Przykład rozwi zania tarczy MES

1

ORIGIN

1

Stałe materiałowe Wzór na obliczenie pola elementów E

25e6

v

0.16

h

0.2

0 1.5

wsp

wsp

wsp

top

,

top

,

top

,

e,

1

1

e,

1

2

e,

1

3

0

0

1 2 3

1

wsp

top

A( e )

. wsp

wsp

wsp

top

,

top

,

top

,

2 0.5

1 3 4

2

e,

2

1

e,

2

2

e,

2

3

2 1.5

1

1

1

Obliczenie modułu spr ysto ci

1 v

0

7

6

2.566.10

4.105.10

0

E

v 1

0

D

.

D

6

7

= 4.105.10 2.566.10

0

2

1

v

1

v

0 0

7

.

2

0

0

1.078 10

2007-05-17

Opracowanie: P. Pluci ski, IMKwIL, PK

Przykład rozwi zania tarczy MES

2

Funkcje kształtu

x

y

Nd1( e, x, y)

wsp

.

wsp

.

top

,

wsp top

,

top

,

wsp top

,

e,

2

2

e,

2

3

2 .A( e )

e,

1

3

e,

1

2

2 .A( e )

wsp

.

wsp

.

top

, wsp top

,

top

, wsp top

,

e,

1

2

e,

2

3

e,

1

3

e,

2

2

N1( e , x, y)

Nd1( e , x, y)

2 .A( e )

x

y

Nd2( e, x, y)

wsp

.

wsp

.

top

,

wsp top

,

top

,

wsp top

,

e,

2

3

e,

2

1

2 .A( e )

e,

1

1

e,

1

3

2 .A( e )

wsp

.

wsp

.

top

, wsp top

,

top

, wsp top

,

e,

1

3

e,

2

1

e,

1

1

e,

2

3

N2( e , x, y)

Nd2( e , x, y)

2 .A( e )

x

y

Nd3( e, x, y)

wsp

.

wsp

.

top

,

wsp top

,

top

,

wsp top

,

e,

2

1

e,

2

2

2 .A( e )

e,

1

2

e,

1

1

2 .A( e )

wsp

.

wsp

.

top

, wsp top

,

top

, wsp top

,

e,

1

1

e,

2

2

e,

1

2

e,

2

1

N3( e , x, y)

Nd3( e , x, y)

2 .A( e )

element 1

N1( 1 , x, y)

.16666666666666666667.x

.66666666666666666666.y N2( 1 , x, y)

.33333333333333333333.x

.66666666666666666666.y 1.0000000000000000000

N3( 1 , x, y)

.50000000000000000000.x element 2

N1( 2 , x, y)

.50000000000000000000.x 1.0000000000000000000

N2( 2 , x, y)

1.0000000000000000000.y 1.5000000000000000000

N3( 2 , x, y)

.50000000000000000000.x 1.0000000000000000000.y 1.5000000000000000000

Macierz funkcji kształtu N1( e , x, y)

0

N2( e , x, y)

0

N3( e , x, y)

0

N( e , x, y)

0

N1( e , x, y)

0

N2( e, x, y)

0

N3( e , x, y)

Macierz pochodnych funkcji kształtu d

d

d

N1( e , x, y)

0

N2( e, x, y)

0

N3( e , x, y)

0

d x

d x

d x

d

d

d

B( e , x, y)

0

N1( e , x, y)

0

N2( e , x, y)

0

N3( e , x, y)

d y

d y

d y

d

d

d

d

d

d

N1( e , x, y)

N1( e , x, y)

N2( e, x, y)

N2( e , x, y)

N3( e , x, y)

N3( e , x, y)

d y

d x

d y

d x

d y

d x

A( 1 ) = 1.5

A( 2 ) = 1

0.167

0

0.333

0

0.5

0

0.5

0

0

0

0.5

0

B( 1 , 0 , 0 ) =

0

0.667

0

0.667

0

0

B( 2 , 0 , 0 ) =

0

0

0

1

0

1

0.667

0.167

0.667

0.333

0

0.5

0

0.5

1

0

1

0.5

2007-05-17

Opracowanie: P. Pluci ski, IMKwIL, PK

Przykład rozwi zania tarczy MES

3

Macierze sztywno ci

T

K( e )

B( e , 0 , 0 ) .D.B( e, 0 , 0 ) .h .A( e) 6

5

6

5

5

6

1.651.10

4.96 .10

1.009.10

5.816.10

6.414.10

1.078.10

5

6

4

6

5

5

4.96 .10

3.511.10

8.552.10

3.241.10

4.105.10

2.694.10

6

4

6

5

6

6

1.009.10

8.552.10

2.292.10

9.921.10

1.283.10

1.078.10

K( 1 ) =

5

6

5

6

5

5

5.816.10

3.241.10

9.921.10

3.78 .10

4.105.10

5.388.10

5

5

6

5

6

6.414.10

4.105.10

1.283.10

4.105.10

1.924.10

0

6

5

6

5

5

1.078.10

2.694.10

1.078.10

5.388.10

0

8.082.10

6

5

6

5

1.283.10

0

0

4.105.10

1.283.10

4.105.10

5

6

6

5

0

5.388.10

1.078.10

0

1.078.10

5.388.10

6

6

6

6

0

1.078.10

2.155.10

0

2.155.10

1.078.10

K( 2 ) =

5

6

5

6

4.105.10

0

0

5.131.10

4.105.10

5.131.10

6

6

6

5

6

6

1.283.10

1.078.10

2.155.10

4.105.10

3.438.10

1.488.10

5

5

6

6

6

6

4.105.10

5.388.10

1.078.10

5.131.10

1.488.10

5.67 .10

Macierze Boole'a

i

1 . 2

B16,

0

B2

8

6 ,

0

8

B1i,

1

B2

2 . top

i

i ,

1

2 . top

i

1 ,

1

1

2 ,

1

1

B1i 2,

1

B2

2 . top

i

i

2 ,

1

2 . top

i

1 ,

1

2

2 ,

1

2

B1i 4,

1

B2

2 . top

i

i

4 ,

1

2 . top

i

1 ,

1

3

2 ,

1

3

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

B1 =

B2 =

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

2007-05-17

Opracowanie: P. Pluci ski, IMKwIL, PK

Przykład rozwi zania tarczy MES

4

Agregacja macierzy sztywno ci

T

T

K

B1 .K( 1 ) .B1

B2 .K( 2 ) .B2

6

5

6

5

5

6

6

5

2.933.10

4.96 .10

1.009.10

5.816.10

6.414.10

1.488.10

1.283.10

4.105.10

5

6

4

6

6

5

6

5

4.96 .10

4.05 .10

8.552.10

3.241.10

1.488.10

2.694.10

1.078.10

5.388.10

6

4

6

5

6

6

1.009.10

8.552.10

2.292.10

9.921.10

1.283.10

1.078.10

0

0

5

6

5

6

5

5

5.816.10

3.241.10

9.921.10

3.78 .10

4.105.10

5.388.10

0

0

K =

5

6

6

5

6

6

6

6.414.10

1.488.10

1.283.10

4.105.10

4.079.10

0

2.155.10

1.078.10

6

5

6

5

6

5

6

1.488.10

2.694.10

1.078.10

5.388.10

0

5.94 .10

4.105.10

5.131.10

6

6

6

5

6

6

1.283.10

1.078.10

0

0

2.155.10

4.105.10

3.438.10

1.488.10

5

5

6

6

6

6

4.105.10

5.388.10

0

0

1.078.10

5.131.10

1.488.10

5.67 .10

Wektor prawej strony - zast pniki

funkcja obci enia s

s

p1 .

.

x 1

p2 x

L

L

0

f p1 ,

,

,

, ,

x p2 x p1 y p2 y L s s

s

( )

f( 0 , 0 , 0 , 75, 2 , s) F( s)

75 .

p1 .

.

F s

s

y 1

p2 y

L

L

2

Zast pnik dla elementu 2 - obci enie wzdłu osi x=s i dla y=1.5

T

Zt2( s)

N( 2 , s, 1.5) .F( s) Warunki brzegowe -

zablokowane nr stopni swobody 0

i

1 . 6

0

25

1

25

0

2

2

war

Z2

Zt2( s) d s

0

T.

0

3

i

i

Z2 =

P

B2 Z2

P =

0

0

0

4

0

0

50

0

50

Uwzgl dnienie warunków brzegowych

i

1 . 4

I

identity( 8 )

Id

. .Ip Id

PP

Ip .P

8 ,

0

Id

8

war ,

1

Ip

I

Id

KK

Ip K

war

i

i

Rozwi zanie równania MES

0

66.667

0

43.556

1

Q

KK .PP

0

66.667

R

K.Q

P

0

31.444

Q =

6

R =

15

8.182.10

7.085.10

5

15

5.213.10

6.939.10

5

14

1.529.10

1.322.10

5

14

6.156.10

2.842.10

2007-05-17

Opracowanie: P. Pluci ski, IMKwIL, PK

Przykład rozwi zania tarczy MES

5

Powrót do elementów Q1

B1.Q

Q2

B2.Q

0

0

0

0

6

0

8.182.10

Q1 =

Q2 =

0

5

5.213.10

6

8.182.10

5

1.529.10

5

5.213.10

5

6.156.10

ε

( , ,

.

ε

( , ,

.

1

B 1 0 0 ) Q1

2

B 2 0 0 ) Q2

6

6

.

4.091.10

7.646 10

ε =

ε

6

=

.

1

0

2

9.433 10

5

2.606.10

6

7.306.10

σ

.

σ

.

1

D ε 1

2

D ε 2

104.964

157.446

σ =

σ =

1

16.794

2

210.638

280.851

78.723

2007-05-17

Opracowanie: P. Pluci ski, IMKwIL, PK