D. Kosiorowski  ćwiczenia ze statystyki
27. A
ączny rozkład zmiennych losowych X i Y dany jest tabelką:
Y\X X=1 X=3
Y=0 0.2 0.3
Y=2 0.4
Uzupełnij tabelkę, wyznacz rozkłady warunkowe oraz oblicz E(X|Y). Czy X i Y są niezale\
ne?
28. A
ączny rozkład zmiennych losowych X i Y dany jest tabelką:
X\Y Y=0 Y=1
X=1 1/6 1/3
X=2 1/4 1/4
Znalez
ć rozkład zmiennych Z=X+Y i W=XY. Obliczyć Cov(X,Y) oraz E(Y|X).
29. Zmienne losowe X i Y mają dane wartości oczekiwane, wariancje i współczynnik korelacji:
E(X) = 0.05, E(Y) = 0.07, D(X) = 0.02 , D(Y) = 0.03, Á(X,Y) = -0.5 . Niech
Zt = tX + (1 -t)Y , t " [0,1]. Dla jakiego t wariancja jest minimalna? Przedyskutować związek
tego zadania z zagadnieniem konstruowania portfela inwestycyjnego.
(wskazówka: D2(pX +qY) = p2D2(X) + q2D2(Y) + 2pqD(X)D(Y)Á(X,Y), p + q = 1)
30. Wektor losowy (X,Y) ma gęstość:
f(x,y) = 6xy21(0,1)(x)1(0,1)(y).
Obliczyć gęstości brzegowe X i Y, sprawdzić czy X i Y są niezale\
ne.
31. Wektor losowy (X,Y) słu\
y do opisu stóp zwrotu dwóch projektów inwestycyjnych i ma gęstość:
1
f(x,y) = (x2 + xy + 2y2)1[0,3](x)1[0,2](y),
43
(Przez stopę zwrotu projektu rozumiemy dochód przypadający na jednostkę zainwestowanego
kapitału). Obliczyć:
a) rozkłady brzegowe X i Y
b) przeciętną stopę zwrotu z drugiego projektu, jeśli w pierwszym projekcie stopa zwrotu równa
siÄ™ 1.5
32. Rzucamy rzetelna monetą. Gdy wypadnie orzeł, losujemy (zgodnie z rozkładem jednostajnym)
punkt z odcinka [-1,1], a gdy reszka z odcinka [0,1]. Znalez
ć prawdopodobieństwo, \
e wylosowany
punkt będzie nale\
ał do przedziału [-0.5,0.5].
33. W przedsiębiorstwie A wprowadzono eksperymentalnie do produkcji nowe urządzenie i
obserwowano jego pracę przez 100 dni, dokonując pomiarów liczby braków produkowanych detali (xi
 liczba sztuk/dzień) i liczby awarii urządzenia (yi  liczba awarii/dzień). Uzyskano następujące
wyniki:
X\Y 0-5 5-10
0-5 7 12
5-10 12 44
10-15 17 8
Zbudować prognozę optymalną X za pomocą Y.