozwiązując nierówność: f 0( x) > 0
f 0( x) = 2 xe− 2 x − 2 x 2 e− 2 x = (2 x − 2 x 2) e− 2 x (2 x − 2 x 2) e− 2 x > 0
2 x − 2 x 2 > 0
1 − x > 0 (ze wzgględu na dziedzinę rozwiązujemy nierówność tylko dla x > 0) x < 1
Wynika stąd, że funkcja jest rosnąca na przedziale < 0 , 1 > , malejąca na przedziale
< 1 , + ∞) a więc ma wartość największą w punkcie x = 1
Wartość ta jest równa 1 e 2
4. Wyznaczyć wzór Maclaurina R 5 dla funkcji f( x) = sin(2 x + π ) 6
Rozwiązanie:
Wzór Maclaurina:
f 0(0) x
f 00(0) x 2
f 000(0) x 3
f IV (0) x 4
f ( x) = f (0) +
+
+
+
+ R
1!
2!
3!
4!
5
f V ( θx) x 5
R 5 =
, gdzie 0 < θ < 1
5!
f (0) = 12
f 0( x) = 2 cos(2 x + π ) , f 0(0) =
3
6
f 00( x) = − 4 sin(2 x + π ) , f 00(0) = − 2
6
√
f 000( x) = − 8 cos(2 x + π ) , f 000(0) = − 4 3
6
f IV ( x) = 16 sin(2 x + π ) , f IV (0) = 8
6
f V ( x) = 32 cos(2 x + π ) 6
Stąd:
√
√
√
1
3 x
2 x 2
4 3 x 3
8 x 4
1
√
2 3
1
f ( x) =
+
−
−
+
+ R
+
3 x − x 2 −
x 3 + x 4 + R
2
1!
2!
3!
4!
5 = 2
3
3
5
gdzie
32 cos(2 θx + π ) x 5
4 cos(2 θx + π )
R
6
6
5 =
=
x 5
5!
15
5. Obliczyć całki:
2 π
Z
a)
cos 2 x sin x d x π
Z
2
b)
d x
x 2 − 1
Rozwiązanie:
2 π
Z
2 π
Z 1
a)
cos 2 x sin x d x =
(sin 3 x − sin x) d x =
2
π
π
1 cos 3 x
2 π
1
1
1
2
−
+ cos x
= ( − + 1 −
+ 1) =
2
3
π
2
3
3
3
Z
2
b)
d x
x 2 − 1
Rozkładamy fumkcję podcałkową na ułamki proste: 2
2
A
B
=
=
+
x 2 − 4
( x − 1)( x + 1)
x − 1
x + 1
A( x + 1) + B( x − 1) = 2
Podstawiamy x = 1
2 A = 2 czyli A = 1
Podstawiamy x = − 1
− 2 B = 2 czyli B = − 1
Z
2
Z
1
Z
1
d x =
d x −
d x = ln |x − 1 | − ln |x + 1 | + C
x 2 − 1
x − 1
x + 1
6. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi y = x 2 , y = 1 x 2 , y = 9
4
Rozwiązanie:
Robimy rysunek i szukamy punktów przecięcia krzywych: ( y = x 2
y = 1 x 2
4
x 4 = 0
x = 0
y = 9
x 2 = 9
x = ± 3
( y = 1 x 2
4
y = 9
1 x 2 = 9
4
x = ± 6
Z rysuku widać, że są dwie figury symetryczne spełniające warunki zadania. Wybier-amy jedną znich np. x 0. Wybraną figurę trzeba podzielić na dwie części: F 1 : x ∈< 0 , 3 > i F 2 : x ∈< 3 , 6 > Pole pierwszej części:
3
Z
3
"
#
1
3 Z
3 x 3 3
27
S 1 = ( x 2 − x 2) d x =
x 2 d x =
=
4
4
4
3
4
0
0
0
Pole drugiej części:
6
Z
"
#
1
x 3 6
9
45
S 2 = (9 − x 2) d x = 9 x −
= 54 − 18 − 27 +
=
4
12
4
4
3
3
Pole całej figury jest równe:
S = S 1 + S 2 = 18