Macierzowa analiza konstrukcji  przykłady w środowisku MATLAB
materiały pomocnicze do przedmiotu Metody Obliczeniowe
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
2012/2013
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 1 rok akademicki 2012/2013
Przykład 1
Dana jest rama portalowa. Wyznaczyć globalną macierz sztywności metodą jednostkowych stanów przemieszczeń oraz
metodÄ… agregacji macierzy elementowych. EI = const.
L
2
u3
1
UkÅ‚ad posiada 3 stopnie swobody: jð1 , jð2 , u3. Macierz K3´ð3 wyznaczymy dwiema metodami:
W sposób bezpośredni  za pomocą jednostkowych stanów przemieszczenia:
Blokujemy wszystkie stopnie swobody. Poszczególne kolumny macierzy K wyznaczymy jako siły przywęzłowe
wywołane kolejnymi stanami jednostkowych przemieszczeń (w układach z zablokowanymi przemieszczeniami).
Stan jð1 =ð 1 Stan jð2 =ð 1
4EI 2EI
6EI
___ ___
___
6EI
___
L L
L2
L2
2EI
___ 4EI
___
4EI
___
L 4EI
L
___
L
L
2EI 2EI
___ ___
L L
Stan u3 =ð 1
24EI
___
3
L
6EI 6EI
___ ___
2 2
L L
6EI
___
6EI
___
2
L
2
L
Otrzymujemy globalną macierz sztywności K :
8EI 2EI -ð6EI
éðÅ‚ð
Ä™ð
L L L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
2EI 8EI -ð6EI
Ä™ðÅ›ð
K =ð
Ä™ð
L L L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
-ð6EI -ð6EI 24EI
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
L2 L2 L3 ûð
ëð
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 2
L
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 1 rok akademicki 2012/2013
Przy użyciu agregacji:
Macierz K3´ð3 wyznaczymy poprzez agregacjÄ™ macierzy elementowych wzglÄ™dem wektorów alokacji.
L
2
u3
2
1
1 3
Dla każdego trzech elementów ramy zapisujemy macierze sztywności k1 , k2 , k3 . Dokonujemy agregacji zgodnie
z wektorami alokacji:
va jða vb jðb
element 1: 0 0 3 1
element 2: 0 1 0 2
element 3: 0 0 3 2
element 1: element 2:
0 0 3 1 0 1 0 2
12EI 6EI -ð12EI 6EI 12EI 6EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð éð Å‚ð
0 0
Ä™ð Ä™ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð L3 L2 L3 L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI 6EI 4EI -ð6EI 2EI
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð1
0
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
L2 L L2 L L2 L L2 L
k1 =ð k2 =ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI
Ä™ð-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI Å›ð Ä™ð Å›ð
3 0
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
L3 L2 L3 L2 L3 L2 L3 L2
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI 6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
1 2
ëð L2 L L2 L ûð ëð L2 L L2 L ûð
element 3:
0 0 3 2
12EI 6EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð
0
Ä™ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI
Ä™ðÅ›ð
0
Ä™ðÅ›ð
L2 L L2 L
k3 =ð
Ä™ðÅ›ð
-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI
Ä™ðÅ›ð
3
Ä™ðÅ›ð
L3 L2 L3 L2
Ä™ðÅ›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð
2
ëð L2 L L2 L ûð
Do macierzy K wstawiamy wszystkie elementy majÄ…ce niezerowe wektory alokacji:
1 2 3 1 2 3
4EI 4EI 2EI -ð6EI 8EI 2EI -ð6EI
éðÅ‚ð1
éð Å‚ð
1
+ð
Ä™ð Ä™ð
L L L L2 Å›ð L L L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
Þð
2EI 4EI 4EI -ð6EI 2EI 8EI -ð6EI
Ä™ðÅ›ð2
Ä™ð Å›ð
K =ð+ð 2 K =ð
Ä™ð Ä™ð
L L L L2 Å›ð L L L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
-ð6EI -ð6EI 12EI 12EI -ð6EI -ð6EI 24EI
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
+ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
L2 L2 L3 L3 ûð 3 L2 L2 L3 ûð 3
ëð ëð
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 3
L
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 1 rok akademicki 2012/2013
Algorytm w programie MATLAB
% Metody Obliczeniowe
% Przyklad 1
% Opracowala: Magdalena Rucka
% Rok.akad. 2012/13
clear;clc
L=1; % [m]
E=1; % [kN/m2]
Ix=1 ; % [m4]
EI=E*Ix;
%macierz sztywnosci elementu 1
kel_1=ke_beam(EI,L)
kel_2=ke_beam(EI,L)
kel_3=ke_beam(EI,L)
K=zeros(3,3);
K(1,1)=kel_1(4,4)+kel_2(2,2);
K(2,2)=kel_2(4,4)+kel_3(4,4);
K(3,3)=kel_1(3,3)+kel_3(3,3);
K(1,2)=kel_2(2,4);
K(1,3)=kel_1(4,3);
K(2,1)=kel_2(4,2);
K(2,3)=kel_3(4,3);
K(3,1)=kel_1(3,4);
K(3,2)=kel_3(3,4);
K
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 4
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 2 rok akademicki 2012/2013
Przykład 2
Stosując macierzową metodę przemieszczeń narysować wykresy sił wewnętrznych.
Dane: L = 4 m, E = 200 GPa, I = 0.0001 m4, p = 2kN/m.
·ð globalny wektor przemieszczeÅ„
węzłowych
q =ð jðB
[ð ]ð
·ð globalny wektor obciążeÅ„
węzłowych:
R =ð 0
[ð ]ð
·ð wektory alokacji:
vA jðA vB jðB
·ð wyznaczenie globalnej macierzy sztywnoÅ›ci K
el.1 0 0 0 1
za pomocą jednostkowych stanów przemieszczenia:
4EI
éð Å‚ð
K =ð
Ä™ð Å›ð
L
ëð ûð
·ð wyznaczenie globalnej macierzy sztywnoÅ›ci K metodÄ… agregacji macierzy elementowych kel :
j
0 0 0 1
12EI 6EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð
0
Ä™ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI
Ä™ðÅ›ð
0
Ä™ðÅ›ð
4EI
éð Å‚ð
L2 L L2 L K =ð k1 (4,4) =ð
el el
k1 =ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð Å›ð
-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI L
ëð ûð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
L3 L2 L3 L2 0
Ä™ðÅ›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð
1
ëð L2 L L2 L ûð
·ð wektor siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych:
0 0 0 1
T
éðÅ‚ð
pL pL2 pL pL2
0
S1 =ð
Ä™ð-ð -ð -ð Å›ð
2 12 2 12
ëðûð
·ð globalny wektor obciążeÅ„ wÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych:
éð Å‚ð
pL2
R0 =ð
Ä™ð Å›ð
12
ëð ûð
·ð ukÅ‚ad równaÅ„ metody przemieszczeÅ„:
Kq =ð P P=R -ð R0
-ð4
q =ð K-ð1P =ð éðûð
ëð-ð1.3333×ð10 Å‚ð
·ð wektor przemieszczeÅ„ koÅ„ców elementu
T
D1 =ð 0 0 0 jðB
[ð]ð
·ð przywÄ™zÅ‚owe siÅ‚y przekrojowe w elemencie 1
el 0
S1 =ð k1 ×ð D1 +ð S1
pL
12EI 6EI -ð12EI 6EI éð Å‚ð
éðÅ‚ð
-ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð
2
L3 L2 L3 L2 Å›ð
Ä™ð Å›ð
TA Ä™ð 6EI 4EI -ð6EI 2EI Å›ð 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
pL2 éð-ð5Å‚ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðM Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð-ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð 0
A L2 L L2 L 12
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð-ð4Å›ð
=ð×ð +ð =ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
TB Ä™ðÅ›ð 0 pL -ð3
Ä™ð Å›ð
Ä™ð-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI Å›ð
-ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Å›ð
Ä™ðÅ›ð
L3 L2 L3 L2 Ä™ð Å›ð Ä™ð 2
0
ëðMB ûð ëðq(1)ûð ëð ûð
Ä™ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI
pL2
Ä™ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð
ëð L2 L L2 L ûð Ä™ð Å›ð
ëð 12 ûð
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 5
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 2 rok akademicki 2012/2013
Algorytm w programie MATLAB
% Metody Obliczeniowe
% Przyklad 2
% Opracowala: Magdalena Rucka
% Rok.akad. 2012/13
clear;clc
L=4; % [m]
E=200*10^6; % [kPa]
Ix=0.0001; % [m4]
p=2; % [kN/m]
EI=E*Ix;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%q=[fi1]'; % wektor przemieszczen wezlowych
R=[0]'; % wektor obciazen wezlowych
kel_1=ke_beam(EI,L); % macierz sztywnosci elementu 1
K=kel_1(4,4); % utworzenie globalnej macierzy sztywności
S1o=[-p*L/2 -p*L^2/12 -p*L/2 p*L^2/12]'; % wektor sil przywezlowych
% od obciazen przeslowych
Ro=[S1o(4)]'; % utworzenie wektora obciazen wezlowych od obciazen przeslowych
P=R-Ro; % wektor obciazen
q=inv(K)*P % rozwiazanie ukladu rownan metody przemieszczen
D1=[0 0 0 q(1)]' ;% wektor przemiesczen koncow elementu
S1=kel_1*D1+ S1o % sily wewnetrzne elemencie 1
Element belkowy (dodatnie zwroty przemieszczeń):
Wektor przemieszczeń węzłowych elementu belkowego:
T
D =ð vA jðA vB jðB
[ð]ð
j
Wektor sił przywęzłowych elementu belkowego:
T
S =ð M TA M TB
[ð]ð
j A B
Wektor sił przywęzłowych elementu belkowego
od obciążenia przęsłowego:
T
S =ð M TA M TB
[ð]ð
j A B
Macierz sztywności elementu belkowego:
12EI 6EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð
Ä™ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
L2 L L2 L
kel =ð
j Ä™ðÅ›ð
-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
L3 L2 L3 L2
Ä™ðÅ›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð
ëð L2 L L2 L ûð
Macierzowe równanie równowagi na poziomie elementu:
S =ð kel ×ð D +ð S0
j j j j
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 6
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 3 rok akademicki 2012/2013
Przykład 3
Stosując macierzową metodę przemieszczeń narysować wykresy sił wewnętrznych.
Dane: L = 2 m, EI = 1000 kNm2, P1 = 32 kN, p = 16 kN/m.
·ð globalny wektor przemieszczeÅ„
węzłowych:
T
q =ð jð1 jð2 jð3
[ð]ð
·ð globalny wektor obciążeÅ„
węzłowych:
T
R =ð 0 0 0
[ð ]ð
·ð wektory alokacji:
vA jðA vB jðB
el.1 0 1 0 2
el.2 0 2 0 3
·ð macierze sztywnoÅ›ci poszczególnych elementów:
0 2 0 3
0 1 0 2
12EI 6EI -ð12EI 6EI 12EI 6EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð éð Å‚ð
0
0
Ä™ð Ä™ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð L3 L2 L3 L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI 6EI 4EI -ð6EI 2EI
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
2
1
Ä™ðÅ›ð Å›ð
el L2 L L2 L kel =ð Ä™ð L2 L L2 L
k1 =ð
Ä™ðÅ›ð 2 Ä™ð Å›ð
-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI -ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
0
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
L3 L2 L3 L2 0 L3 L2 L3 L2
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI 6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
3
2
ëð L2 L L2 L ûð ëð L2 L L2 L ûð
·ð agregacja macierzy elementowych kel do globalnej macierzy sztywnoÅ›ci K :
j
1 2 3
4EI 2EI
éðÅ‚ð
0 1
Ä™ðÅ›ð
L L
Ä™ðÅ›ð
2EI 4EI 4EI 2EI
Ä™ðÅ›ð
K =ð+ð
Ä™ðÅ›ð 2
L L L L
Ä™ðÅ›ð
2EI 4EI
Ä™ðÅ›ð
0
Ä™ðÅ›ð
L L
ëðûð
3
·ð wektory siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych:
0 1 0 2 0 2 0 3
T
T
éðÅ‚ð
pL pL2 pL pL2P1 P1L P1 P1L
éðÅ‚ð
0 0
S1 =ð , S1 =ð -ð -ð
Ä™ð-ð -ð -ð Å›ð
Ä™ð-ð
2 12 2 12 2 8 2 8
ëðÅ›ð
ûð
ëðûð
1 2 3
T
éðÅ‚ð
pL2 pL2 PL PL
·ð agregacja wektorów S0 do wektora obciążeÅ„ wÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych: R0 =ð -ð1 1
j Ä™ð-ð Å›ð
12 12 8 8
ëðûð
·ð rozwiÄ…zanie ukÅ‚adu równaÅ„ metody przemieszczeÅ„:
0.0020
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
Kq =ð P P=R -ð R0 q =ð K-ð1P =ð 0.0013
Ä™ð Å›ð
Ä™ðûð
ëð-ð0.0047Å›ð
·ð wektory przemieszczeÅ„ koÅ„ców elementu:
T T
D1 =ð 0 jð1 0 jð2 , D2 =ð 0 jð2 0 jð3
[ð]ð [ð]ð
·ð przywÄ™zÅ‚owe siÅ‚y przekrojowe w elemencie 1 i 2:
-ð11 TA -ð21 TA
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ðM Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ðM Å›ð
0
el 0 A A
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð-ð10Å›ð Ä™ð Å›ð
S1 =ð k1 ×ð D1 +ð S1 =ð =ð S2 =ð kel ×ð D2 +ð S0 =ð =ð
2 2
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
-ð21 TB -ð11 TB
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
10 0
ëð ûð ëðM B ûð ëð ûð ëðMB ûð
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 7
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 3 rok akademicki 2012/2013
Algorytm w programie MATLAB
% Metody Obliczeniowe
% Przyklad 3
% opracowala: Magdalena Rucka
% rok.akad. 2012/13
clear;clc
L=2; % [m]
EI=1000; % [kNm2]
p=16; % [kN/m]
P1=32; % [kN]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% wektor przemieszczen wezlowych
%q=[fi1 fi2 fi3]';
% wektor obciazen wezlowych
R=[0 0 0 ]';
% macierze sztywnosci elementow
kel_1=ke_beam_m3(EI,L,'11');
kel_2=ke_beam_m3(EI,L,'11');
% agregacja macierzy sztywnosci ukladu
K=zeros(3,3);
K(1,1)=kel_1(2,2);
K(2,2)=kel_1(4,4)+kel_2(2,2);
K(3,3)=kel_2(4,4);
K(1,2)=kel_1(2,4); K(2,1)=kel_1(4,2);
K(2,3)=kel_2(2,4); K(3,2)=kel_2(4,2);
% wektory sil przywezlowych od obciazen przeslowych
S1o=[ -p*L/2 -p*L^2/12 -p*L/2 p*L^2/12]';
S2o=[ -P1/2 -P1*L/8 -P1/2 P1*L/8]';
% agregacja wektora obciazen wezlowych od obciazen przeslowych
Ro=[ S1o(2) S1o(4)+S2o(2) S2o(4)]'
% rozwiazanie ukladu rownan metody przemieszczen
P=R-Ro;
q=inv(K)*P
%wektory przemieszczen koncow elementu
D1=[0 q(1) 0 q(2)]';
D2=[0 q(2) 0 q(3)]';
%wektory sil przywezlowych
S1=kel_1*D1+S1o
S2=kel_2*D2+S2o
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 8
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 4 rok akademicki 2012/2013
Przykład 4
Stosując macierzową metodę przemieszczeń narysować wykresy sił wewnętrznych.
Dane: L = 2 m, EI = 1000 kNm2, P1 = 32 kN, p = 16 kN/m.
·ð globalny wektor
przemieszczeń węzłowych:
T
q =ð jð1
[ð ]ð
·ð globalny wektor obciążeÅ„
węzłowych:
T
R =ð 0
[ð ]ð
·ð wektory alokacji:
vA vB jðB
el.1 0 0 1
vA jðA vB
el.2 0 1 0
·ð macierze sztywnoÅ›ci poszczególnych elementów:
0 1 0
0 0 1
3EI -ð3EI 3EI 3EI 3EI 3EI
éðÅ‚ð éð Å‚ð
0
0 -ð
Ä™ð
L3 L3 L2 Å›ð Ä™ð L3 L2 L3 Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
3EI 3EI -ð3EI
el Ä™ð-ð3EI 3EI -ð3EI Å›ð Ä™ð Å›ð 1
k1 =ð 0 kel =ð
2
Ä™ð
L3 L3 L2 Å›ð Ä™ð L2 L L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
3EI -ð3EI 3EI -ð3EI -ð3EI 3EI
0
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
1
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
L2 L2 L L3 L2 L3 ûð
ëðûð ëð
·ð agregacja macierzy elementowych kel do globalnej macierzy sztywnoÅ›ci K :
j
3EI 3EI 6EI
éðÅ‚ð éð Å‚ð
K =ð +ð =ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
L L L
ëðûð ëð ûð
·ð wektory siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych:
0 0 1 0 1 0
T
T
éðÅ‚ð 11 3 5
3 5 pL2
éð
0
S1 =ð pL -ð pL , S0 =ð P1 -ð P1L -ð P1 Å‚ð
Ä™ð-ð Å›ð 2
Ä™ð-ð
8 8 8 16 16 16
ëðÅ›ð
ûð
ëðûð
T
éðÅ‚ð
pL2 3PL
1
·ð agregacja wektorów S0 do wektora obciążeÅ„ wÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych: R0 =ð -ð
j Ä™ðÅ›ð
8 16
ëðûð
·ð rozwiÄ…zanie ukÅ‚adu równaÅ„ metody przemieszczeÅ„:
Kq =ð P P=R -ð R0 q =ð K-ð1P =ð 0.0013
[ð ]ð
·ð wektory przemieszczeÅ„ koÅ„ców elementu:
T T
D1 =ð 0 0 jð1 , D2 =ð 0 jð1 0
[ð]ð [ð]ð
·ð przywÄ™zÅ‚owe siÅ‚y przekrojowe w elemencie 1 i 2:
-ð11 TA -ð21 TA
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
el 0 Ä™ð Å›ð Ä™ð Ä™ð Å›ð Ä™ðM Å›ð
S1 =ð k1 ×ð D1 +ð S1 =ð =ð TB Å›ð S2 =ð kel ×ð D2 +ð S0 =ð =ð
2 2 A
Ä™ð-ð21Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð-ð10Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Ä™ð Å›ð
10 TB
ëð ûð ëðM B ûð ëð-ð11Å›ð ëð ûð
ûð
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 9
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 4 rok akademicki 2012/2013
Algorytm w programie MATLAB
% Metody Obliczeniowe
% Przyklad 4
% Opracowala: Magdalena Rucka
% Rok.akad. 2012/13
clear;clc
L=2; % [m]
EI=1000; % [kNm2]
p=16; % [kN/m]
P1=32; % [kN]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% wektor przemieszczen wezlowych
%q=[fi1]';
% wektor obciazen wezlowych
R=[0]';
%macierze sztywnosci elementow
kel_1=ke_beam_m3(EI,L,'01');
kel_2=ke_beam_m3(EI,L,'10');
% agregacja macierzy sztywnosci ukladu
K=[kel_1(3,3)+kel_2(2,2)];
%wektory sil przywezlowych od obciazen przeslowych
S1o=[ -3*p*L/8 -5*p*L/8 p*L^2/8]';
S2o=[ -11*P1/16 -3*P1*L/16 -5*P1/16]';
% agregacja wektora obciazen miedzywezlowych
Ro=[S1o(3)+ S2o(2)]';
% rozwiazanie ukladu rownan metody przemieszczen
P=R-Ro;
q=inv(K)*P
%wektor przemieszczen koncow elementu
D1=[0 0 q(1)]';
D2=[0 q(1) 0]';
%wektor sil przywezlowych
S1=kel_1*D1+S1o
S2=kel_2*D2+S2o
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 10
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 5 rok akademicki 2012/2013
Przykład 5
Stosując macierzową metodę przemieszczeń wyznaczyć siły wewnętrzne w poniższym układzie ramowym.
Dane: E = 200 GPa, A= 4 ×ð 10-2 m2, I= 10-6 m4.
T
·ð wektor przemieszczeÅ„ wÄ™zÅ‚owych: q =ð u1 v2 jð3
[ð]ð
T
·ð wektor obciążeÅ„ wÄ™zÅ‚owych: R =ð 0 0 0
[ð ]ð
·ð tablica cech elementów:
E A I L cos(að)ð ð sin(að)ð ð
el.1 200 ×ð 106 4 ×ð 10-2 10-6
13 2/ 13 3/ 13
el.2 200 ×ð 106 4 ×ð 10-2 10-6 4 1 0
·ð wektory alokacji:
uA vA jðA uB vB jðB
el.1 0 0 0 1 2 3
el.2 1 2 3 0 0 0
·ð lokalne macierze sztywnoÅ›ci poszczególnych elementów (ke_frame):
0 0 0 1 2 3 1 2 3 0 0 0
EA -ðEA EA -ðEA
éðÅ‚ð éð Å‚ð
0 0 0 0 0 0 0 0
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
L1 L1 L2 L2
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð 12EI 6EI -ð12EI 6EI Å›ð Ä™ð 12EI 6EI -ð12EI 6EI Å›ð
00 00
Ä™ð
L13 L12 L13 L12 Å›ð Ä™ð L23 L22 L23 L22 Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI 6EI 4EI -ð6EI 2EI
00 00
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
L12 L1 L12 L1 Å›ð Ä™ð L22 L2 L22 L2 Å›ð
Ä™ð
k1 =ð , k2 =ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
-ðEA EA -ðEA EA
0 0 0 0 0 0 0 0
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
L1 L1 L2 L2
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI -ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI
Ä™ð 00 Å›ð Ä™ð 00 Å›ð
L13 L12 L13 L12 Å›ð Ä™ð L23 L22 L23 L22 Å›ð
Ä™ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI 6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
00 00
L12 L1 L12 L1 ûð ëð Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð L22 L2 L22 L2 ûð
ëð
k1 =
2.2188e+006 0 0 -2.2188e+006 0 0
0 51.203 92.308 0 -51.203 92.308
0 92.308 221.88 0 -92.308 110.94
-2.2188e+006 0 0 2.2188e+006 0 0
0 -51.203 -92.308 0 51.203 -92.308
0 92.308 110.94 0 -92.308 221.88
k2 =
2e+006 0 0 -2e+006 0 0
0 37.5 75 0 -37.5 75
0 75 200 0 -75 100
-2e+006 0 0 2e+006 0 0
0 -37.5 -75 0 37.5 -75
0 75 100 0 -75 200
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 11
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 5 rok akademicki 2012/2013
·ð macierze transformacji (LT):
cos(að1) sin(að1) 0 0 0 0 cos(að2 ) sin(að2 ) 0 0 0 0
éðÅ‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
0 0Å›ð Ä™ð ) cos(að2 ) 0 0 0 0Å›ð
Ä™ð-ðsin(að1) cos(að1) 0 0 Å›ð Ä™ð-ðsin(að2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
00 1 00 0 00 1 00 0
T1 =ð , T2 =ð ,
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
0 0 0 cos(að1) sin(að1) 0Å›ð Ä™ð 0 0 0 cos(að2 ) sin(að2) 0Å›ð
Ä™ð
Ä™ð
00 0 -ðsin(að1) cos(að1) 0Å›ð Ä™ð 00 0 -ðsin(að2 ) cos(að2 ) 0Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
00 0 00 1ûð ëð 00 0 00 1ûð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
ëð
T1 =
0.5547 0.83205 0 0 0 0
-0.83205 0.5547 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.5547 0.83205 0
0 0 0 -0.83205 0.5547 0
0 0 0 0 0 1
T2 =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
·ð transformacja macierzy elementowych do ukÅ‚adu globalnego:
k1 =ð T1 T k1T1 , k2 =ð T2 T k2T2
(ð )ð (ð )ð
k1_g =
6.8274e+005 1.024e+006 -76.805 -6.8274e+005 -1.024e+006 -76.805
1.024e+006 1.5361e+006 51.203 -1.024e+006 -1.5361e+006 51.203
-76.805 51.203 221.88 76.805 -51.203 110.94
-6.8274e+005 -1.024e+006 76.805 6.8274e+005 1.024e+006 76.805
-1.024e+006 -1.5361e+006 -51.203 1.024e+006 1.5361e+006 -51.203
-76.805 51.203 110.94 76.805 -51.203 221.88
k2_g =
2e+006 0 0 -2e+006 0 0
0 37.5 75 0 -37.5 75
0 75 200 0 -75 100
-2e+006 0 0 2e+006 0 0
0 -37.5 -75 0 37.5 -75
0 75 100 0 -75 200
·ð agregacja macierzy elementowych do globalnej macierzy sztywnoÅ›ci
2
K =ð (agregacja)
åðk j
j =ð1
K =
2.6827e+006 1.024e+006 76.805
1.024e+006 1.5361e+006 23.797
76.805 23.797 421.88
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 12
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 5 rok akademicki 2012/2013
·ð wektor siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych
T
éðÅ‚ð
pL2 pL22 pL2 pL22
T
0
S1 =ð 0 0 0 0 0 0 , S0 =ð -ð -ð 0 -ð
[ð]ð
2 Ä™ð0 2 12 2 12 Å›ð
ëðûð
S10 =
0
0
0
0
0
0
S20 =
0
-16
-10.667
0
-16
10.667
·ð transformacja wektorów siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych do ukÅ‚adu globalnego:
00 0
S1 =ð T1 T S1 , S2 =ð T2 T S0
(ð )ð (ð )ð
2
S10_g =
0
0
0
0
0
0
S20_g =
0
-16
-10.667
0
-16
10.667
·ð agregacja wektora siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych do globalnego wektora R0
22
T 0
R0 =ð S0 =ð (agregacja)
åðT åðS
j j j
j=ð1 j =ð1
Ro =
0
-16
-10.667
·ð rozwiÄ…zanie ukÅ‚adu równaÅ„ BezpoÅ›redniej Metody PrzemieszczeÅ„ Kq =ð P P=R -ð R0 q =ð K-ð1P
q =
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 13
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 5 rok akademicki 2012/2013
·ð ekstrakcja wektorów przemieszczeÅ„ koÅ„ców elementu z wektora przemieszczeÅ„ globalnych q
T T
D1 =ð 0 0 0 u1 v2 jð3 , D2 =ð u1 v2 jð3 0 0 0
[ð]ð [ð]ð
D1_g =
0
0
0
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284
D2_g =
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284
0
0
0
·ð transformacja wektorów przemieszczeÅ„ koÅ„ców elementów do ukÅ‚adów lokalnych
D1 =ð T1D1 , D2 =ð T2D2
D1 =
0
0
0
8.3403e-006
1.2895e-005
0.025284
D2 =
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284
0
0
0
·ð przywÄ™zÅ‚owe siÅ‚y przekrojowe w poszczególnych elementach
0
S1 =ð k1 ×ð D1 +ð S1 , S2 =ð k2 ×ð D2 +ð S0
2
S1 =
-18.505
2.3332
2.8038
18.505
-2.3332
5.6088
S2 =
-12.206
-14.103
-5.6088
12.206
-17.897
13.196
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 14
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Przykład 5 rok akademicki 2012/2013
Algorytm w programie MATLAB
% Metody Obliczeniowe
% Przyklad 5
% opracowala: Magdalena Rucka
% rok.akad. 2012/13
clear;clc;format short g
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Dane materialowe i geometryczne oraz wartosci obciazen
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
E=200*10^6; % [kPa]
I=1*10^(-6); % [m4]
A=4*10^(-2); % [m2]
p=8; % [kN/m]
L1=sqrt(13); % [m] dlugosc elementu nr 1
L2=4; % [m] dlugosc elementu nr 2
% sinusy i cosinusy kierunkowe dla elementu nr 1
c1=2/sqrt(13); s1=3/sqrt(13);
% sinusy i cosinusy kierunkowe dla elementu nr 2
c12=1; s2=1;
% koniec danych
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Wektor obciazen wezlowych
R = [ 0 0 0]';
% Lokalne macierze sztywnosci
k1=ke_frame(E*I,L1,E*A);
k2=ke_frame(E*I,L2,E*A);
% Macierze transformacji
T1=LT(2/sqrt(13),3/sqrt(13));
T2=LT(1,0);
% Transformacja macierzy elementowych do ukladu globalnego
k1_g=T1'*k1*T1;
k2_g=T2'*k2*T2;
% Agregacja globalnej macierzy sztywnosci
K=zeros(3,3);
K=K+k1_g(4:6,4:6);
K=K+k2_g(1:3,1:3);
% Wektory sil przywezlowych
S10=[0 0 0 0 0 0]';
S20=[0 -p*L2/2 -p*L2^2/12 0 -p*L2/2 p*L2^2/12]';
% Transformacja wektorow sil przywezlowych do ukladu globalnego
S10_g=T1'*S10;
S20_g=T2'*S20;
% Agregacja wektora sil przywezlowych od obciazen przeslowych do globalnego wektora R0
Ro=zeros(3,1);
Ro=Ro+S10_g(4:6);
Ro=Ro+S20_g(1:3);
% Rozwiazanie ukladu rownan Bezposredniej Metody Przemieszczen
P = R - Ro; % wyznaczenie wektora prawej strony
q = inv(K)*P % rozwiazanie rownania rownowagi
% Ekstrakcja wektorow przemieszczen koncow elementu z wektora przemieszczen globalnych
D1_g=[0 0 0 q(1) q(2) q(3)]'
D2_g=[q(1) q(2) q(3) 0 0 0 ]'
% Transformacja wektorow przemieszczen koncow elementow do ukladow lokalnych
D1=T1*D1_g
D2=T2*D2_g
% Przywezlowe siły przekrojowe w poszczegolnych elementach
S1=k1*D1+S10
S2=k2*D2+S20
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 15
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Funkcje wykorzystywane podczas laboratorium z Metod Obliczeniowych rok akademicki 2012/2013
Funkcje wykorzystywane podczas laboratorium:
function [Ke]=ke_beam(EJ,L)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% PROCEDURA Ke(EJ,L)
% GENERUJE LOKALNA MACIERZ SZTYWNOSCI ELEMENTU BELKOWEGO
%------------------------------------------------------------------------
% WEJSCIE:
% EJ = SZTYWNOSC GIETNA EJ
% L = DLUGOSC ELEMENTU
%-------------------------------------------------------------------------
% WYJSCIE:
% Ke = MACIERZ SZTYWNOSCI ELEMENTU
%------------------------------------------------------------------------
%******************************
% V_i Fi_i V_k Fi_k
%******************************
Ke=[ 12 6*L -12 6*L ;
6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2;
-12 -6*L 12 -6*L ;
6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2]*EJ/L^3;
function [Ke]=ke_frame(EJ,L,EA)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% funkcja generuje lokalna macierz sztywnosci elementu ramowego
%------------------------------------------------------------------------
% WEJSCIE:
% EA = sztywnosc podluzna EA
% EJ = sztywnosc gietna EJ
% L = dlugosc elementu
%-------------------------------------------------------------------------
% WYJSCIE:
% Ke = macierz sztywnosci 6x6 wzgledem przemieszczen
% u_a,v_a,fi_a,u_b,v_b,fi_b
%------------------------------------------------------------------------
%************************************************************
% U_i V_i Fi_i U_k V_k Fi_k
%************************************************************
Ke=[ EA*L^2/EJ 0 0 -EA*L^2/EJ 0 0;
0 12 6*L 0 -12 6*L ;
0 6*L 4*L^2 0 -6*L 2*L^2;
-EA*L^2/EJ 0 0 EA*L^2/EJ 0 0;
0 -12 -6*L 0 12 -6*L ;
0 6*L 2*L^2 0 -6*L 4*L^2]*EJ/L^3;
function [Ltr]=LT(c,s)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% PROCEDURA LT(c,s)
% GENERUJE MACIERZ TRANSFORMACJI ELEMENTU RAMOWEGO
%------------------------------------------------------------------------
% WEJSCIE:
% c = cosinus(alfa)
% s = sinus(alfa)
%-------------------------------------------------------------------------
% WYJSCIE:
% Ltr = MACIERZ TRANSFORMACJI Z UKA
ADU GLOBALNEGO DO LOKALNEGO
%-------------------------------------------------------------------------
Ltr = [ c s 0 0 0 0;
-s c 0 0 0 0;
0 0 1 0 0 0;
0 0 0 c s 0;
0 0 0 -s c 0;
0 0 0 0 0 1];
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 16
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Funkcje wykorzystywane podczas laboratorium z Metod Obliczeniowych rok akademicki 2012/2013
function[ke]=ke_beam_m3(EI,L,kod)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% PROCEDURA ke_beam_mod(EI,L,kod)
% GENERUJE LOKALNA MACIERZ SZTYWNOSCI ELEMENTU BELKOWEGO
%------------------------------------------------------------------------
% WEJSCIE:
% EI = SZTYWNOSC GIETNA EJ
% L = DLUGOSC ELEMENTU
% kod '01' O----------| przegub po lewej stronie
% kod '10' |----------O przegub po prawej stronie
% kod '11' |----------| belka obustronnie utwierdzona
%-------------------------------------------------------------------------
% WYJSCIE:
% ke = MACIERZ SZTYWNOSCI ELEMENTU
%-------------------------------------------------------------------------
if kod=='01'
% v_i v_k fi_k
ke=[3*EI/(L^3) -3*EI/(L^3) 3*EI/(L^2);
-3*EI/(L^3) 3*EI/(L^3) -3*EI/(L^2);
3*EI/(L^2) -3*EI/(L^2) 3*EI/(L)];
elseif kod=='10'
% v_i fi_i v_k
ke=[3*EI/(L^3) 3*EI/(L^2) -3*EI/(L^3);
3*EI/(L^2) 3*EI/(L) -3*EI/(L^2);
-3*EI/(L^3) -3*EI/(L^2) 3*EI/(L^3)];
elseif kod=='11'
% v_i fi_i v_k fi_k
ke=[ 12 6*L -12 6*L ;
6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2;
-12 -6*L 12 -6*L ;
6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2]*EI/L^3;
end
Przykłady użycia funkcji ke_beam_m3:
kel_1=ke_beam_m3(EI,L,'11');
f
k
f
i
v
k
v
i
kel_2=ke_beam_m3(EI,L,'01');
f
k
v
k
v
i
kel_3=ke_beam_m3(EI,L,'10');
f
i
v
v
i
k
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 17
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Wyjściowe siły przywęzłowe, tablica całkowania rok akademicki 2012/2013
Wyjściowe siły przywęzłowe:
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 18
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Wyjściowe siły przywęzłowe, tablica całkowania rok akademicki 2012/2013
Wyjściowe siły przywęzłowe od obciążeń przęsłowych:
Tablica całkowania graficznego:
CaÅ‚ka z iloczynu dwóch funkcji I =ð M2dx =ð mabL
1
òðM
Tablica wartości m, L  długość przedziału.
Uwaga: Wykresy krzywoliniowe opisuje parabola drugiego stopnia
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 19
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Kondensacja statyczna rok akademicki 2012/2013
Kondensacja: eliminuje nieistotne, niezerowe przemieszczenia, którym odpowiadają zerowe
wartości sił przywęzłowych.
Kondensacja układu Kq = P względem podwektora q0 zawartego w wektorze q .
K11 K12 q ' R1
éðÅ‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Kq =ð=ð
Ä™ðK K22 Å›ð Ä™ðq Å›ð Ä™ðR Å›ð
ëð 21 ûð ëð 0 ûð ëð 2 ûð
Rozpisując powyższy układ równań na dwa równania otrzymujemy:
K11q '+ð K12q0 =ð R1
K21q '+ð K22q0 =ð R2 Þð q0 =ð K-ð1(R2 -ð K21q ')
22
A następnie:
K11q '+ð K12K-ð1R2 -ð K12K-ð1K21q ' =ð R1
22 22
(K11 -ð K12K-ð1K21)q ' =ð R1 -ð K12K-ð1R2
22 22
1ð4ð4ð2ð4ð4ð3ð 1ð4ð4ð2ð4ð4ð
3ð
K ' P'
Macierz skondensowana K ' ostatecznie przyjmuje postać:
K ' =ð K11 -ð K12K-ð1K21
22
Przykłady:
Kondensacja wzglÄ™dem jða
va a vb b
va
K21
K22 a
K12
vb
K11
b
Kondensacja wzglÄ™dem jða oraz jðb
vb a b
K11 K12
vb
a
K22
K21
b
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 20
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Kondensacja statyczna rok akademicki 2012/2013
Macierz sztywności elementu belkowego:
f
k
f
i
v
k
v
i
12EI 6EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð
Ä™ð
l3 l2 l3 l2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
l2 l l2 l
k =ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI Å›ð
Ä™ð l3 l2 l3 l2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð
ëð l2 l l2 l ûð
Macierz skondensowana elementu belkowego:
f
k
v
k
v
i
3EI -ð3EI 3EI
éðÅ‚ð
Ä™ð
l3 l3 l2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð-ð3EI 3EI -ð3EI Å›ð
k =ð
Ä™ð
l3 l3 l2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
3EI -ð3EI 3EI
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
l2 l2 l
ëðûð
Macierz skondensowana elementu belkowego:
f
i
v
v
i
k
3EI 3EI 3EI
éðÅ‚ð
-ð
Ä™ð
l3 l2 l3 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
3EI 3EI -ð3EI
Ä™ðÅ›ð
k =ð
Ä™ð
l2 l l2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð-ð3EI -ð3EI 3EI Å›ð
Ä™ðÅ›ð
l3 l2 l3 ûð
ëð
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 21
Metody Obliczeniowe Magdalena Rucka
Kondensacja statyczna rok akademicki 2012/2013
Kondensacja wzglÄ™dem jði :
vi jði vk jðk
12EI 6EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð
Ä™ð
l3 l2 l3 l2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
l2 l l2 l
k =ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI Å›ð
Ä™ð l3 l2 l3 l2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð
ëð l2 l l2 l ûð
k ' =ð k11 -ð k12k-ð1k21
22
12EI -ð12EI 6EI 6EI
éðÅ‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð Å›ð
l3 l3 l2 Å›ð l2
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
-ð12EI 12EI -ð6EI -ð6EI 6EI -ð6EI 2EI 4EI
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
k11 =ð k12 =ð k21 =ð k22 =ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Ä™ð Å›ð
l3 l3 l2 Å›ð l2 l2 l l
l2
ëð ûð ëð ûð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
6EI -ð6EI 4EI 2EI
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
l2 l2 l l
ëðûð ëð ûð
12EI -ð12EI 6EI 6EI 3EI -ð3EI 3EI
éðÅ‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
l3 l3 l2 Å›ð Ä™ð l2 Å›ð Ä™ð l3 l3 l2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
-ð12EI 12EI -ð6EI -ð6EI l 6EI -ð6EI 2EI -ð3EI 3EI -ð3EI
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
k ' =ð-ð =ð
Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Ä™ð
l3 l3 l2 Å›ð Ä™ð l2 Å›ð Ä™ð 4EI l2 l2 ll3 l3 l2 Å›ð
ëð ûð ëð ûð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
6EI -ð6EI 4EI 2EI 3EI -ð3EI 3EI
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
l2 l2 l l l2 l2 l
ëðûð ëð ûð ëð ûð
f
k
v
k
v
i
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów str. 22