4w to simpleks 2011


Pierwsze rozwiązanie bazowe dopuszczalne
xB = B-1b - B-1N xN
x0 =cB B-1b - (cB B-1N - cN ) xN
Poszukiwanie rozwiązań bazowych
x0 �ł łł �ł
�ł łł cB B-1b cBB-1N - cN łł
= - xN
dopuszczalnych
�łx śł �ł śł �ł śł
B-1b B-1N
�ł B �ł �ł �ł �ł �ł
Wydział Elektroniki
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Dr in\. Ewa Szlachcic
Wprowadzone oznaczenia: Postać początkowej tablicy simpleksowej
y0 j
�ł łł
y00
�ł łł
�ł
�ł - cj �ł śł
cB B-1a łł y1 j śł
�ł łł y10 śł j
cB B-1b �ł
�ł śł y a" a"
j �ł śł - xN
y0 a" a" oraz
�ł śł �ł śł
B-1a M - xN
�ł śł �ł j śł
B-1b M �ł �ł
�ł �ł
�ł śł
�ł śł
ymj
�ł śł
�ł �ł
x0 0 - cN
�łym0 �ł
x0 cBB-1b cBB-1N - cN cB = 0
gdzie oznaczają kolumny macierzy N.
aj , j " RN
xB b N
xB B-1b B-1N
Funkcja celu x0
dla przypadku gdy cB=0 tzn. pierwsze rozwiązanie bazowe dopuszczalne odpowiada za
x0 = y00 - xj punkt wierzchołkowy x
"y0 j
x = [0,...,0].
j"R
m funkcji ograniczeń
xBi = yi0 - yij x , dla i = 1,...,m
" j
j"RN
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Technika optymalizacji
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Dr in\. Ewa Szlachcic Dr in\. Ewa Szlachcic
Postać początkowej tablicy simpleksowej dla omawianego
przykładu
Polepszanie rozwiązania bazowego dopuszczalnego
ńł x1 + x2 d" 5 �ł
max x0 = 2x1 +1x2
�ł �ł
x"X X = : - x1 + x2 d" 0 , x e" 0żł
�łx
�ł �ł x0 = y00 - y0 j x
j
6x1 + 2x2 d" 21 "
ół �ł
j"RN
max x0 = 2x1 +1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
x"X
zawsze xj e" 0,
ńł x1 + x2 + x3 + 0 + 0 = 5 �ł
xN
�łx �ł
X = : - x1 + x2 + 0 + x4 + 0 = 0
�ł żł
zatem gdy xk ę! to równie\ x0 ę! gdy y0k d" 0
�ł
6x1 + 2x2 + 0 + 0 + x5 = 21�ł
ół �ł
x3 x3
�ł łł �ł łł
x1 x2
�łx śł
xBi = yi0 - yij x , dla i = 1,..., m
j
xB =�łx4śł "
x0 0 -2 -1
xB �ł 4 śł �ł śł
�ł łł j"RN
�ł śł
�ł śł
x = = x5 e" 0
�łx5�ł
�łx śł
x3 5 1 1
�ł śł
�ł N �ł
x1 x1 xB
x4 0 -1 1
�ł śł �ł łł
xN =
�łx2 śł �łx śł
x5 21 6 2
�ł �ł
�ł 2�ł
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Technika optymalizacji
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Dr in\. Ewa Szlachcic Dr in\. Ewa Szlachcic
1
Polepszanie bazowego rozwiązania dopuszczalnego Optymalne rozwiązanie zadania programowania liniowego PL metodą
simpleks
�rk = min(yi0 / yik, yik > 0).
i=1,...,m
Twierdzenie 4.5
Twierdzenie 4.5
Gdy mamy nie-zdegenerowane rozwiązanie bazowe dopuszczalne takie, \e
Rozwiązanie bazowe dopuszczalne układu równań Ax=b
y0 j < 0 dla pewnego j = k, k " RN oraz yik > 0
jest rozwiązaniem optymalnym zadania PL, jeśli są spełnione dwa warunki:
dla przynajmniej jednego i wówczas mo\na z niego otrzymać lepsze bazowe
rozwiązanie dopuszczalne przez wymianę jednej z kolumn macierzy B na kolumnę
macierzy N.
(i) Warunek prymalnej dopuszczalności:
y
y 1
rj
r 0
x = - x - x
k " j Br
yio e"0 dla i "{1,..., m}
y y y
rk - {k } rk rk
j " R
N
(ii) Warunek optymalności
�ł yik y �ł �ł yik yrj yik
�ł
r 0
�ł yij �ł x + x
x = yi 0 - �ł - �ł - �ł
Bi " j y0 j e" 0 dla "j " RN
�ł �ł �ł
y y yrk Br
�ł rk łł j" R -{k }�ł rk łł
N
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Technika optymalizacji
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Dr in\. Ewa Szlachcic Dr in\. Ewa Szlachcic
Pierwsza tablica simpleks-I rozwiązanie bazowe dopuszczalne
Polepszona tablica simpleks odpowiada za następne rozwiązanie bazowe
dopuszczalne o większej wartości funkcji celu.
Kryterium
y0 j e"0 dla "j " RN
optymalności
...xx- x... ...xx- xk... ... ... -xj ... -xBr ...
j
...
... -- ... -- ...
j k
j k
x0 y00-(y0kyr0/yrk) ... y0j-(y0kyrj/yrk) ... -y0k/yrk
x0 00 00... ... ...
x0 x0yy00 y... ...yj j y0... ...y y0... ...
y0 0 j y0k0k k
Kryterium
... ... ...
... ... ...
... ... ...
... ... ...
dopuszczalności
x y iO... ...
xBiBi xBi y... ...yij y... ...y yik... ... xBi yi0-(yikyr0/yrk) ... yij-(yikyrj/yrk) -yik/yrk
y yij ij yikik ...
iO iO
yioe"0
... ... ...
... ... ...
... ... ...
... ... ...
dla i"{1,...,m}
x y ... ...
xBrBr xBr y... ...yrj y... ...y yrk... ...
yr0r0 r0 yrj rj yrkrk ...
xk yr0/yrk ... yrj/yrk ... 1/yrk ...
... ... ...
... ... ...
... ... ...
xBmxBmm0 ... ... ymk ...
ym0ym0 ...y
xBm y ... ymjmj ymj... ...ymkymk... ...
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Technika optymalizacji
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Dr in\. Ewa Szlachcic Dr in\. Ewa Szlachcic
Algorytm simpleks dla ograniczeń mniejszościowych
Algorytm simpleks (prymalny) c.d.
Krok 1. (start). Rozpoczynamy algorytm od znalezienia pierwszego rozwiązania
bazowego dopuszczalnego. Nale\y sprawdzić dopuszczalność Krok 4. (wybór zmiennej usuwanej z bazy). Wybierz jako zmienną usuwaną z bazy
taką zmienną dla której
x ,
yi 0 e" 0 dla i = 1,..., m
rozwiązania: czy Tak - idz do kroku 2, Nie  STOP. Br
�rk = min(yi0 / yik, yik > 0).
Krok 2. (test optymalności). Czy dla ka\dego j " RN ? i=1,...,m
y0 j e" 0
" Tak - to aktualne rozwiązanie jest optymalne. Jeśli wiele zmiennych spełnia ten warunek, wybierz arbitralnie jedną z nich.
Id\ do kroku 5.
" Nie - idz do kroku 3.
Krok 5. (eliminacja Gauss a). Wyznacz oraz względem zmiennych
xk x , i `" R ,
Bi N
Krok 3. (Wybór zmiennej wchodzącej do bazy). Wybierz jako zmienną wchodzącą do
x , j " RN - {k}
x , k " R oraz zmiennej xB zgodnie z wyprowadzonym wzorem.
bazy taką zmienną dla której y < 0 . j
k N 0 k r
Podstaw
Typową regułą jest wybór zmiennej xk x = 0, j " RN -{k} i xBr = 0
jest reguła dla której:
j
aby otrzymać nowe rozwiązanie bazowe dopuszczalne.
y = {y , y d" 0}
0 k 0 j 0 j
min
j" R Idz do kroku 2.
N
Id\ do kroku 4.
Krok ten czasami nazywa się wymianą zmiennej bazowej ( piwotyzacją).
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Technika optymalizacji
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Dr in\. Ewa Szlachcic Dr in\. Ewa Szlachcic
2
Zadanie programowania liniowego PL dla ograniczeń mniejszościowych
Zało\enia:
X `" 0
Schemat reguły przeliczenia współczynników w tablicy simpleks 1. Zbiór X rozwiązań dopuszczalnych
wg metody eliminacji Gauss a
2. algorytm simpleks startuje z bazowego dopuszczalnego rozwiązania oraz w
trakcie jego realizacji nie występuje degeneracja
p - element centralny (główny)
q  dowolny element w wierszu centralnym (głównym)
I. Zadanie programowania liniowego PL posiada jedno rozwiązanie
r  dowolny element w kolumnie centralnej (głównej) ńł x1 + x2 d" 5 �ł
�ł
max x0 = 2x1 +1x2 X = �ł : - x1 + x2 d" 0 , x e" 0żł
s  dowolny pozostały element
�łx
x"X
�ł �ł
6x1 + 2x2 d" 21
ół �ł
Przykład:
1 q
�ł łł
�ł śł
x5 x2
�łp qłł x1 x2 x5 x3
p p
�łr sśł �! �ł r rq śł x0 7 1/3 -1/3 x0 31/4 1/4 1/2
x0 0 -2 -1
�ł- s - śł
�ł �ł
x2 9/4 -1/4 3/2
x3 5 1 1 x3 3/2 -1/6 2/3
�ł śł
p p
x4 1/2 1/2 -2
�ł �ł
x4 0 -1 1 x4 7/2 1/6 4/3
x1 11/4 1/4 -1/2
x5 21 6 2
x1 7/2 1/6 1/3
'"
11 9 1
x = [x1, x2, x3, x4.x5]T = [ , , 0, , 0]T
Rozwiązanie bazowe optymalne:
4 4 4
31
Wartość optymalna funkcji celu:
x0 =
4
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Technika optymalizacji
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Dr in\. Ewa Szlachcic Dr in\. Ewa Szlachcic
Przykład zadania programowania liniowego  metoda prymalna simpleks Przykład zadania programowania liniowego  metoda prymalna simpleks cd.
- I rozw. bazowe dopuszczalne. - II rozw. bazowe dopuszczalne.
Krok 1. (start). Rozpoczynamy algorytm od znalezienia pierwszego rozwiązania bazowego
Krok 5. (eliminacja Gauss a). Wyznacz nowa tablicę simpleksów. Idz do kroku 2.
dopuszczalnego. Nale\y sprawdzić dopuszczalność rozwiązania.
Krok 2. (test optymalności). Tak - to aktualne rozwiązanie jest optymalne.
Tak - idz do kroku 2, Nie  STOP.
Nie - idz do Kroku 3.
Krok 2. (test optymalności).
Tak - to aktualne rozwiązanie jest optymalne. Nie - idz do Kroku 3.
x5 x2
Krok 3. (Wybór zmiennej wchodzącej do bazy) - zmienna x1 .
x0 7 1/3 -1/3
Krok 4. (wybór zmiennej usuwanej z bazy) - - zmienna x5 . Id\ do kroku 5.
Rozwiązanie bazowe dopuszczalne:
x3 3/2 -1/6 2/3
Wartość optymalna funkcji celu:
x1 x2
x4 7/2 1/6 4/3
x0 0 -2 -1
'" x1 7/2 1/6 1/3
x = [x3, x4, x5, x1.x2 ]T = [5, 0, 21, 0, 0]T
x3 5 1 1
'"
3 7 7
x = [x3, x4, x1, x5.x2 ]T = [ , , , 0, 0]T
x0 = 0 Rozwiązanie bazowe dopuszczalne:
x4 0 -1 1 2 2 2
Wartość optymalna funkcji celu: x0 = 7
x5 21 6 2
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Wydział Elektroniki Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Technika optymalizacji
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika. Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Dr in\. Ewa Szlachcic Dr in\. Ewa Szlachcic
Przykład zadania programowania liniowego  metoda prymalna simpleks cd.
- III rozw. bazowe dopuszczalne = rozwiązanie optymalne.
Krok 2. (test optymalności). Tak - to aktualne rozwiązanie jest optymalne.
x5 x3
x0 31/4 1/4 1/2
x2 9/4 -1/4 3/2
x4 1/2 1/2 -2
x1 11/4 1/4 -1/2
'"
9 1 11
Rozwiązanie bazowe optymalne:
x = [x2, x4, x1, x5.x3]T = [ , , , 0, 0]T
4 2 4
Wartość optymalna funkcji celu:
'"
31
x =
0
4
Wydział Elektroniki
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Kierunek EiT III r Potok: Elektronika.
Dr in\. Ewa Szlachcic
3


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4w to pl
2w to przyklady 11
3w to proglin 11
6w to dpl 11
1w to wprowadzenie 11
CAPTAIN TSUBASA (Road to 2002) 11
5w to przypadki 11
21 11 Lipiec 2001 To nie byli przebierańcy
SHSpec 11 6403C17 The Road to Perfection
Arabska wiosna ludów to wymysł Nasz Dziennik, 2011 03 11
11 1 Relating Lift and Drag to S
4w timo 11 cz1
8w to pn?z ogran 11
3E D&D Adventure 11 Road to Oblivion
11 kto to hitriy
worksheet 11 used to infinitive
11 What does healthy lifestyle mean to you
Blended Exposures Revisited A Simpler Approach to Extending Dynamic Range

więcej podobnych podstron