Mechanika
Budowli
Macierzowa
Analiza
Konstrukcji
Statyka
(Materiały dydaktyczne)
Marek Krzysztof Jasina
Gdansk 2004
To co musiałeś odkryć samodzielnie
zostawia w twym umyśle ścieżkę,
którą w razie potrzeby możesz pójść jeszcze raz.
Georg Christoph Lichtenberg
Wstęp
Niniejszy skrypt powstał w Katedrze Mechaniki Budowli Politechniki
Gdańskiej i przeznaczony jest dla studentów Wydziału Inżynierii Lądowej i Środowiska
PG jako pomoc do nauki w czasie kursu Mechaniki Budowli w semestrze 5.
Głównym celem Autora było zaprezentowanie w opracowaniu możliwości
analizy płaskich układów prętowych z zastosowaniem Bezpośredniej Metody
Przemieszczeń (ang. Direct Stiffness Method). Autor starał się objaśnić, w sposób
podstawowy, najistotniejsze kroki poszczególnych rozwiązań tak, by możliwe było
samodzielne przyswojenie prezentowanej problematyki i wykorzystanie nabytych
umiejętności do rozwiązywania zagadnień statycznej analizy płaskich układów
prętowych przy użyciu BMP. Zaprezentowane rozwiązania pozwalają na
przeprowadzenie własnej implementacji numerycznej np. za pomocą systemu MATLAB.
W rozdziale 1. pokazano kilka przykładów wyznaczania macierzy sztywności i
podatności prostych płaskich układów prętowych.
W rozdziale 2. przedstawiono tworzenie macierzy sztywności i podatności
elementów.
Rozdział 3. prezentuje tradycyjny sposób rozwiązania zadania Metodą Przemieszczeń
przy zastosowaniu zapisu macierzowego.
W rozdziale 4. rozwiązano kilka płaskich układów prętowych o ortogonalnej
siatce prętów w różny sposób obciążonych w swojej płaszczyz
nie. Zaprezentowano
algorytm rozwiązania. W rozwiązaniu posłużono się elementem belkowym o czterech
stopniach swobody.
W rozdziale 5. zaprezentowano algorytm BMP rozwiązania ramy o
nieortogonalnej siatce prętów obciążonej statycznie. Analizowana rama składa się z
elementów ramowych o sześciu stopniach swobody.
Rozdział 6. i rozdział 7. prezentują rozwiązania analogiczne do zawartego w
rozdziale 5, przy czym przedmiotem analizy są w nich dz
wigar załamany w planie oraz
kratownica płaska.
W rozdziale 8. zebrano załączniki, w których zestawiono: wzory
transformacyjne metody przemieszczeń, wyjściowe siły przywęzłowe od pewnych
wybranych obciążeń międzywęzłowych (przęsłowych), macierze sztywności różnych
elementów prętowych o osi prostej oraz pokazano przekształcenia związane z
kondensacją i modyfikacją macierzy sztywności.
Autor czuje się w obowiązku podziękować studentom, których rozwiązania
zadań zostały wykorzystane w opracowaniu. Ponadto, szczególne podziękowania
należą się pani Agnieszce Witkowskiej, która przepisała tekst i wzory oraz w znacznej
części robiła bieżącą korektę oraz pani Joannie Klimas, która wykonała żmudną pracę
przy przerysowaniu wszystkich rysunków zamieszczonych w skrypcie. Dziękuję także
wszystkim tym, których pomoc i uwagi przyczyniły się do powstania niniejszego
opracowania.
Gdańsk, paz
dziernik 2004r.
Marek Krzysztof Jasina
[e-mail]
Spis treści
1. Macierz sztywności i podatności układu .................................................................1
2. Macierz sztywności i podatności elementu ...........................................................11
3. Metoda Przemieszczeń w zapisie macierzowym ..................................................21
4. Macierzowa Metoda Przemieszczeń
(ortogonalna siatka pretów)  element belkowy ...................................................34
5. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
 element ramowy .................................................................................................48
6. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
 element rusztowy ...............................................................................................58
7. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
 element kratowy .................................................................................................65
8. Załączniki
8.1. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń
 pręt obustronnie utwierdzony .............................................................................70
8.2. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń
 pręt jednostronnie utwierdzony ..........................................................................71
8.3. Wyjściowe siły przywęzłowe  pręt obustronnie utwierdzony .............................72
8.4. Wyjściowe siły przywęzłowe  pręt jednostronnie utwierdzony ..........................76
8.5. Macierz sztywności płaskiego elementu kratowego .............................................80
8.6. Macierz sztywności płaskiego elementu skręcanego ............................................81
8.7. Macierz sztywności płaskiego (zginanego) elementu belkowego
- z pominięciem sił normalnych ............................................................................82
8.8. Macierz sztywności płaskiego (zginanego) elementu ramowego
- z uwzględnieniem sił normalnych ......................................................................83
8.9. Macierz sztywności elementu dz
wigara załamanego w planie, zginanego
w płaszczyz
nie i skręcanego, obciążenie w płaszczyz
nie prostopadłej do układu.84
8.10. Macierz sztywności elementu ramy przestrzennej ................................................85
8.11. Modyfikacja macierzy sztywności ........................................................................86
8.12. Kondensacja macierzy sztywności ........................................................................87
9. Literatura ...............................................................................................................89
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
1. Macierz sztywności i podatności układu1
1.1. Przykład
Metodą jednostkowych stanów przemieszczeń wyznaczyć macierz sztywności K ukła-
du (Rys. 1.1) względem zaznaczonych przemieszczeń. Przyjąć EI =const .
Rys. 1.1 Układ dany
Rozwiązanie
Poszukując macierzy sztywności posłużymy się metodą przemieszczeń.
Rys. 1.2 Układ podstawowy
1
Założenie: Pomijamy wpływ odkształcalności podłużnej prętów
- 1 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Poszukiwana macierz sztywności K danego układu składająca się z elementów rij ma
postać
r11 r12
Ą# ń#
K = (1.1)
ó#r r22 Ą#
21
ó# Ą#
Ł# Ś#
Wyszczególnione we wzorze (1.1) składowe wielkości rik są to odpowiednie reakcje
powstające w nałożonych więzach i = 1,2 od jednostkowych przemieszczeń w miej-
scach i na kierunkach k = 12 (pierwszy indeks określa miejsce, a drugi przyczynę).
,
Uwaga!
Warto zauważyć, że z twierdzenia o wzajemności reakcji wynika symetria macierzy
sztywności, a zatem r12 = r21 .
Układ podstawowy otrzymujemy poprzez nałożenie na układ wyjściowy (dany) fikcyj-
nych więzów na kierunkach przemieszczeń �1 i �2 (Rys. 1.2), względem których wy-
znaczamy macierz K .
Dokonując kolejno jednostkowych wymuszeń �1 = 1 oraz �2 = 1 , stosując wzory trans-
formacyjne metody przemieszczeń (zob. załącznik), wyznaczymy poszukiwane warto-
ści sił reakcji w węz
le (3) (Rys. 1.3 i Rys. 1.4).
Krok 1. Wyznaczymy reakcje r11 oraz r21 rozwiązując układ obciążony jednostkowym
przemieszczeniem �1 = 1 .
Rys. 1.3 Przemieszczenie (�1 = 1 )
Zadanie rozwiązujemy metodą przemieszczeń, niewiadomą jest obrót węzła �2 = ? .
- 2 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Możemy zapisać momenty przywęzłowe.
2EI 3�"1 4EI 6EI
�#ś#
M23 = 2�2 + 0 - = �2 - (1.2)
ś#ź#
aa a a2
�# #
2EI 3�"0 4EI
�#ś#
M21 = 2�2 + 0 + = �2 (1.3)
ś#ź#
aa a
�# #
Warunek równowagi.
(1.4)
"M = 0 �! M23 + M21 = 0
2
4EI 6EI 4EI 3
�2 - + �2 = 0 �! �2 = a (1.5)
a a2 a 4
Wyznaczoną wielkość kąta obrotu podstawiamy ponownie do wzorów transformacyj-
nych i obliczamy poszukiwane reakcje.
2EI 3 3�"1 3EI
�#ś#
M23 = 2�" a + 0 + = - (1.6)
ś#ź#
a 4 a a2
�# #
2EI 3 3�"1 9EI
�#ś#
r21 = M32 = 2�" a + 0 - = - (1.7)
ś#ź#
a 4 a 2a2
�# #
M23 + M32 �#ś#
( ) 1 3EI 9EI 15EI
r11 = T32 = - = - - - = (1.8)
ś#
aa a2 2a2 ź# 2a3
�# #
Krok 2. Wyznaczymy reakcje r12 oraz r22 , rozwiązując układ obciążony jednostkowym
przemieszczeniem �2 = 1 .
Rys. 1.4 Przemieszczenie (�2 = 1 )
- 3 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Zadanie rozwiązujemy metodą przemieszczeń, niewiadomą jest obrót węzła �2 = ? .
Możemy zapisać momenty przywęzłowe.
2EI 3�"0 4EI 2EI
�#ś#
M23 = 2�2 +1+ = �2 + (1.9)
ś#ź#
aa a a
�# #
2EI 3�"0 4EI
�#ś#
M21 = 2�2 + 0 + = �2 (1.10)
ś#ź#
aa a
�# #
Warunek równowagi.
(1.11)
"M = 0 �! M23 + M21 = 0
2
4EI 2EI 4EI 1
�2 + + �2 = 0 �! �2 = - (1.12)
a a a 4
Wyznaczoną wielkość kąta obrotu podstawiamy ponownie do wzorów transformacyj-
nych i obliczamy poszukiwane reakcje.
2EI �# 1 3�"0 ś# EI
ś#
M23 = 2�"�# - +1+ = (1.13)
ś# ś# ź# ź#
a 4 a a
�# #
�# #
2EI �# 1 3�"0 ś# 7EI
�# ś#
r22 = M21 = 2�"1+ - + = (1.14)
ś# ś# ź# ź#
a 4 a 2a
�# #
�# #
M23 + M21 �#ś#
( ) 1 EI 7EI 9EI
r12 = T32 = - = - + = - (1.15)
ś#ź#
aa a 2a 2a2
�# #
Podstawiając (1.7), (1.8), (1.14) i (1.15) do (1.1) zapiszemy wynikową, składającą się z
elementów rij , poszukiwaną postać macierz sztywności K danego układu
r11 r12 EI Ą# -9a
Ą# ń# 15 ń#
K == (1.16)
ó#
ó#r r22 Ą#
7a2 Ą#
2a3 ó#-9a Ą#
21
ó# Ą#Ł#Ś#
Ł# Ś#
- 4 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
1.2. Przykład
Metodą jednostkowych stanów obciążeń wyznaczyć macierz podatności F układu
(Rys. 1.5) względem zaznaczonych obciążeń. Przyjąć EI =const .
Rys. 1.5 Układ dany
Rozwiązanie
Poszukiwana macierz podatności F danego układu składająca się z elementów �ij ma
postać
�11 �12
Ą# ń#
F = (1.17)
ó#� �22 Ą#
21
ó# Ą#
Ł# Ś#
Wyszczególnione we wzorze (1.17) składowe wielkości �ik są to odpowiednie prze-
mieszczenia powstające w miejscach i = 1,2 w wyniku jednostkowych obciążeń w
miejscach i na kierunkach k = 12 (indeks i oznacza miejsce, a indeks k przyczynę).
,
Uwaga!
Warto zauważyć, że z twierdzenia o wzajemności przemieszczeń wynika symetria ma-
cierzy podatności, a zatem �12 = �21 .
Wyrazy macierzy podatności F (1.17) wyznaczymy ze wzoru
Mi �" Mk
�ik = dS (1.18)
+"
EI
S
W związku z powyższym, należy wyznaczyć kolejno momenty zginające M1 i M2 w
danym układzie, odpowiednio od P1 = 1 i P2 = 1, co w konsekwencji po zastosowaniu
- 5 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
wzoru (1.18) pozwoli wyznaczyć poszukiwane wartości przemieszczeń w węz
le (3)
(porównaj Rys. 1.1 i Rys. 1.5).
Dany układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny, zatem do wyznaczenia poszu-
kiwanych momentów posłużymy się metodą sił.
Układ podstawowy w metodzie sił (Rys. 1.6) utworzymy poprzez odrzucenie więzi
podporowej i zastąpienie jej przez wielkość nadliczbową X1 .
Rys. 1.6 Układ podstawowy metody sił
Równanie kanoniczne metody sił możemy zapisać w postaci
i i
�11 �" X1 + �1i = 0 (1.19)
p
gdzie indeks i oznacza kolejne siły Pi = 1.
1
Krok 1. Wyznaczymy wykresy momentów zginających dla P1 = 1 i X1 = 1 (Rys. 1.7) w
układzie podstawowym, a następnie z kanonicznego układu równań metody sił obli-
1
czymy rzeczywistą wartość nadliczbowej X1 .
Rysujemy wykresy momentów w układzie podstawowym od jednostkowej nadliczbo-
1 1
wej M1 oraz od obciążenia zewnętrznego M (Rys. 1.8).
p
Całkując zgodnie ze wzorem (1.18) otrzymamy współczynniki równania (1.19)
- 6 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Rys. 1.7 Obciążenie P1 = 1
Rys. 1.8 Obciążenie P1 = 1 - wykresy momentów w układzie podstawowym
od jednostkowej nadliczbowej oraz od obciążenia zewnętrznego
a3
1
�11 = (1.20)
3EI
a3
1
�1 p =- (1.21)
2EI
3
1 1 1 1
�11 �" X1 + �1 p = 0 �! X1 = (1.22)
2
Krok 2. Wyznaczymy wykresy momentów zginających dla P1 = 1 i X12 = 1 (Rys. 1.9) w
układzie podstawowym, a następnie z kanonicznego układu równań metody sił obli-
czymy rzeczywistą wartość nadliczbowej X12 .
- 7 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Rys. 1.9 Obciążenie P2 = 1
Rysujemy wykresy momentów w układzie podstawowym od jednostkowej nadliczbo-
2
wej M12 oraz od obciążenia zewnętrznego M (Rys. 1.8).
p
Całkując zgodnie ze wzorem (1.18) otrzymamy współczynniki równania (1.19)
Rys. 1.10 Obciążenie P2 = 1 - wykresy momentów w układzie podstawowym
od jednostkowej nadliczbowej oraz od obciążenia zewnętrznego
a3
2
�11 = (1.23)
3EI
a2
�12 =- (1.24)
p
2EI
3
2
�11 �" X12 + �12 = 0 �! X12 = a (1.25)
p
2
- 8 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Następnie zgodnie z zasadą superpozycji posługując się zależnością
i i i
Mi = M1 �" X1 + M (1.26)
p
wyznaczymy momenty zginające (Rys. 1.11) od P1 = 1 i P2 = 1.
Rys. 1.11 momenty zginające od P1 = 1 i P2 = 1
Wyrazy macierzy podatności F wyznaczone ze wzoru (1.18) na podstawie Rys. 1.11
można zapisać w następujący sposób.
1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 7a3
Ą#
�11 = �" a �" a �" �" a + �" a �" a �" a + a �" a �" ań# = (1.27)
ó#Ą#
EI 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 12EI
Ł#Ś#
1 1 1 1 2 1 1 2 2 5a
Ą#
�22 = �" �" a �" �" + �" a �"1�" �"1+1�" a �"1ń# = (1.28)
ó#2
EI 2 3 3 2 2 3 3 4EI
Ł#Ą#
Ś#
1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 3a3
Ą#
�12 = �21 = �" a �" a �" �" + a �" a �" �"1+ �" a �" a �"1ń# = (1.29)
ó#Ą#
EI 2 2 3 3 2 2 3 3 2 4EI
Ł#Ś#
Podstawiając (1.27), (1.28) i (1.29) do (1.17) zapiszemy wynikową, składającą się z
elementów �ij , poszukiwaną postać macierz podatności F danego układu
Ą#ń#
7a2 9a
a
F = (1.30)
ó#9a 15 Ą#
12EI
ó#Ą#
Ł#Ś#
Uwaga!
W celu wyznaczenia �11 , �22 , �12 = �21 można zastosować twierdzenia redukcyjne.
- 9 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
1.3. Przykład
Sprawdzić poprawność związku
K-1 = F (1.31)
Dane:
Ą# -9a
15 ń#
EI
macierz sztywności K = (zob. wzór (1.16)),
ó#
7a2 Ą#
2a3 ó#-9a Ą#
Ł# Ś#
Ą# ń#
7a2 9a
a
macierz podatności F = (zob. wzór(1.30)).
ó#9a 15 Ą#
12EI
ó# Ą#
Ł# Ś#
Rozwiązanie
Obliczamy wyznacznik macierzy sztywności K
2
6 EI
EI ( )
�# ś# 2
det K = -(-9a = `" 0 (1.32)
)
()
ś# ź#�" 15�"7a2
2a3 a4
�# #
Ponieważ wyznacznik macierzy K jest różny od zera ( det K `" 0 ), zatem istnieje ma-
cierz odwrotna F = K-1 .
Ą#ń# Ą#ń#
7a2 9a 7a2 9a
a4 EI a
K-1 == = F (1.33)
ó#Ą# ó#Ą#
2
9a 15
12EI
2a3 Ł#Ś# Ł#Ś#
6 EI
( ) ó#Ą# ó#9a 15 Ą#
widać, że związek K-1 = F jest spełniony.
Ponadto poprawność wyników można sprawdzić z warunku
K �"F = I (1.34)
gdzie I  macierz jednostkowa.
Dokonamy zatem mnożenia
Ą# -9a 7a2 9a
15 ń# Ą# ń#
EI a
K �"F = �" =
ó#Ą# ó# Ą#
7a2 Ś# ó# 9a 15
2a3 ó#-9a Ą# 12EI
Ą#
Ł# Ł# Ś#
(1.35)
Ą#ń# 1 0
15�"7a2 + 9a �"
(-9a 15�"9a + �"15 Ą# ń#
) (-9a
)
EI a
= �" = = I
ó#Ą#
ó# Ą#
0 1
�"9a
)
2a3 12EI (-9a
ó# Ą#
ó#-9a �"7a2 + 7a2 9a �" +15�" 7a2 Ą#
Ł# Ś#
Ł#Ś#
Warunek (1.31) jest spełniony.
- 10 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
2. Macierz sztywności i podatności elementu
W analizowanych poniżej elementach występują więzy geometryczne (określone, zero-
we przemieszczenia końców pręta). Należy rozumieć je jako warunki podporowe ukła-
du, z którego elementy te zaczerpnięto.
2.1. Przykład
Metodą jednostkowych stanów obciążeń, poprzez określenie macierzy podatności ele-
mentu Fe , wyznaczyć macierz sztywności danego elementu Ke przedstawionego na
Rys. 2.1, względem zaznaczonych przemieszczeń.
Rys. 2.1 Dany element
ROZWI
ZANIE
Poszukiwana macierz podatności F danego układu składająca się z elementów �ij ma
postać
�11 �12
Ą# ń#
Fe = (2.1)
ó#� �22 Ą#
21
ó# Ą#
Ł# Ś#
Wyszczególnione we wzorze (2.1) składowe wielkości �ik są to odpowiednie prze-
mieszczenia powstające w miejscach i = 1,2 w wyniku jednostkowych obciążeń w
miejscach i na kierunkach k = 12 (indeks i oznacza miejsce, a indeks k przyczynę).
,
Uwaga!
Warto zauważyć, że z twierdzenia o wzajemności przemieszczeń wynika symetria ma-
cierzy podatności, a zatem �12 = �21 .
Wyrazy macierzy podatności F (2.1) wyznaczymy ze wzoru
M(i) �" M(k )
�ik = dS (2.2)
+"
EI
S
- 11 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
W miejscu i na kierunkach zaznaczonych na Rys. 2.1 przemieszczeń �i i vk przykła-
damy kolejno obciążenia Mik = 1 oraz Tki = 1 i rysujemy wykresy momentów zginają-
cych od tych jednostkowych obciążeń, odpowiednio: M(1) Mik = 1 (Rys. 2.2) i
( )
M(2) Tki = 1 (Rys. 2.3).
( )
Rys. 2.2 Wykres momentów od obciążenia Mik = 1
Rys. 2.3 Wykres momentów od obciążenia Tki = 1
Na podstawie powyższych rysunków, ze wzoru (2.2) wyznaczymy wyrazy macierzy
podatności elementu Fe zapisanej wcześniej wzorem (2.1), będące przemieszczeniami
od obciążeń jednostkowych.
Całkując iloczyny ( M(1) �" M(1) ), ( M(1) �" M(2) ), ( M(2) �" M(2) ), otrzymujemy
1 l
�11 = 1�"l �"1 = (2.3)
( )
EI EI
1 1 l2
�#1�"l ś#
�12 = �21 = �" �"l = (2.4)
ś# ź#
EI 2 2EI
�# #
1 1 2 l3
�#ś#
�22 = �"l �"l �" �"l = (2.5)
ś#ź#
EI 2 3 3EI
�# #
- 12 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Podstawiając(2.3), (2.4) i (2.5) do (2.1) zapiszemy wynikową, składającą się z elemen-
tów �ij , poszukiwaną postać macierz podatności F danego układu
�11 �12 l Ą#ń#
Ą#ń#6 3l
Fe == (2.6)
ó#Ą#
ó#Ą#3l 2l2
�21 �22 6EI
ó#Ą#
ó#Ą#
Ł#Ś#
Ł#Ś#
Można teraz wyznaczyć wyznacznik macierzy podatności elementu.
Obliczymy wyznacznik macierzy podatności
l4
det Fe =`" 0 (2.7)
2
12 EI
( )
Wyznacznik macierzy podatności elementu jest różny od zera ( det Fe `" 0 ), zatem ma-
cierz sztywności Ke wyznaczymy obliczając odwrotność macierzy podatności elemen-
tu Fe z zależności
Ą# -3l ń#
2l3
72EI
Ke = Fe-1 = (2.8)
ó#Ą#
l3
ó#-3l 6l Ą#
Ł#Ś#
- 13 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
2.2. Przykład
Przekształcając macierz sztywności elementu belkowego Ke wyznaczyć macierz po-
datności Fe elementu (Rys. 2.4) względem zaznaczonych obciążeń.
Rys. 2.4 Dany element
ROZWI
ZANIE
W rozwiązaniu przeprowadzimy kolejno modyfikację i kondensację macierzy sztywno-
ści elementu belkowego z pominięciem wpływu sił podłużnych Ke(4�4) (zob. załącznik)
a następnie obliczymy macierz podatności jako odwrotność macierzy sztywności
Fe = K-1 .
e
Modyfikując (zob. załącznik) pełną macierz sztywności elementu belkowego Ke(4�4)
względem �k = 0 otrzymujemy macierz
Ą#ń#
12 6l -12
ó#Ą#
e EI
K = 6l 4l2 -6l (2.9)
ó#Ą#
l3
ó#-12 -6l 12 Ą#
Ł#Ś#
zapisaną względem wektora uogólnionych przemieszczeń

qe = vi , �i , vk T (2.10)
{}
e(3�3)
Następnie przeprowadzamy kondensację (zob. załącznik) macierzy K względem
Tki = 0 otrzymując macierz sztywności Ke(2�2) zapisaną względem qe = vi ,�i T
{ }
Ą#ń#ń# 1 Ą# 0 0 ń#
12 6l
EI EI Ą#-12
EI
Ą# ń#
Ke =-{-12,
�" �" - 6l = (2.11)
ó# } ó#
6l 4l2 Ą# ó# Ą# ó#12Ą# 0 1l2 Ą#
l3 ó#Ą# Ł#-6l Ś# l3 ó#
l3
Ł# Ś#
Ą#
Ł#Ś# Ł# Ś#
Widać, że wyznacznik macierzy sztywności Ke(2�2) jest równy zero ( det Ke = 0 ), zatem
poszukiwana macierz podatności Fe wyrażona związkiem Fe = K-1 nie istnieje.
e
- 14 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
2.3. Przykład
Wyznaczyć macierz sztywności Ke i podatności Fe elementu przedstawionego na Rys.
2.5 względem zaznaczonych przemieszczeń i obciążeń. Zadanie rozwiązać z wykorzy-
staniem równania różniczkowego linii ugięcia.
Rys. 2.5 Dany element
ROZWI
ZANIE
Wyznaczenie macierzy sztywności Ke(2�2) równoważne jest z wyznaczeniem poszcze-
gólnych jej składowych.
r11 r12
Ą#ń#
Ke = (2.12)
ó#
r21 r22 Ą#
ó#Ą#
Ł#Ś#
Wielkości rik w powyższym wzorze (2.12) są to odpowiednie reakcje powstające w
nałożonych więzach i = 1,2 powstałe od jednostkowych przemieszczeń w miejscach i
na kierunkach k = 12 (pierwszy indeks określa miejsce, a drugi przyczynę).
,
Znane jest równanie różniczkowe linii ugięcia osi danego elementu (2.13) (obciążenie
p x = 0 ). Całkując je czterokrotnie otrzymujemy równanie linii ugięcia y x .
( ) ( )
4
d y x
( )
= yIV = 0 (2.13)
dx4
d3 y x
( )
= yIII = C1 (2.14)
dx3
2
d y x
( )
= yII = C1 �" x + C2 (2.15)
dx2
dy x
( ) x2
= yI = C1 �" + C2 �" x + C3 (2.16)
dx 2
x3 x2
y x = C1 �" + C2 �" + C3 �" x + C4 (2.17)
( )
6 2
- 15 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Uwaga!
W dalszych rozważaniach należy zwrócić uwagę na znaki sił przywęzłowych ponieważ
siły Tik oraz Mki są przeciwnie skierowane do  tradycyjnie oznaczanych sił we-
wnętrznych, stąd należy dokonać zamiany Tik =-T oraz Mki =- M .
x=0 x=l
W celu wyznaczenia reakcji r11 , r21 , rozpatrujemy stan przemieszczenia (wymuszenia)
vi = 1 �! y = 1 przedstawiony na Rys. 2.6.
( )
x=0
Rys. 2.6 Stan przemieszczenia (wymuszenia) vi = 1
Przy założeniu stanu przemieszczenia vi = 1 , warunki brzegowe są następujące
Mik = 0 �! M = 0 (2.18)
x=0
vi = 1 �! y = 1 (2.19)
x=0
vk = 0 �! y = 0 (2.20)
x=l
�k = 0 �! yI x=l = 0 (2.21)
Podstawiając powyższe warunki brzegowe do równań (2.15), (2.16) i (2.17) otrzymamy
M =-EI �" yII x=0 =-EI �" C1 �" x + C2 x=0 = EI �"C2 �! C2 = 0 (2.22)
()
x=0
�#ś#
x3 x2
y = 1 �! �" + C2 �" + C3 �" x + C4 ź# = 1 �! C4 = 1 (2.23)
ś#C 6 2
1
x=0
�# #
x=0
�#
�#ś#
x3 x2
3
y = 0 �! �" + C2 �" + C3 �" x + C4 ź# = 0
�#
ś#C 6 2
1
x=l C1 =
�# # �#
x=l l3
�! (2.24)
Ź#
3
�#ś#
x2
�#
C3 = -
yI x=l = 0 �! �" + C2 �" x + C3 ź# = 0
ś#C 2
1
�#
2l
�# #
x=l �#
- 16 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Podstawiając obliczone powyżej stałe ( C1, C2 , C3 , C4 ) możemy zapisać reakcje w wię-
zach.
3EI
r11 = Tik = -T = - -EI �" yIII x=0 = EI �"C1 x=0 = (2.25)
()
x=0
l3
3EI
r21 = Mki = -M = - -EI �" yII x=l = EI C1 �" x + C2 x=l = (2.26)
()
()
x=l
l2
W celu wyznaczenia reakcji r12 , r22 , rozpatrujemy stan przemieszczenia (wymuszenia)
�k = 1 �! yI x=l = 1 przedstawiony na Rys. 2.7.
()
Rys. 2.7 Stan przemieszczenia (wymuszenia) �k = 1
Przy założeniu stanu przemieszczenia �k = 1, warunki brzegowe są następujące
Mik = 0 �! M = 0 (2.27)
x=0
vi = 0 �! y = 0 (2.28)
x=0
vk = 0 �! y = 0 (2.29)
x=l
�k = 1 �! yI x=l = 1 (2.30)
Podstawiając powyższe warunki brzegowe do równań (2.15), (2.16) i (2.17) otrzymamy
M =-EI �" yII x=0 =-EI �" C1 �" x + C2 x=0 =-EI �"C2 �! C2 = 0 (2.31)
()
x=0
�#ś#
x3 x2
y = 0 �! �" + C2 �" + C3 �" x + C4 ź# = 0 �! C4 = 0 (2.32)
ś#C 6 2
1
x=0
�# #
x=0
- 17 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
�#
�#ś#
x3 x2
3
y = 0 �! �" + C2 �" + C3 �" x + C4 ź# = 0
�#
ś#C 6 2
1
x=l
C1 =
�# # �#
x=l l2
�! (2.33)
Ź#
1
�#ś#
x2
�#
C3 = -
yI x=l = 1 �! �" + C2 �" x + C3 ź# = 1
ś#C
1
�#
2
2
�# #
x=l �#
Podstawiając obliczone powyżej stałe ( C1, C2 , C3 , C4 ) możemy zapisać reakcje w wię-
zach.
3EI
r12 = Tik = -T = - -EI �" yIII x=0 = EI �"C1 x=0 = (2.34)
()
x=0
l2
3EI
r22 = Mki = -M = - -EI �" yII x=l = EI C1 �" x + C2 x=l = (2.35)
()
()
x=l
l
Uwaga!
Warto zauważyć, że z twierdzenia o wzajemności reakcji wynika symetria macierzy
sztywności, a zatem r12 = r21 .
Macierz sztywności otrzymujemy zbierając jej składowe wyznaczone wcześniej we
wzorach (2.25), (2.26) oraz ,(2.34) (2.35).
Ą#ń#
3 3l
EI
Ke = (2.36)
ó#Ą#
3l 3l2 Ą#
l3 ó#Ś#
Ł#
Widać, że wyznacznik macierzy sztywności Ke jest równy zero ( det Ke = 0 ), zatem
macierz podatności Fe wyrażona związkiem Fe = K-1 nie istnieje.
e
- 18 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
2.4. Przykład
Wyznaczyć macierz sztywności Ke danego elementu kratownicy płaskiej (Rys. 2.8)
względem zaznaczonych przemieszczeń i odpowiadających im obciążeń. Zadanie roz-
wiązać posługując się równaniem różniczkowym opisującym wydłużenie osi tego ele-
mentu.
Rys. 2.8 Element kratowy
ROZWI
ZANIE
Wyznaczenie macierzy sztywności Ke(2�2) równoważne jest z wyznaczeniem poszcze-
gólnych jej składowych. Wielkości rik wyznaczymy analogicznie jak w poprzednim
przykładzie.
r11 r12
Ą#ń#
Ke = (2.37)
ó#
r21 r22 Ą#
ó#Ą#
Ł#Ś#
Równanie różniczkowe opisujące wydłużenie osi elementu pod wpływem siły osiowej
ma postać
du(x) N
= (2.38)
dx EA
Całkując powyższe równanie otrzymamy
N
u(x) = �" x + C1 (2.39)
EA
Uwaga!
Z warunku równowagi wynika poniższa zależność.
N1 =-N2 (2.40)
- 19 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
W celu wyznaczenia reakcji r11 , r21 , rozpatrujemy stan przemieszczenia (wymuszenia)
u1 = 1 przedstawiony na Rys. 2.8.
Uwzględniając warunki brzegowe otrzymamy
u1 = 1 �! u(x = 0) = 1 �! C1 = 1 (2.41)
NN EA
u2 = 0 �! u(x = l) = �"l + C1 = �"l +1 = 0 �! N = - (2.42)
EA EA l
Możemy zatem obliczyć poszukiwane reakcje
EA
r11 = N1 = -N =
l
(2.43)
EA
r21 = N2 = N = -
l
W celu wyznaczenia reakcji r12 , r22 , rozpatrujemy stan przemieszczenia (wymuszenia)
u2 = 1 przedstawiony na Rys. 2.8.
Uwzględniając warunki brzegowe otrzymamy
u1 = 0 �! u(x = 0) = 0 �! C1 = 0 (2.44)
NN EA
u2 = 1 �! u(x = l) = �"l + C1 = �"l = 1 �! N = (2.45)
EA EA l
Możemy zatem obliczyć poszukiwane reakcje
EA
r12 = N1 = -N = -
l
(2.46)
EA
r22 = N2 = N =
l
Wyznaczona macierz sztywności jest macierzą sztywności płaskiego elementu kratowe-
go i ma postać
1
Ą# -1
ń#
EA
Ke = (2.47)
ó#Ą#
l
ó#-1 1 Ą#
Ł#Ś#
- 20 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
3. Metoda Przemieszczeń w zapisie macierzowym
3.1. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych w układzie
przedstawionym na Rys. 3.1. Pominąć wpływ odkształceń podłużnych prętów.
Dane: q = 16 [kN/m] , l = 2[m] , ( P = ql , M = ql2 4 ), EI = 1000 [kNm2 ] .
Rys. 3.1 Dany układ
ROZWI
ZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Rys. 3.2 Dyskretyzacja układu
- 21 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) przemieszczeń węzłowych - w tym przy-
padku mamy jedną niewiadomą (mimo tego stosujemy formalny zapis wektorowy z
oznaczeniem transpozycji).
q = �2 T (3.1)
{ }
Dla każdego elementu o numerze (j) definiujemy wektory przemieszczeń węzłowych
D i sił przywęzłowych S , oraz tworzymy macierz sztywności K . Ponadto, wyzna-
j j j
czamy wektory Sp sił przywęzłowych od obciążeń międzywęzłowych.
j
Wektory D , S i Sp związane są zależnością
j j j
S = K �"D +Sp (3.2)
j j j j
Uwaga!
W zadaniu podano od razu skondensowane (zob. załącznik) macierze sztywności ele-
mentów.
Element 1 .
Rys. 3.3 Element 1 - siły przywęzłowe
D1 = v1, v2 , �2 T (3.3)
{}
S1 = T12 , T21, M21 T (3.4)
{}
Ą#ń#
3 3 3
-
ó#
l3 l3 l2 Ą#
ó#Ą#
0-1
3 3 3
ó#Ą#
K1 = EI (3.5)
ó#- -
l3 l3 l2 Ą#
ó#Ą#
3 3 3
ó#Ą#
-
ó#Ą#
l2 l2 l
Ł#Ś#
- 22 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Rys. 3.4 Element 1  wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
T
ż#�#
3ql 5ql ql2 T
p
S1 = , - , = -20, 8 [kN] (3.6)
{-12,
}
�#- Ź#
8 8 8
�#�#
Element 2 .
Rys. 3.5 Element 2 - siły przywęzłowe
T
D2 = v2 , �2 , v3 (3.7)
{}
T
S2 = T23 , M23 , T32 (3.8)
{}
Ą#ń#
3 3 3
-
ó#
l3 l2 l3 Ą#
ó#Ą#
1-0
3 3 3
ó#Ą#
K2 = EI - (3.9)
ó#
l2 l l2 Ą#
ó#Ą#
3 3 3
ó#Ą#
ó#- l3 - l2 l3 Ą#
Ł#Ś#
Rys. 3.6 Element 2  wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
- 23 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
TT
ż#�# ż# �#
11ql 3ql2 5ql 3ql ql2 3ql
Sp = Sp p + Sp M = , - , - + , , - =
( ) ( )
�#- Ź# �# Ź#
2 2 2
16 16 16 8 8 8
�#�# �# �#
(3.10)
T
ż#�#
5ql ql2 11ql T
= , , - = - 4, - 22 [kN]
{-10,
}
�#- Ź#
16 16 16
�#�#
Poszukujemy niewiadomego przemieszczenia �2 czyli formalnie wektora q , porównaj
z (3.1). Należy zatem rozwiązać poniższe, kanoniczne równanie macierzowej metody
przemieszczeń.
K �"q = P (3.11)
gdzie: K  globalna macierz sztywności układu, P  wektor obciążeń węzłowych.
Macierz sztywności danego układu statycznego zawartą w równaniu (3.11) otrzymuje-
my sumując odpowiednie składniki macierzy sztywności elementów układu.
K(1�1 ) = k1(3,3) + k2 (2,2) (3.12)
gdzie k (n,n) oznacza element w n -tym wierszu i n -tej kolumnie (na n -tej pozycji na
j
diagonali) macierzy K .
j
3 3 6
Ą# ń# Ą# ń#
K = EI + = EI = 3000 [kNm] (3.13)
ó# Ą# ó# Ą#
l l l
Ł# Ś# Ł# Ś#
Wektor obciążeń węzłowych z równania (3.11) otrzymujemy sumując momenty przy-
węzłowe działające w przekrojach przy węz
le (2) (zob. Rys. 3.2).
ż# �#
ql2
p p
P = M2 = - M21 + M23 = = [kNm] (3.14)
{ } {-4
}
()
{} �#- Ź#
16
�# �#
Rys. 3.7 Wypadkowe obciążenie działające na węzeł
Aby rozwiązać równanie (3.11) można zapisać
ż# �# Ą# ń#
l ql2 ql3
Ą# ń#
q = K-1 �"P = �" = = -1.33333�"10-3 [rad] (3.15)
�#- Ź#
ó#- Ą#
ó#6EI Ą#16 96EI
Ł# Ś#
�# �# Ł# Ś#
- 24 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Wyznaczenie sił przywęzłowych w elementach.
Element 1 .
p
S1 = K1 �"D1+S1 (3.16)
Ą#ń#
3 3 3 Ą# ń# Ą#
3
- qlń#
ó#
Ą#
l3 l3 l2 Ą# ó# 0 Ą# ó#- 8
ó#Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
3 3 3 5
ó#Ą#
ó# Ą# ó#
S1 = EI �" 0 + qlĄ# =
ó#- l3 l3 - l2 Ą#
ó# Ą# ó#- Ą#
8
ó#Ą#
ó# Ą#
ql3 ó# 1 Ą#
3 3 3
ó#Ą#
ó#- Ą# ó# Ą#
- ql2
96EI
ó#Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
l2 l2 l 8
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ł#Ś#
Ą# 1 3 ń#
�# ś#
13
Ą# ń#
- - ql
ś# ź# - ql
ó#Ą#
ó# Ą#
32 8
�# #
32
ó#Ą#
Ą#-13 [kN]
ń#
ó# Ą#
ó#Ą#
1 5 19
�# ś#
ó# Ą#
ó# Ą#
=- ql = - ql = [kN] (3.17)
ó#Ą#
ś# ź#
ó#-19Ą#
ó# Ą#
32 8 32
�# #
ó#Ą#
ó# Ą#
ó# Ą# 6 [kNm]
Ł# Ś#
ó#�# 1 1 ś# Ą# 3
ó#ś# - + ql2 ó# ql2 Ą#
Ą#
ź#
ó# Ą#
32
Ł# Ś#
32 8
�# #
Ł#Ś#
Element 2 .
S2 = K2 �"D2 +Sp (3.18)
2
Ą#ń#
3 3 3 5
Ą# ń#
- Ą# ń# - ql
ó#
Ą#
l3 l2 l3 Ą# 0 ó# 16
ó# Ą#
ó#Ą#
ó# Ą#
ó#
3 3 3 ql3 Ą# ó# 1
ó#Ą#
S2 = EI - �" + ql2 Ą# =
ó#- Ą#
ó#
ó#- Ą#
l2 l l2 Ą# ó# 96EI 16
Ą#
ó#Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
3 3 3 11
ó#Ą#
ó# Ą#
0 - ql
ó# Ą#
Ł# Ś#
ó#- l3 - l2 l3 Ą#
ó# Ą#
16
Ł# Ś#
Ł#Ś#
(3.19)
Ą# 1 5 ń#
�#ś#11
Ą# ń#
- - ql
ś#ź# - ql
ó#Ą#
ó# Ą#
32 16
�# #32
ó#Ą#Ą#-11 [kN]
ó# Ą# ń#
ó#�# 1 1 ś# Ą#ó# Ą#
3
ó#
= - - ql2 Ą# = ql2 Ą# = -6 [kNm]
ó#
ś#ź#32 ó# Ą#
ó#- Ą#
ó#�# 32 16 # Ą#ó#-21Ś# [kN]
Ą#
ó# Ą#
21
ó#Ą#Ł#
1 11
�# ś# ó# Ą#
- ql
ó# - ql
Ą#
ś# ź#ó# Ą#
32
32 16
�# #Ł# Ś#
Ł#Ś#
- 25 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Wykresy sił wewnętrznych.
Rys. 3.8 Wynikowe wykresy sił wewnętrznych
- 26 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
3.2. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych w belce
ciągłej przedstawionej na Rys. 3.9.
Dane: q = 3[kN/m] , l = 8[m] , EI = 53333 [kNm2 ] .
Rys. 3.9 Dany układ
ROZWI
ZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu.
Przyjmujemy globalny układ współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, nume-
rujemy elementy przyjmując lokalne układy współrzędnych.
Rys. 3.10 Dyskretyzacja układu
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) przemieszczeń węzłowych.
T
q = �2 ,�3 (3.20)
{ }
Dla każdego elementu o numerze (j) definiujemy wektory przemieszczeń węzłowych
D i sił przywęzłowych S , oraz tworzymy macierz sztywności K . Ponadto, wyzna-
j j j
czamy wektory Sp sił przywęzłowych od obciążeń międzywęzłowych.
j
Wektory D , S i Sp związane są zależnością
j j j
S = K �"D +Sp (3.21)
j j j j
- 27 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Uwaga!
W zadaniu podano od razu skondensowane (zob. załącznik) macierze sztywności ele-
mentów.
Element 1 .
Rys. 3.11 Element 1  siły przywęzłowe
T
D1 = v1, v2 , �2 (3.22)
{}
S1 = T12 , T21, M21 T (3.23)
{}
Ą#ń#
24 24 12
-
ó#
l3 l3 l2 Ą#
ó#Ą#
0-1
24 24 12
ó#Ą#
K1 = EI (3.24)
ó#- l3 l3 - l2 Ą#
ó#Ą#
12 12 6
ó#Ą#
-
ó#Ą#
l2 l2 l
Ł#Ś#
Rys. 3.12 Element 1  wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
T
ż#�#
9ql 9ql ql2 T
p
S1 = , - , = 13.5, -13.5, 6 [kN] (3.25)
{}
�#Ź#
16 16 32
�#�#
- 28 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Element 2 .
Rys. 3.13 Element 2  siły przywęzłowe
T
D2 = v2 , �2 , v3 , �3 (3.26)
{}
S2 = T23 , M23 , T32 , M32 T (3.27)
{}
24 12 24 12
Ą#ń#
-
ó#
l3 l2 l3 l2 Ą#
ó#Ą#
12 8 12 4
ó#Ą#
-
1-1 ó#Ą#
l2 l l2 l
K2 = EI (3.28)
ó#Ą#
24 12 24 12
ó#Ą#
- - -
ó#
l3 l2 l3 l2 Ą#
ó#Ą#
12 4 12 8
ó#Ą#
-
ó# l2 l l2 l Ą#
Ł#Ś#
Rys. 3.14 Element 2  wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
T
ż#�#
ql ql2 ql ql2 T
Sp = - , - , - , = -16, -12, 16 [kN] (3.29)
{-12,
}
�#Ź#
2
2 12 2 12
�#�#
- 29 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Element 3 .
Rys. 3.15 Element 3 - siły przywęzłowe
T
D3 = v3 , �3 , v4 (3.30)
{}
T
S3 = T34 , M34 , T43 (3.31)
{}
Ą#ń#
24 12 24
-
ó#
l3 l2 l3 Ą#
ó#Ą#
1-0
12 6 12
ó#Ą#
K3 = EI - (3.32)
ó#
l2 l l2 Ą#
ó#Ą#
24 12 24
ó#Ą#
ó#- l3 - l2 l3 Ą#
Ł#Ś#
Rys. 3.16 Element 3  wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
T
ż#�#
11ql 3ql2 5ql T
p
S3 = , - , - =
{-16.5, -18, -7.5 [kN] (3.33)
}
�#- Ź#
16 32 16
�#�#
- 30 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Poszukujemy niewiadomych przemieszczeń zestawionych w wektorze q (zob. (3.20)).
Należy zatem rozwiązać poniższe, kanoniczne równanie macierzowej metody prze-
mieszczeń.
K �"q = P (3.34)
gdzie: K  globalna macierz sztywności układu, P  wektor obciążeń węzłowych.
Macierz sztywności danego układu statycznego zapisaną w równaniu (3.34) wyznaczy-
my dokonując sumowania (agregacji) macierzy sztywności elementów układu.
k1(3,3) + k2 (2,2) k2 (2,4)
Ą#ń#
K = (3.35)
ó#
k2 (4,2) k2 (4,4) + k3(2,2)Ą#
ó#Ą#
Ł#Ś#
gdzie k (m, n) oznacza element w m -tym wierszu i n -tej kolumnie macierzy sztywno-
j
ści K .
j
8+6 4 14 4
Ą#ń# Ą# ń#
EI EI
K == [kNm] (3.36)
ó#Ą# ó#
4 8+6 4 14Ą#
ll
ó#Ą# ó# Ą#
Ł#Ś# Ł# Ś#
Wektor P z równania (3.34) wypadkowych obciążeń działających na węzły otrzymu-
jemy sumując momenty przywęzłowe działające w przekrojach przy węzłach (2) i (3)
(zob. Rys. 3.10).
T
T
p p p p
P = M2 , M3 = - M21 + M23 , - M32 + M34 =
{}
() ()
{}
T
T
(3.37)
ż#�#
(-3 + 8 ql2 + 9 ql2 �# 5ql2 ql2 T
) (-8
) ż#�#
�#
== , = 10, 2 [kNm]
,
{ }
�#Ź# �# Ź#
96 96 96 96
�#�# �#�#
�#�#
Aby rozwiązać równanie (3.34) wyznaczymy na wstępie wyznacznik macierzy sztyw-
ności.
EI
det K = 180 `" 0 (3.38)
l
W konsekwencji tego, że wyznacznik macierzy sztywności jest różny od zera
( det K `" 0 ) możemy zapisać
14
Ą# -4
ń# 5
33 11
lql2 Ą# ń# ql3 Ą# ń# Ą# ń#
q = K-1 �"P = �" = = �"10-5 [m] (3.39)
ó#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
180EI
ó#-4 14 Ą# 96 1 8640EI -3 -1
Ą# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
Ł# Ś#
- 31 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Wyznaczenie wynikowych sił przywęzłowych w elementach.
Element 1 .
p
S1 = K1 �"D1+S1 (3.40)
Ą#ń#
24 24 12 9
Ą# ń#
- ql
ó#
ó# Ą#
l3 l3 l2 Ą# 16
ó#Ą# 0
Ą# ń#
ó# Ą#
24 24 12 ql3 ó# Ą# ó# 9
ó#Ą#
Ą#
S1 = EI �" 0 + ql =
ó#- l3 l3 - l2 Ą#16
ó# Ą#
ó#- Ą#
2880EI
ó#Ą#
ó#Ś#
Ł# 11 Ą# ó# 1 Ą#
12 12 6
ó#Ą#
ó# Ą#
- ql2
ó#Ą#
ó# Ą#
l2 l2 l 32
Ł# Ś#
Ł#Ś#
132 +1620 146 14.6 [kN]
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń#
ql3 ó#Ą# ql
ó# Ą# ó# Ą#
= = = [kN]
ó#-132 -1620 Ą# ó#-146 Ą# ó#-14.6 Ą#
2880 240
ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą#
( 66 + 90 )l 131 10.4 [kNm]
Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
Element 2 .
S2 = K2 �"D2 +Sp (3.41)
2
24 12 24 12
Ą#ń#
1
Ą# ń#
-
- ql
ó#
ó# Ą#
l3 l2 l3 l2 Ą#
2
ó#Ą#
ó# Ą#
0
Ą# ń#
12 8 12 4
1
ó#Ą#
ó# Ą#
-
ql2
ó#Ą#
l2 l l2 l ql3 ó# 11 Ą# ó#- Ą#
12
ó# Ą#
S2 = EI �" + =
ó#Ą#
ó# Ą#
24 12 24 12
ó# Ą#
ó#Ą#
ó# Ą#
- - -2880EI 0 1
- ql
ó# Ą#
ó#
l3 l2 l3 l2 Ą# ó# Ą#
2
-1
Ł# Ś#
ó#Ą#
ó# Ą#
12 4 12 8
1
ó#Ą#
- ó# Ą#
ql2
ó# l2 l l2 l Ą#
Ł# 12 Ś#
Ł#Ś#
132
Ą# -12 -1440
ń# ń# Ą# ń#
Ą# -110 -11 [kN]
Ą# ó# Ą# ó# Ą#
88
ql3 ó# - 4 - 240 [kNm]
ql -131
ó#Ą# ó# Ą# ó#-10.4 Ą#
= ==
ó#-132
Ą# ó# Ą# ó# Ą#
2880 [phone] [kN]
ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą#
231 18.4 [kNm]
44 - 8 + 240
Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
- 32 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Element 3 .
p
S3 = K3 �"D3 +S3 (3.42)
Ą#ń#
24 12 24 11
Ą#ń#
-- ql
ó#
ó#
l3 l2 l3 Ą# Ą#
16
ó#Ą# 0
Ą# ń#
ó#Ą#
12 6 12 ql3 ó# Ą# ó# 3
ó#Ą#
S3 = EI - �" + - ql2 Ą# =
ó#
ó#-1 Ą#
ó#Ą#
l2 l l2 Ą# 2880EI 32
ó#Ą#
ó# Ą#
0 ó#Ą#
Ł# Ś#
24 12 24
ó#Ą#5 Ą#
ó#
- ql
ó#- l3 - l2 l3 Ą#
ó#Ą#
16
Ł#Ś#
Ł#Ś#
Ą# -12 -1980
ń# ń# Ą# ń#
Ą# -166 -16.6 [kN]
ql3 ó# ql
ó# Ą# ó# Ą#
=
ó#- (6+270)l Ą# = ó# Ą# ó# Ą#
Ą#- 231 = -18.4 [kN]
2880 240
ó# - 900
ó# -74
Ą#
12
Ł#Ą# Ą# ó# - 7.4 [kNm]
Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
Wykresy sił wewnętrznych.
Rys. 3.17 Wykresy momentów zginających i sił tnących
- 33 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
4. Macierzowa Metoda Przemieszczeń
(ortogonalna siatka pretów)  element belkowy
4.1. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć wykresy sił tnących i momentów zgina-
jących w układzie przedstawionym na Rys. 4.1. Pominąć wpływ odkształceń podłuż-
nych prętów.
Dane: q = 237 [kN/m] , l1 = 7.5 [m] , l2 = 4.5 [m] , h = 3.5 [m] , E = 1.0�"107 [kN/m2 ] .
Przekrój rygla 25�50 [cm] , przekrój słupów 25� 30 [cm] .
Obliczone momenty bezwładności: rygla Jr = 260417 [cm4 ] ,
słupów Js = 56250 [cm4 ] .
Rys. 4.1
- 34 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
ROZWI
ZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Rys. 4.2 Dyskretyzacja układu
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) przemieszczeń węzłowych.
q = �2, �3 T (4.1)
{ }
Dla każdego elementu o numerze (j) definiujemy wektory przemieszczeń węzłowych
D i sił przywęzłowych S , oraz tworzymy macierz sztywności K . Ponadto, wyzna-
j j j
czamy wektory Sp sił przywęzłowych od obciążeń międzywęzłowych.
j
Wektory D , S i Sp związane są zależnością
j j j
S = K �"D +Sp (4.2)
j j j j
Rys. 4.3 Przemieszczenia węzłów elementu oraz siły przywęzłowe
D = vi , �i , vk , �k T (4.3)
{}
j
S = Tik , Mik , Tki , Mki T (4.4)
{}
j
- 35 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Budowa macierzy sztywności K elementów wykonywana jest na podstawie cech prę-
j
tów, które zawiera Tabela 4.1 (CEPR).
Numer pręta EI L
(węzły)
[kNm2] [m]
1 (1 2) 2625 3.5
2 (2 3) 26042 7.5
3 (3 4) 2625 3.5
4 (3 5) 26042 7.5
Tabela 4.1
Oznaczenia: EI  sztywność na zginanie, L  długość pręta.
Wyznaczamy wektory sił przywęzłowych Sp od obciążeń międzywęzłowych (przęsło-
j
wych).
Uwaga!
Niezerowe wielkości w Sp występują jedynie w przypadku elementów 2 i 4 .
j
Element 2 . Wektor Sp .
2
Rys. 4.4 Element 2  wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
T
p p
Sp = T2p , M23, T3p , M32 =
{}
2 3 2
T
(4.5)
ż#�#
ql ql2 ql ql2 T
= - , - , - , =
{-888.75, -1111, -888.75, 1111
}
�#Ź#
2 12 2 12
�#�#
- 36 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Element 4 . Wektor Sp .
4
Rys. 4.5 Element 4  wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
T
p p
Sp = T3p , M35, T5p , M53 =
{}
4 5 3
T
(4.6)
ż#�#
5ql ql2 3ql T
= , - , - , 0 =
{-666.5, -600, -400, 0
}
�#- Ź#
8 8 8
�#�#
Poszukujemy niewiadomych przemieszczeń zestawionych w wektorze q (zob. (4.1)).
Należy zatem rozwiązać poniższe, kanoniczne równanie macierzowej metody prze-
mieszczeń.
K �"q = P (4.7)
gdzie: K  globalna macierz sztywności układu, P  wektor obciążeń węzłowych.
Wektor P wypadkowych obciążeń działających na węzły.
T
T T
p p p
P = M3, M5 = -M23, -()
M32 + M35 = 1111, -511 (4.8)
{} {}
{}
Wektory LM alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
j
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń q odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze D .
j
- 37 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Wektory alokacji zestawione wierszami prezentuje Tabela 4.2 (ALOK).
i
Numer pręta k
(węzły)
� �
v v
1 (1 2) 0 0 0 1
2 (2 3) 0 1 0 2
3 (3 4) 0 2 0 0
4 (3 5) 0 2 0 0
Tabela 4.2
Rozwiązując równanie (4.7) wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia.
q = K-1 �"P (4.9)
Siły przywęzłowe w elementach otrzymujemy z równania (4.2).
ALGORYTM ROZWI
ZANIA ZADANIA
Dane: tabela cech prętowych CEPR,
tabela wektorów alokacji LM ,
tabela sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych Sp (SILY),
wektor obciążeń węzłowych P .
1. Inicjacja globalnej macierzy sztywności K = O .
2. Kolejne dla j = 1, le (w pętli po elementach):
- obliczenie macierzy sztywności elementu K wg tabeli CEPR,
j
- agregacja K do K wg tabeli ALOK.
j
3. Obliczenie q = K-1 �"P .
4. Kolejne dla j = 1, le (w pętli po elementach):
- obliczenie K wg tabeli CEPR,
j
- ekstrakcja (wydzielenie) D z q wg tabeli ALOK,
j
- obliczenie sił przywęzłowych S =K �"D +Sp .
j j j j
- 38 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Wykresy sił wewnętrznych (Rys. 4.6, Rys. 4.7)
Rys. 4.6 Wykres sił tnących
Rys. 4.7 Wykres momentów zginających
- 39 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
4.2. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć wykres momentów zginających w belce
ciągłej poddanej działaniu pionowego przemieszczenia podpory
Dane: a = 2.5 [m] , � = 0.01[m] , EI = 6000 [kNm2 ] .
Rys. 4.8 Dany układ
ROZWI
ZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Rys. 4.9 Dyskretyzacja układu
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) przemieszczeń węzłowych.
T
q = �2, �3, �4 (4.10)
{}
Dla każdego elementu o numerze (j) definiujemy wektory przemieszczeń węzłowych
D i sił przywęzłowych S , oraz tworzymy macierz sztywności K .
j j j
Wektory D i S związane są zależnością
j j
S = K �"D (4.11)
j j j
Rys. 4.10 Przemieszczenia węzłów elementu oraz siły przywęzłowe
- 40 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
T
D = vi , �i , vk , �k (4.12)
{}
j
T
S = Tik , Mik , Tki , Mki (4.13)
{}
j
Budowa macierzy sztywności K elementów wykonywana jest na podstawie cech prę-
j
tów, które zawiera Tabela 4.3 (CEPR).
Numer pręta EI L
(węzły)
[kNm2] [m]
1 (1 2) 12000 10.0
2 (2 3) 4800 8.0
3 (3 4) 4800 8.0
4 (4 5) 6000 7.5
Tabela 4.3
Oznaczenia: EI  sztywność na zginanie, L  długość pręta.
Ponadto, wyznaczamy wektory S� sił przywęzłowych od obciążenia przemieszczeniem
j
podpory.
Uwaga!
Niezerowe wielkości w S� występują jedynie w przypadku elementów 1 i 2 .
j
Ze wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń (załącznik) otrzymujemy.
Element 1 .
Rys. 4.11 Element 1  deformacja i siły przywęzłowe
T
� � �
S1 = T1� , M12, T2� , M21 (4.14)
{}
2 1
- 41 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
�2 +�12 �# ś#
( ) v2 3EI�
1
�
T12 =-3� = 3� = = 0.18 [kN]
ś# ź#
ll l l3
�# #
� �
T21 =-T12 =-0.18 [kN]
�
M12 = 0
�# ś#
�
M21 = 3� �2 +�12 =-3� =- =-1.8 [kNm]
( )v2 3EI�
ś# ź#
l l2
�# #
Element 2 .
Rys. 4.12 Element 2  deformacja i siły przywęzłowe
T
� �
S� = T2� , M23, T3� , M32 (4.15)
{}
2 3 2
�2 +�3 + 2�
() 2v2 12EI�
1
�# ś#
� 23
T23 = 6� = 6� = = 1.41 [kN]
ś# ź#
ll l l3
�# #
� �
T32 =-T23 =-1.41 [kN]
3v2 6EI�
�# ś#
�
M23 = 2� 2�2 +�3 + 3� = 2� = = 5.625 [kNm]
()
23 ś# ź#
l l2
�# #
� �
M32 = M23 = 5.625 [kNm]
Poszukujemy niewiadomych przemieszczeń zestawionych w wektorze q (zob. (4.10)).
Należy zatem rozwiązać poniższe, kanoniczne równanie macierzowej metody prze-
mieszczeń.
K�"q = P (4.16)
gdzie: K  globalna macierz sztywności układu, P  wektor obciążeń węzłowych.
Wektor P z równania (4.16) wypadkowych obciążeń działających na węzły otrzymu-
jemy sumując momenty przywęzłowe działające w przekrojach przy węzłach (2) i (3)
(zob. Rys. 4.11 i Rys. 4.12).
- 42 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
T
T
� � �
P = M2, M3, M4 T = -()
M21 + M23 , - M32, 0 =
{} {-3.825, - 5.625, 0 (4.17)
}
{}
Wektory LM alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
j
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń q odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze D .
j
Wektory alokacji zestawione wierszami prezentuje Tabela 4.4 (ALOK).
i k
Numer pręta
� �
v v
(węzły)
1 (1 2) 0 0 0 1
2 (2 3) 0 1 0 2
3 (3 4) 0 2 0 3
4 (4 5) 0 3 0 0
Tabela 4.4
Rozwiązując równanie (4.16) wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia.
q = K-1 �"P (4.18)
Siły przywęzłowe w prętach wyznaczamy z zależności (4.11).
ALGORYTM ROZWI
ZANIA ZADANIA
Algorytm jest podobny do algorytmu z poprzedniego przykładu. W tym przypadku
jednak, nie musimy w ostatnim kroku algorytmu (obliczenie sił przywęzłowych) doda-
wać wektorów sił przywęzłowych od obciążeń międzywęzłowych, gdyż siły te są zero-
we.
Wykresy momentów prezentuje Rys. 4.13.
Rys. 4.13 Wykres momentów zginających
- 43 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
4.3. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć wykresy sił tnących i momentów zgina-
jących w układzie pokazanym na Rys. 4.14, pominąć wpływ odkształceń podłużnych
prętów.
Dane: P = 10 [kN] , l = 6[m] , EI = 36�"103 [kNm2 ] .
Rys. 4.14 Dany układ
ROZWI
ZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Rys. 4.15 Dyskretyzacja układu
- 44 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) uogólnionych przemieszczeń węzłowych
Ze względu na przyjęte założenie o pominięciu wpływu sił normalnych, przyjmujemy,
że przemieszczenia poziome węzłów 2 i 4 są sobie równe u2 = u4 = u .
q = u, �2, �4 T (4.19)
{}
Dla każdego elementu o numerze (j) definiujemy wektory przemieszczeń węzłowych
D i sił przywęzłowych S , oraz tworzymy macierz sztywności K .
j j j
Wektory D i S związane są zależnością
j j
S = K �"D (4.20)
j j j
Rys. 4.16 Przemieszczenia węzłów elementu oraz siły przywęzłowe
D = vi , �i , vk , �k T (4.21)
{}
j
T
1 2 3 4
S = Tik , Mik , Tki , Mki
j
{ }
(4.22)
Uwaga!
W tym przypadku w implementacji numerycznej będziemy stosowali procedurę generu-
jącą macierz sztywności elementu ramowego Ke(6�6) uwzględniającą wpływ sił normal-
nych, dowolnie zorientowanego na płaszczyz
nie.
Pociąga to za sobą konieczność rozszerzenia tablic CEPR i ALOK o (porównaj z wcze-
śniejszymi przykładami.
Budowa macierzy sztywności K elementów wykonywana jest na podstawie cech prę-
j
tów, które zawiera Tabela 4.5 (CEPR).
- 45 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Numer Przyjęto
EI L
pręta KH EA
(węzły)
[kN] [kNm2] [m]
1 (1 2) 01 1.0e+8 36000 6.0
2 (2 3) 11 1.0e+8 36000 6.0
3 (2 4) 11 1.0e+8 36000 6.0
4 (5 4) 11 1.0e+8 36000 6.0
Tabela 4.5
Oznaczenia: KH  symbol połączenia pręta z węzłami (1-utwierdzenie, 0-przegub),
EA  sztywność podłużna pręta, EI  sztywność na zginanie, L  długość pręta.
Poszukujemy niewiadomych przemieszczeń zestawionych w wektorze q (zob. (4.19)).
Należy rozwiązać poniższe, kanoniczne równanie macierzowej metody przemieszczeń.
K�"q = P (4.23)
gdzie: K  globalna macierz sztywności układu, P  wektor obciążeń węzłowych.
Wektor P wypadkowych obciążeń działających na węzły.
TT
P = P, 0, 0 = 10, 0, 0, (4.24)
{} { }
Wektory LM alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
j
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń q odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze D .
j
Wektory alokacji zestawione wierszami prezentuje Tabela 4.6 (ALOK).
i
k
Numer pręta
(węzły)
� �
u v u v
1 (1 2) 0 0 0 0 1 2
2 (2 3) 0 1 2 0 0 0
3 (2 4) 0 0 2 0 0 3
4 (5 4) 0 0 0 0 1 3
Tabela 4.6
- 46 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
ALGORYTM ROZWI
ZANIA ZADANIA:
Algorytm jest podobny do algorytmu z poprzednich przykładów. W tym przypadku
występują jedynie obciążenia w węzłach, zatem nie musimy w ostatnim kroku algoryt-
mu (obliczenie sił przywęzłowych) dodawać wektorów sił przywęzłowych od obciążeń
międzywęzłowych, gdyż siły te są zerowe.
Wykresy sił wewnętrznych momentów zginających Rys. 4.17 i sił tnących Rys. 4.18.
Rys. 4.17 Wykres momentów zginających
Rys. 4.18 Wykres sił tnących
- 47 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
5. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
 element ramowy
5.1. Przykład
Bezpośrednią Metoda Przemieszczeń (BMP) wyznaczyć przemieszczenia i siły we-
wnętrzne w danym układzie ramowym z podporą sprężystą.
Dane: q = 1[kN/m] , P = 1[kN] , l = 3[m] , EI = 21108 [kNm2 ].
. �"
Pręty o przekroju rurowym: pręty o numerach 1, 2, 4, 5, 6
 A1 = 68.6 [cm2 ] , J1 = 2853 [cm4 ] ( EA1 = 1440600 [kN] , EJ1 = 6000 [kNm2 ] ),
pręt numer 3
 A2 = 118 [cm2 ] , J2 = 5760 [cm4 ] , ( EA2 = 2 478000 [kN] , EJ2 = 12000 [kNm2 ]).
Stała sprężystości podpory ks = 1000 [kN/m] .
Rys. 5.1 Dany układ
Uwaga!
Uwzględnić wpływ odkształceń podłużnych prętów.
W każdym węz
le mogą wystąpić trzy (niezależne) przemieszczenia: ui , vi ,�i .
- 48 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
ROZWI
ZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Rys. 5.2 Dyskretyzacja układu
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) uogólnionych przemieszczeń węzło-
wych, poniżej składowych wektora podano porządkujące je kolejne numery.
T
q = u2 , v2 , �2 , u3 , v3 , �3 , u4 , v4 , �4 , u5 , v5 , �5 (5.1)
{ }
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Rys. 5.3 Przemieszczenia węzłów elementu oraz siły przywęzłowe
Dla każdego elementu o numerze j łączącego węzły i i k możemy zapisać, w lokal-
nym układzie współrzędnych xj , yj , zj , odpowiadające sobie wektory lokalnych prze-
mieszczeń przywęzłowych D i lokalnych sił przywęzłowych S .
j j
- 49 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
T
D = ui , vi , �i , uk , vk , �k (5.2)
j
{ }
1 2 3 4 5 6
S = Nik , Tik , Mik , Nki , Tki , Mki T (5.3)
j {}
Wektory te w lokalnym układzie współrzędnych związane są zależnością
d p p
S = S + S = K �"D + S (5.4)
j j j j j j
d p
gdzie: S jest wektorem sił przywęzłowych spowodowanych deformacją D , zaś S
j j j
wektorem wyjściowych sił przywęzłowych.
Zapisanie równań kanonicznych metody (bezpośrednio poprzez równania węzłów czy z
zasady pracy wirtualnej) wymaga transformacji wektorów S i D do układu globalne-
j
j
go x, y, z .
Macierz transformacji C dla pręta j ma postać
j
Ą# ń# x

Ą#C j O ń#xj Ą# ń#
ó#
ó#

ó# Ą#
C = , yj Ą# = C �" yĄ# (5.5)
j
j
ó# Ą#
ó# Ą#

ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#O C j Ś# ó# Ą#
zj Ł# z
Ś#
Ł# Ś#
Ą#ń#
cosąj sinąj 0
ó#Ą#

gdzie: C = - sinąj cosąj 0
j
ó#Ą#
ó#Ą#
001
Ł#Ś#
jest ortogonalną macierzą obrotu transformującą globalny układ współrzędnych w lo-
kalny, przy czym C-1 = CT , O(3�3) jest macierzą zerową, zaś ą kątem obrotu pomię-
j
dzy osiami x i xj .
Mnożąc lewostronnie (5.4) przez CT i podstawiając
D = C �"D (5.6)
j
j j
Otrzymamy zależność (5.4) w układzie globalnym
p
CT �"S = CT �"K �" C �"D + CT �"S ,
j jj
( )
jj j j j
S = K �"D + Sp , (5.7)
j j j j
S = Sd + Sp
j j j
- 50 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Wektor przemieszczeń przywęzłowych układu D i odpowiadający mu wektor sił przy-
węzłowych S i Sp utworzone są z wektorów D , S i Sp (zapisanych w układzie
j j j
globalnym).
T
T T T
D = D1 , DT , D3 , DT , D5 , DT (5.8)
{}
2 4 6
T
T T T
S = S1 , ST , S3 , ST , S5 , ST (5.9)
{}
2 4 6
T
p p p p
Sp = S1T , SpT , S3T , SpT , S5T , S6T (5.10)
{}
2 4
Kanoniczne równanie macierzowej metody przemieszczeń ma postać
K �"q = P (5.11)
gdzie: K  globalna macierz sztywności układu, P  wektor obciążeń węzłowych.
W komputerowej implementacji Bezpośredniej Metody Przemieszczeń wyznaczenie
wektora obciążeń węzłowych P odbywa się automatycznie (sumowanie polegające na
agregacji i dodawaniu) zgodnie z poniższym wzorem
P = R - Rp (5.12)
gdzie: R  wektor wypadkowy obciążeń węzłowych, Rp  wektor wypadkowy z ob-
ciążeń międzywęzłowych wyznaczany poprzez agregację wektorów sił przywęzłowych
Sp od obciążeń międzywęzłowych, agregacja przebiega analogicznie jak agregacja
j
globalnej macierzy sztywności.
Obliczenie obciążeń węzłowych.
Wektor P wypadkowych obciążeń działających na węzły otrzymujemy sumując bez-
pośrednie obciążenia w węzłach z obciążeniami węzłów pochodzącymi od sił przywę-
złowych.
Sumowane siły przywęzłowe od obciążeń międzywęzłowych Sp zapisane są w ukła-
j
dzie globalnym x, y, z w odróżnieniu od obliczonych uprzednio sił w układzie lokal-
nym xj , yj , zj zestawionych w wektorach Sp .
j
Składowe wektora P muszą być zgodne z przyjętym wektorem niewiadomych q tak,
aby iloczyn Lz = qT �"P przedstawiał całkowitą pracę sił zewnętrznych działających na
układ.
- 51 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
C1 C2
Numer pręta EA EI L
KH
(węzły)
[kN] [kNm2] [m] [-] [-]
1 (1 2) 11 1440600 6000 3.0 1.0 0.0
2 (2 3) 11 1440600 12000 3.0 0.0 1.0
3 (2 4) 11 2478000 6000 5.0 0.8 0.6
4 (3 5) 10 1440600 6000 5.0 0.8 0.6
5 (4 5) 11 1440600 6000 3.0 0.0 1.0
6 (5 6) 11 1440600 6000 3.0 0.0 1.0
Tabela 5.1
Budowa macierzy sztywności K elementów i transformacja do układu globalnego
j
wykonana jest na podstawie cech prętów, które zawiera Tabela 5.1 (CEPR).
Oznaczenia: KH  symbol połączenia pręta z węzłami (1  utwierdzenie, 0 
przegub), EA  sztywność podłużna pręta, EI  sztywność na zginanie, L  długość
pręta, C1 = cosą , C2 = siną .
j j
Wyznaczenie wektorów Sp .
j
Niezerowe wielkości występują jedynie w przypadku elementów 1 i 3.
p
Element 1 . Wektor S1 .
Rys. 5.4 Element 1  wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
p p
N12 = N21 = 0 [kN],
3
p p
T12 = T21 = -1�" = -1.5 [kN], (5.13)
2
32
p p
-M12 = M21 = 1�" = 0.75 [kNm]
12
- 52 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
p
Element 3 . Wektor S3 .
Rys. 5.5 Element 3  rzutowanie i rozkład danego obciążenia
celem wyznaczenia wyjściowych siły przywęzłowych od obciążenia międzywęzłowego
5
p p
N24 = N42 = -048�" = -12 [kN],
. .
2
5
p p
T24 = T42 = -064�" = -16 [kN], (5.14)
. .
2
52 16
p p
-M24 = M42 = 0.64�" = = 1.33333 [kNm]
12 12
Wektory sił przywęzłowych Sp od obciążeń międzywęzłowych (przęsłowych) zawiera
j
Tabela 5.2 niezerowych sił wyjściowych (SILY).
i
k
Numer pręta
p p p p p p
(węzły)
Nik Tik Mik Nki Tki Mki
1 (1 2) 0 -1.5 -0.75 0 -1.5 0.75
3 (2 4) -1.2 -1.6 -1.333 -1.2 -1.6 1.333
Tabela 5.2
Uwaga!
W przykładzie pominięto agregację wektorów Sp sił międzywęzłowych do wektora P .
j
- 53 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
W celu lepszego prześledzenia poszczególnych etapów tworzenia wektora P , przepro-
wadzimy je (w dalszej części)  ręcznie . Poniżej (zob. Rys. 5.6) pokazano graficzną
interpretację sumowania wpływu obciążeń (węzłowych i międzywęzłowych).
Rys. 5.6 Graficzna interpretacja sumowania wpływu obciążeń (węzłowych i międzywęzłowych)
p
T24
Py 2 =-T2p - + 2P = 1.5 + 2 + 2 = 5.5 [kN]
1
cosą3
p p
M2 =-M21 - M24 =-0.75 +1.333 = 0.583 [kNm]
Px3 = P = 1 [kN]
Py3 = P = 1 [kN]
p
T42
Py4 =- = 2 [kN]
cosą3
p
M4 =-M42 =-1333 [kNm]
.
T
P = Px2 , Py2 , ś2 , Px3 , Py3 , ś3 , Px4 , Py4 , ś4 , Px5 , Py5 , ś5 =
{}
(5.15)
T
= 0, 5.5, 0.583, 1, 1, 0, 0, 2, -1.333, 0, 0, 0
{}
- 54 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Wektory LM alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
j
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń q odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze D .
j
Wektory alokacji zestawione wierszami prezentuje Tabela 5.3 (ALOK).
.
i
k
Numer pręta
(węzły)
� �
u v u v
1 (1 2) 0 0 0 1 2 3
2 (2 3) 1 2 3 4 5 6
3 (2 4) 1 2 3 7 8 9
4 (3 5) 4 5 6 10 11 0
5 (4 5) 7 8 9 10 11 12
6 (5 6) 10 11 12 0 0 0
Tabela 5.3
Po uzupełnieniu (agregacja) macierzy K o sztywność podpory sprężystej
k(4,4) �! k(4,4) + ks (5.16)
rozwiązując równanie (5.11) wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia:
q = K-1 �"P (5.17)
Wyznaczenie sił przywęzłowych w elementach przebiega wg równania (5.4).
ALGORYTM ROZWI
ZANIA ZADANIA
Dane: tabela cech prętowych CEPR,
tabela wektorów alokacji LM (ALOK),
tabela sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych SP (SILY),
sumaryczny wektor obciążeń węzłowych P .
- 55 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
1. Inicjacja globalnej macierzy sztywności K = O .
2. Kolejne dla j = 1, le (w pętli po elementach), le = 6 :
- obliczenie macierzy sztywności elementu K wg tabeli CEPR,
j
- agregacja K do K wg tabeli ALOK.
j
3. Uwzględnienie podpór sprężystych
- k(n,n) �! k(n,n) + ks ( n - numer stopnia odpowiadającego ks )
4. Obliczenie q = K-1 �"P .
5. Kolejne dla j = 1, le (w pętli po elementach), le = 6 :
- obliczenie K wg tabeli CEPR (bez C1 i C2 ),
j
- ekstrakcja (wydzielenie) D z q wg tabeli ALOK,
j
- transformacja przemieszczeń do układu lokalnego D = C �"D
j j j
wg cosą i siną z tabeli CEPR
j j
- obliczenie sił przywęzłowych S = K �"D + Sp .
j j j j
Wykresy sił wewnętrznych zamieszczono na Rys. 5.7, Rys. 5.8 i Rys. 5.9.
Rys. 5.7 Wykres sił normalnych
- 56 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Rys. 5.8 Wykres sił tnących
Rys. 5.9 Wykres momentów zginających
- 57 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
6. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
 element rusztowy
6.1. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć przemieszczenia i siły wewnętrzne w
układzie obciążonym prostopadle do swojej płaszczyzny.
2
Dane: q = 1[kN/m] , P1 = P2 = 2[kN] , M = 0.5 [kNm] , l = 1[m] , EI = 2�"104 [kNm] ,
GIs = 104 [kNm2 ] .
Rys. 6.1 Dany układ
ROZWI
ZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Uwaga!
W każdym węz
le mogą wystąpić trzy przemieszczenia w,�xi �yi .
i
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) uogólnionych przemieszczeń węzłowych
T
ż#�#
q = , �x2 , �y2 , w3 , �x3 , �y3 , �x4 , �y4 , �y5 Ź# (6.1)
�#w
2
1
24 5 7
36 9
8 �#
�#
- 58 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Rys. 6.2 Dyskretyzacja układu
Dla każdego elementu definiujemy wektory przemieszczeń D i sił S , oraz tworzymy
j j
macierz sztywności K . Ponadto wyznaczamy wektory Sp sił przywęzłowych od ob-
j j
ciążeń międzywęzłowych (przęsłowych).
T
ż#�#
D = w, �xi , �yi , wk , �xk , �yk Ź# (6.2)
�#
j i
1
24 5
36 �#
�#
T
S = Tik , M , M , Tki , M , M (6.3)
{}
j xik yik xki yki
Wektory D , S i Sp są związane zależnością
j j j
S = K �"D + Sp (6.4)
j j j j
Rys. 6.3 Przemieszczenia węzłów elementu oraz siły przywęzłowe
- 59 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Zapisanie równań kanonicznych metody wymaga transformacji wektorów S i D do
j j
układu globalnego x, y, z .
Budowa macierzy sztywności K elementów i transformacja do układu globalnego
j
wykonywana jest na podstawie cech prętów, które zawiera Tabela 6.1 (CEPR).
Numer
C1 C2
GIs EI L
pręta KH
[kNm2] [kNm2] [m] [-] [-]
(węzły)
1 (1 2) 11 10000 20000 3.0 1.0 0.0
2 (2 3) 11 10000 20000 4.0 1.0 0.0
3 (2 4) 11 10000 20000 5.0 0.0 -1.0
4 (3 5) 11 10000 20000 5.0 0.0 -1.0
Tabela 6.1
Oznaczenia: KH  symbol połączenia pręta z węzłami (1  utwierdzenie, 0  prze-
gub)
GIs  sztywność skrętna pręta, EI  sztywność na zginanie, L  długość pręta,
C1 = cosą , C2 = siną
j j
Wyznaczenie wektorów Sp .
j
p
Element 1 . Wektor S1 .
Rys. 6.4 Element 1 - wyznaczenie sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego
3
p p
T12 = T21 = -1�" = -1.5 [kN]
2
p p
M = M = 0 (6.5)
x12 x21
32
p p
-M = M = 1�" = 0.75 [kNm]
y12 y21
12
- 60 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Element 2 . Wektor Sp .
2
Rys. 6.5 Element 2 - wyznaczenie sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego
4
p p
T23 = T32 = -1�" = -2.0 [kN]
2
p p
M = M = 0 (6.6)
x23 x32
42
p p
-M = M = 1�" = 1.333 [kNm]
y23 y32
12
Element 4 . Wektor Sp .
4
Rys. 6.6 Element 4 - wyznaczenie sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego
1
p
T35 =- �" 2�" 3�"04 - 043 =-1136 [kN]
. . .
()
2
1
p
T53 =- �" 2�" 2 - 3�"0.4 + 043 =-0864 [kN]
. .
()
2
p p
M = M = 0 (6.7)
x35 x53
1
p
M =- �" 2�"5�" 04 - 043 =-168 [kNm]
. . .
()
y35
2
p
M = 0
y53
- 61 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Wektory sił przywęzłowych Sp od obciążeń międzywęzłowych (przęsłowych) zawiera
j
Tabela 6.2 niezerowych sił wyjściowych (SILY).
i
k
Numer pręta
p p p p
p p
(węzły)
M M M M
Tik x ik y ik Tik x ki y ki
1 (1 2) -1.5 0 -0.75 -1.5 0 0.75
2 (2 3) -2.0 0 -1.333 -2.0 0 1.333
4 (3 5) -1.136 0 -1.68 -0.864 0 0
Tabela 6.2
Obliczenie obciążeń węzłowych.
Wektor P wypadkowych obciążeń działających na węzły
T
P = Pz2 , M , M , Pz3 , M , M , M , M , M (6.8)
{}
x2 y2 x3 y3 x4 y4 y5
otrzymujemy sumując bezpośrednie obciążenia węzłów z obciążeniami węzłów pocho-
dzącymi od sił przywęzłowych od obciążeń międzywęzłowych.
P = R - Rp (6.9)
gdzie: R  wektor wypadkowy obciążeń węzłowych, Rp  wektor wypadkowy z ob-
ciążeń międzywęzłowych.
T
R = 2, 0, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0, 0, (6.10)
{}
Agregacja Rp z wektorów Sp (wektory Sp po transformacji do układu globalnego)
j j
p
le
Rp = Sp, Sp = CT �"S j (6.11)
" j j j
j =1
T
Rp = -35, 0, 0583, -3136, 168, -1333, 0, 0, 0, (6.12)
. . . . .
{}
T
P = 5.5, 0, -0.583, 3.136, -1.68, 1.833, 0, 0, 0, (6.13)
{}
Kanoniczne równanie macierzowej metody przemieszczeń.
K �"q = P (6.14)
gdzie: K  globalna macierz sztywności układu, P  wektor obciążeń węzłowych.
- 62 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Wektory LM alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
j
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń q odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze D . Wektory alokacji prezentuje Tabela 6.3 (ALLO).
j
i
k
Numer pręta
(węzły)
w �x �y w �x �y
1 (1 2) 0 0 0 1 2 3
2 (2 3) 1 2 3 4 5 6
3 (2 4) 1 2 3 0 7 8
4 (3 5) 4 5 6 0 9 0
Tabela 6.3
Rozwiązując równanie (6.14) wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia
q = K-1 �"P (6.15)
Siły przywęzłowe w elementach wyznaczamy z zależności (6.4).
ALGORYTM ROZWI
ZANIA ZADANIA
Dane: tabela cech prętowych CEPR,
tabela alokacji ALLO,
tabela sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych Sp (SILY),
wektor obciążeń węzłowych P .
1. Inicjacja globalnej macierzy sztywności K = O .
2. Kolejne dla j = 1, le (w pętli po elementach), le = 4 :
- obliczenie macierzy sztywności elementu K wg tabeli CEPR,
j
- agregacja K do K wg tabeli ALLO.
j
3. Obliczenie q = K-1 �"P
4. Kolejne dla j = 1, le (w pętli po elementach), le = 4 :
- obliczenie K wg tabeli CEPR (bez C1 i C2 ),
j
- wydzielenie D z q wg tabeli ALLO,
j
- transformacja przemieszczeń do układu lokalnego Dj = C �"D
j j
wg cosą i siną z tabeli CEPR
j j
- obliczenie sił przywęzłowych S = K �"D + Sp .
j j j j
- 63 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Wykresy sił wewnętrznych Rys. 6.7
Rys. 6.7 Wykres momentów skręcających
Rys. 6.8 Wykres momentów zginających
Rys. 6.9 Wykres sił tnących
- 64 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
7. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
 element kratowy
7.1. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć siły w prętach kratownicy.
Dane: P = 44.5 [kN] , h = 0.762 [m] , l = 1.016 [m] , E = 68975138 [kN/m2 ] .
Przekroje prętów:
pręty pionowe A1 = 1.6129�10-4 [m2 ] , ( EA1 = 11125 [kN] );
pozostałe pręty A2 = 1.2903�10-4 [m2 ] , ( EA2 = 8900 [kN] ).
Rys. 7.1
ROZWI
ZANIE
Dyskretyzacja układu.
Uwaga!
W każdym węz
le mogą wystąpić dwa przemieszczenia ui , vi .
Przyjęcie wektora przemieszczeń uogólnionych.
q = u3, v3, u4, v4, u5, v5, u6, v6 T (7.1)
{}
- 65 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Rys. 7.2
Element o numerze j łączy węzły i i k , w lokalnym układzie współrzędnych
xj , y , z .
j j
Rys. 7.3
T
D = ui , uk (7.2)
{ }
j
T
S = Nik , Nki (7.3)
{}
j
Wektory te w układzie lokalnym związane są zależnością:
S = K �"D (7.4)
j j j
Zapisanie równań kanonicznych metody wymaga transformacji wektorów S i D do
j j
układu globalnego x, y, z .
Budowa macierzy sztywności K elementów i transformacja do układu globalnego
j
wykonywana jest na podstawie cech prętów, które zawiera Tabela 7.1 (CEPR).
- 66 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
C1 C2
Numer pręta EA L
(węzły)
[kN] [m] [-] [-]
1 (1 3) 11125 0.762 0.0 1.0
2 (1 4) 8900 1.270 0.8 0.6
3 (2 3) 8900 1.270 -0.8 0.6
4 (2 4) 11125 0.762 0.0 1.0
5 (3 4) 8900 1.016 1.0 0.0
6 (3 5) 11125 0.762 0.0 1.0
7 (3 6) 8900 1.270 0.8 0.6
8 (4 5) 8900 1.270 -0.8 0.6
9 (4 6) 11125 0.762 0.0 1.0
10(5 6) 8900 1.016 1.0 0.0
Tabela 7.1
Oznaczenia:
EA  sztywność podłużna pręta, L  długość pręta, C1 = cosą , C2 = siną
j j
Wektor przemieszczeń przywęzłowych układu D i odpowiadający mu wektor sił przy-
węzłowych S utworzone są z wektorów D i S (zapisanych w układzie globalnym).
j j
T
T T T T T T
D = D1 , DT , D3 , DT , D5 , DT , DT , D8 , D9 , D10
{}
2 4 6 7
(7.5)
T
T T T T T T
S = S1 , ST , S3 , ST , S5 , ST , ST , S8 , S9 , S10
{}
2 4 6 7
(7.6)
Obciążenia węzłowe.
Wektor P wypadkowych obciążeń działających na węzły.
T
P = Px3, Py3, Px4, Py4, Px5, Py5, Px6, Py6 =
{}
(7.7)
T
= 0, 0, 0, 0, 0, 0, 44.5, 0
{}
- 67 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Kanoniczne równanie macierzowej metody przemieszczeń.
K �"q = P (7.8)
gdzie: K  globalna macierz sztywności układu, P  wektor obciążeń węzłowych.
Wektory LM alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
j
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń q odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze D (przy ustalaniu wektorów alokacji zakłada się zgod-
j
ność orientacji lokalnego i globalnego układu współrzędnych).
Wektory alokacji zestawione wierszami prezentuje Tabela 7.2 (ALOK).
i
Numer pręta k
(węzły)
u v u v
1 (1 3) 0 0 1 2
2 (1 4) 0 0 3 4
3 (2 3) 0 0 1 2
4 (2 4) 0 0 3 4
5 (3 4) 1 2 3 4
6 (3 5) 1 2 5 6
7 (3 6) 1 2 7 8
8 (4 5) 3 4 5 6
9 (4 6) 3 4 7 8
10(5 6) 5 6 7 8
Tabela 7.2
Rozwiązując równanie (7.8) wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia.
q = K-1 �"P (7.9)
Siły przywęzłowe w elementach otrzymujemy z równania (7.4).
- 68 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
ALGORYTM ROZWI
ZANIA ZADANIA
Dane: tabela cech prętowych CEPR,
tabela alokacji ALOK,
wektor obciążeń węzłowych P .
1. Inicjacja globalnej macierzy sztywności K = O .
2. Kolejne dla j = 1, le (w pętli po elementach), le = 10 :
- obliczenie macierzy sztywności elementu K wg tabeli CEPR,
j
- agregacja K do K wg tabeli ALOK.
j
3. Obliczenie q = K-1 �"P .
4. Kolejne dla j = 1, le (w pętli po elementach) le = 10 :
- obliczenie K wg EA i L z tabeli CEPR,
j
- wydzielenie D z q wg tabeli ALOK,
j
- transformacja przemieszczeń do układu lokalnego Dj = C �"D
j j
wg cosą i siną z tabeli CEPR,
j j
- obliczenie sił przywęzłowych (normalnych) S = Kj �"D .
j j
Obliczone siły wewnętrzne (normalne) w prętach
N1 = 50.53 [kN]
N2 = 27.03 [kN]
N3 = -28.59 [kN]
N4 = -49.60 [kN]
N5 = -2.85 [kN]
N6 = 14.08 [kN]
N7 = 32.16 [kN]
N8 = -23.47 [kN]
N9 = -19.29 [kN]
N10 = 18.77 [kN]
- 69 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8. Załączniki
8.1. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń
 pręt obustronnie utwierdzony
Rys. 8.1 Pręt obustronnie utwierdzony
dodatnie zwroty przemieszczeń węzłów oraz sił przywęzłowych
Mik = 2� �" 2�i +�k + 3�ik (8.1)
()
Mki = 2� �" �i + 2�k + 3�ik (8.2)
()
Mik + Mki
() 6�
Tik == �i + �k + 2�ik (8.3)
()
ll
Mik + Mki
() 6�
Tki =- =- ()
�i +�k + 2�ik (8.4)
ll
gdzie:
EI
� =
l
vi - vk
�ik =
l
- 70 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.2. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń
 pręt jednostronnie utwierdzony
Rys. 8.2 Pręt jednostronnie utwierdzony
dodatnie zwroty przemieszczeń węzłów oraz sił przywęzłowych
Mik = 3� �" �i +�ik (8.5)
( )
Mik 3�
Tik = = �i +�ik (8.6)
( )
l l
Mik 3�
Tki =- =- ( )
�i +�ik (8.7)
l l
gdzie:
EI
� =
l
vi - vk
�ik =
l
- 71 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.3. Wyjściowe siły przywęzłowe  pręt obustronnie utwierdzony
p p p p
Wyjściowe momenty ( ś , ś ) oraz wyjściowe siły tnące (ńik , ń ) w belce obustronnie całkowicie zamocowanej przy danym
ik ki ki
obciążeniu zewnętrznym wyznaczamy np. metodą sił. Siły wyjściowe od różnych obciążeń podane zawiera Tabela 8.1 .
Rys.8.3
Oznaczenia wielkości użytych we wzorach.
x x ' a b c
� = , � ' = , ą = , � = , ł =
ll lll
Poniżej Tabela 8.1
- 72 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
p p p p
Nr ńik ś Obciążenie ś ń
ik ki ki
2
-P� '2 3 - 2� ' -P� 2 3 - 2�
1 ( ) -Pl�� '2 Pl� � ' ( )
M M
M� ' 2 - 3� ' M� 2 - 3�
2 6 �� ' ( ) ( ) -6 �� '
l l
1 1 1 1
3 - ql - ql2 ql2 - ql
2 12 12 2
1
Ą# ń#
1 1 ql2ł�"Ł#12ą2�+ł2 1-3ą)Ś# - 1
(
4 qlłĄ#-12�+ �" 12ą�-3ł2 Ś# - ql2ł�"Ł#12ą�2 +ł2 1-3� ń# qlł�"Ą#12ą+ �" 12ą�-3ł2 Ś#
(ą-�
) ( )Ś# 12 (ą-�
)
( )ń# 12 Ą# ( )ń#
Ł# Ł#
12 12
- 73 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
p p p p
Nr ńik ś Obciążenie ś ń
ik ki ki
1 1 1 1
5 - ql - ql2 ql2 - ql
3 15 15 3
1 1 1 1
6 - ql - ql2 ql2 - ql
6 60 60 6
1 1 1 1
7 - qlł�" 10-15ł2 +8ł3 - ql2ł2 �" 20-30ł+12ł2 ql2ł3 15-12ł - qlł3 �" 15 - 8ł
() () ( ) ( )
20 60 60 20
EI EI
8 0 - ąt "t ąt "t 0
h h
- 74 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
p p p p
Nr ńik ś Obciążenie ś ń
ik ki ki
EI EI EI EI
9 6 Ći + Ćk 2 2Ći + Ćk 2 Ći + 2Ćk
( ) ( ) ( ) -6 Ći + Ćk
( )
l2 l l l2
EI EI EI EI
10 -12 vk - vi -6 vk - vi 12 vk - vi
( ) -6 vk - vi
( ) ( ) ( )
l3 l2 l2 l3
EI EI EI EI
11 12 "v 6 "v 6 "v -12 "v
l3 l2 l2 l3
3 4EI
�# 2EI
� -1ś# "�
2�
12 ( -1 "� 3� 1- 2� "�
)6EI ( -1 "�
) ( )6EI
ś# ź#
2 l
l2 l l2
�# #
- 75 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.4. Wyjściowe siły przywęzłowe  pręt jednostronnie utwierdzony
p p p
Wyjściowe momenty ( ś ) oraz wyjściowe siły tnące (ńik , ń ) w belce jednostronnie całkowicie zamocowanej przy danym obcią-
ik ki
żeniu zewnętrznym wyznaczamy np. metodą sił. Siły wyjściowe od różnych obciążeń podane zawiera Tabela 8.2 .
Rys.8.4
Oznaczenia wielkości użytych we wzorach.
x x ' a b c
� = , � ' = , ą = , � = , ł =
ll lll
Poniżej Tabela 8.2
- 76 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
p p p
Nr ńik ś Obciążenie ń
ik ki
1 1 1
3 3 3
1 - P 2 - 3� +� Pl � - � - P 3� - �
() ( ) ( )
2 2 2
9 M 1 9 M
2 M -
8 l 8 8 l
3 1 5
3 - ql ql2 - ql
8 8 8
1 1 1
Ą#ń# ń# Ą#
4 - qlłŁ#8�-4ą� +ął2Ś# ql2ąłŁ#4� - qląłŁ#8+4� ń#
(ą+1 Ą#
) (ą+1
)-ł2Ś#
(ą+1
)-ł2Ś#
8 8 8
- 77 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
p p p
Nr ńik ś Obciążenie ń
ik ki
7 1 13
5 - ql ql2 - ql
30 10 30
17 1 23
6 - ql ql2 - ql
120 40 120
1 1 1
7 - qlł�" 5-5ł+ł3 ql2ł2 �" 10-6ł2 - qlł2 �" 5-ł2
( ) ( ) ( )
10 60 10
3EI
3EI 3EI
ąt "t
8 ąt "t - ąt "t
2h
2hl 2hl
- 78 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
p p p
Nr ńik ś Obciążenie ń
ik ki
EI EI EI
9 3 Ćk 3 Ćk -3 Ćk
l2 l l2
EI EI EI
10 -3 vk - vi 3 vk - vi
( ) -3 vk - vi
( ) ( )
l3 l2 l3
- 79 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.5. Macierz sztywności płaskiego elementu kratowego K2�2
Rys. 8.5 Płaski element kratowy
EA EA
Ą#ń#
-
ó#Ą#
l l
ó#Ą#
Ke = (8.8)
EA EA
ó#Ą#
ó#- l l Ą#
Ł#Ś#
Macierz odniesiona jest do wektora
qe = ui , uk T (8.9)
{ }
- 80 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.6. Macierz sztywności płaskiego elementu skręcanego K2�2
Rys. 8.6 Płaski element skręcany
GIs GIs
Ą#ń#
-
ó#Ą#
l l
ó#Ą#
Ke = (8.10)
GIs GIs Ą#
ó#
ó#- l l Ą#
Ł#Ś#
Macierz odniesiona jest do wektora
qe = ui , uk T (8.11)
{ }
- 81 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.7. Macierz sztywności płaskiego (zginanego) elementu belkowego K4�4
- z pominięciem sił normalnych
Rys. 8.7 Płaski element belkowy
Ą#ń#
12 6l -12 6l
ó#Ą#
6l 4l2 - 6l 2l2 Ą#
EI
ó#
Ke = (8.12)
Ą#
l3 ó# -12 -6l 12 -6l
ó#Ą#
6l 2l2 -6l 4l2 Ą#
ó#Ś#
Ł#
Macierz odniesiona jest do wektora
qe = vi , �i , vk , �k T (8.13)
{}
- 82 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.8. Macierz sztywności płaskiego (zginanego) elementu ramowego K6�6
- z uwzględnieniem sił normalnych
Rys. 8.8 Płaski element ramowy
EA EA
Ą#ń#
00 - 00
ó#Ą#
ll
ó#Ą#
12EI 6EI 12EI 6EI
ó#Ą#
00 -
ó#
l3 l2 l3 l2 Ą#
ó#Ą#
6EI 4 6EI 2
ó#Ą#
00 -
ó#Ą#
l2 ll
l2
K6�6 = (8.14)
ó#Ą#
EA EA
ó#Ą#
- 00 00
ll
ó#Ą#
ó#Ą#
12EI 6EI 12EI 6EI
ó# 0 -- 0 - Ą#
l3 l2 l3l2 Ą#
ó#
ó#Ą#
6EI 2 6EI 4
00 -
ó#Ą#
l2 ll
l2
Ł#Ś#
Macierz odniesiona jest do wektora
qe = ui , vi , �i , uk , vk , �k T (8.15)
{}
- 83 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.9. Macierz sztywności elementu dz
wigara załamanego w planie K6�6
zginanego w płaszczyz
nie xz i skręcanego,
obciążenie w płaszczyz
nie prostopadłej do układu
Rys. 8.9 Płaski element dz
wigara załamanego w planie
12EI 6EI 12EI 6EI
Ą#ń#
0 -- 0
ó#
l3 l2 l3 l2 Ą#
ó#Ą#
GIs GIs
ó#Ą#
0 0 0 - 0
ó#Ą#
ll
ó#Ą#
6EI 4 6EI 2
ó#Ą#
- 0 0
ó#Ą#
l2 ll
l2
K6�6 = (8.16)
ó#Ą#
12EI 6EI 12EI 6EI
ó#Ą#
- 0
0
ó#Ą#
l3 l2 l3 l2
ó#Ą#
GIs GIs
ó#Ą#
0 - 0 0 0
ll
ó#Ą#
ó#Ą#
6EI 2 6EI 4
ó# - 00 Ą#
l2 ll
l2
ó#Ą#
Ł#Ś#
Macierz odniesiona jest do wektora
T
qe = ui , vi , �yi , uk , vk , �yk (8.17)
{}
- 84 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.10. Macierz sztywności elementu ramy przestrzennej K12�12
Rys. 8.10 Przestrzenny element ramowy
Ą# ń#
EA EA
0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0
ó# Ą#
ll
ó# Ą#
12EIz 6EIz 12EIz 6EIz
ó# Ą#
0 0 0 0 0 - 0 0 0
ó#
l3 l2 l3l2 Ą#
ó# Ą#
12EIy 6EIy 12EIy 6EIy Ą#
ó#
0 0 0 - 0 0 0 - 0 - 0
ó# Ą#
l3 l2 l3 l2
ó# Ą#
GIs GIs
ó# Ą#
0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0
ó# Ą#
ll
ó#
6EIy 4EIy 6EIy 2EIy Ą#
ó# Ą#
0 0 - 00 0 000
ó# l2 ll Ą#
l2
ó#
6EIz 4EIz 6EIz 2EIz Ą#
ó# 00 0 00 - 0 0 0 Ą#
l2 ll
l2
ó# Ą#
K12�12 =
ó# Ą#
EA EA
ó# - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ą#
l l
ó# Ą#
ó# 12EIz 6EIz 12EIz 6EIz Ą#
0 - 0 0 0 0 0 0 0
ó#
l3 l2 l3l2 Ą#
ó# Ą#
12EIy 6EIy 12EIy 6EIy Ą#
ó#
0 0 - 0 - 0 0 0 0 - 0
ó# Ą#
l3 l2 l3l2
ó# Ą#
GIs GIs
ó# Ą#
0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0
ó# Ą#
ll
ó#
6EIy 2EIy 6EIy 4EIy Ą#
ó# Ą#
0 0 0 0 0 0 - 0 0
ó# ll Ą#
l2 l2
ó#
6EIz 2EIz 6EIz 4EIz Ą#
ó# - 0 0 0 0 0 0 0
Ą#
0
ó# l2 ll Ą#
l2
Ł# Ś#
(8.18)
Macierz odniesiona jest do wektora
T
qe = ui , vi , wi , �xi , �yi , �zi , uk , vk , wk , �xk , �yk , �zk (8.19)
{}
- 85 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.11. Modyfikacja macierzy sztywności
Znany jest związek wiążący (na poziomie elementu) poprzez macierz sztywności K
j
wektory: D , S , oraz Sp .
j j j
S = K �"D + Sp (8.20)
j j j j
Załóżmy, że pewne przemieszczenia węzłowe równe są zero vi = 0, vk = 0 .
Rys. 8.11
Modyfikacja macierzy sztywności względem zerowych przemieszczeń polega na wy-
kreśleniu odpowiednich równań
p
Tik Ą# ń# 0 ż# �#
ż# �# ż# �# Tik
ó#Ą#
�# �#
�# �# �# �#
p
ó# A B Ą#
�#Mik �#
�#Mik �# �#Ći �#
�# �# �# �# �# �#
ó#Ą#
=�" +
(8.21)
�# Ź# �# Ź# �# Ź#
p
Tki ó# Ą# �# 0
Tki
�# �# �# �# �#
ó#Ą#
�# �# �# �# �# �#
ó#Ą# p
C D
�#Mki �# �#Ćk �# �# �#
�# �# �# �#
ó#Ą# �#Mki �#
Ł#Ś#
A Bż# �# p
ż# �#Ą# ń# ik �#
�#Mik �#ó# Ą# ż#
�#Ći �# �#M �#
=�" + (8.22)
�# Ź#ó# C D Ą# p
�# Ź# �# Ź#
�#Mki �#Ł# Ś# �#Mki �#
�#Ćk �# �# �#
�# �# �# �#
- 86 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
8.12. Kondensacja macierzy sztywności
Znany jest związek wiążący (na poziomie elementu) poprzez macierz sztywności K
j
wektory: D , S , oraz Sp .
j j j
S = K �"D + Sp (8.23)
j j j j
Załóżmy, że pewne siły przywęzłowe równe są zero. Możemy zestawić je w wektorze
zerowych sił przywęzłowych
S2 = 0 (8.24)
Zmieniając odpowiednio porządek wierszy i kolumn w równaniu (8.23) można zapisać
je w poniższej formie
Ą# ń#
K11 K12 Ą# ń# p
S1 Ą#ń# D1 S1
Ą# ń#
S = = �" + (8.25)
j
ó# Ą#
K21 K22 Ą# ó# Ą# ó# Sp Ą#
S2 ó#Ś# D2 Ł# 2 Ś#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ł#
W celu dalszych przekształceń, równanie (8.25) zapiszemy w postaci poniższych dwu
równań macierzowych
p
S1 = K11 �"D1 + K12 �"D2 + S1 (8.26)
S2 = K21 �"D1 + K22 �"D2 + Sp (8.27)
2
Bazując na powyższym zapisie, z równania (8.27) wyznaczmy wektor D2 , a następnie
podstawimy go do równania (8.26).
Przyrównując (8.27) do (8.24) zapiszemy
S2 = K21 �"D1 + K22 �"D2 + Sp = 0 (8.28)
2
co pozwala wyznaczyć
K22 �"D2 = -K21 �"D1 - Sp (8.29)
2
Mnożąc obustronnie równanie (8.29) przez K-1 otrzymamy wektor D2
22
D2 =-K12 �"K-1 �"D1 - K-1 �"Sp (8.30)
22 22 2
Można teraz podstawić (8.30) do (8.26), dzięki czemu otrzymamy
p
Ą# ń#
S1 = - K12 �"K-1 �"K21 Ś# �"D1 + - K12 �"K-1 �"Sp Ś# (8.31)
Ł#K11 22 ń# Ą#
Ł#S1 22 2
Zatem można zapisać skondensowaną postać równania (8.23)
p
S1 = K1 �"D1 + S1 (8.32)
gdzie:
K1 = K11 - K12 �"K-1 �"K21  skondensowana względem D2 macierz sztywności,
22
p p p
S1 = S1 - K12 �"K-1 �"S2  skondensowany wektor sił wyjściowych.
22
- 87 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
Przykład
Kondensacja macierzy sztywności elementu belkowego (z pominięciem wpływu sił
normalnych) Ke(4�4)
Ą#ń#
12 6l -12 6l
ó#Ą#
6l 4l2 -6l 2l2 Ą#
EI
ó#
Ke = (8.33)
Ą#
l3 ó# -12 -6l 12 - 6l
ó#Ą#
6l 2l2 -6l 4l2 Ą#
ó#Ś#
Ł#
Element (0 1), przywęzłowy moment Mik = 0 .
Ą# -12 6l 6l
ń# Ą# ń#
12
0-1
EI ó#Ą# EI ó# Ą# 1
Ą# ń#
Ke = -12 12 -6l - �" �" 6l, -6l, 2l2 =
{}
l3 ó#Ą# ó#-6l Ą#
l3 ó# 4l2 Ą#
ó#
6l -6l 4l2 Ą# ó# 2l2 Ą# Ł# Ś#
Ł#Ś# Ł# Ś#
Ą# -12 6l 9
ń# Ą# - 9 3l
ń#
12
EI ó#Ą# EI ó# Ą#
= -12 12 -6l - -9 9 -3l = (8.34)
l3 ó#Ą# ó# Ą#
l3
ó#
6l -6l 4l2 Ą# ó# 3l - 3l 1l2 Ą#
Ł#Ś# Ł# Ś#
Ą# - 3 3l
ń#
3
EI ó# Ą#
= -3 3 -3l
Ą#
l3 ó#
ó#
3l - 3l 3l2 Ą#
Ł# Ś#
Element (1 0), przywęzłowy moment Mki = 0 .
Ą#ń# Ą# ń#
12 6l -12 6l
1-0
EI ó#Ą# EI ó# Ą# 1
Ą# ń#
Ke = 6l 4l2 -6l - 2l2 Ą# �" �" 6l, 2l2, -6l =
{}
l3 ó#Ą# ó#
l3 ó# 4l2 Ą#
Ł# Ś#
ó#Ą# ó# Ą#
-12 - 6l 12 6l
Ł#Ś# Ł# Ś#
Ą#ń# Ą# ń#
12 6l -12 9 3l -9
EI ó#Ą# EI ó# Ą#
= 6l 4l2 -6l - 3l 1l2 -3l = (8.35)
l3 ó#Ą# ó# Ą#
l3
ó#Ą# ó# Ą#
-12 -6l 12 -9 - 3l 9
Ł#Ś# Ł# Ś#
Ą# ń#
3 3l -3
EI ó# Ą#
= 3l 3l2 -3l
l3 ó#Ą#
ó#Ą#
-3 - 3l 3
Ł# Ś#
- 88 -
Marek Krzysztof Jasina Mechanika Budowli
9. Literatura dodatkowa
1. C. Branicki, M. Wizmur: Metody macierzowe w mechanice budowli i dynami-
ka budowli, Skrypt Politechniki Gdańskiej.
2. C. Branicki: Komputerowa analiza konstrukcji prętowych Bezpośrednią Meto-
dą Przemieszczeń, Politechnika Gdańska.
3. T. Chmielewski, H. Nowak: Wspomaganie komputerowe  CAD CAM , Opole.
4. Z. Cywiński: Mechanika Budowli w zadaniach, tom II  Podstawy układów
statcznie niewyznaczalnych, PWN.
5. J. Pietrzak, G. Rakowski, K Wrześniowski: Macierzowa analiza konstrukcji,
PWN.
6. G. Rakowski (red.): Mechanika Budowli z elementami ujęcia komputerowego,
Arkady.
- 89 -