Aproksymacja funkcji
Wykład szósty
EiT, sem. 2, 2014/2015
1
Aproksymacja oznacza przybliżanie.
W matematyce aproksymacja oznacza zastąpienie funkcji aproksymowanej
funkcją aproksymująca z reguły funkcją o prostszej postaci.
Funkcja aproksymująca powinna być określona na tym samym zbiorze
argumentów, co funkcja aproksymowana.
Wykonanie aproksymacji wymaga określenia:
- funkcji aproksymowanej y = f(x) często funkcja dyskretna,
- zbioru funkcji, z których wybieramy funkcję aproksymującą y = F(x),
- kryterium oceny jakość aproksymacji.
2
Przybliżanie określonej funkcji, funkcji aproksymowanej, inną funkcją,
funkcją aproksymującą, powoduje powstanie błędów. Są to błędy aproksymacji.
Błędy aproksymacji przedstawiane są w postaci funkcji błędu.
Przybliżanie funkcji aproksymowanej jest zwykle wykonywane przy zastosowaniu
określonego kryterium jakości aproksymacji, zwykle minimalizacji funkcji błędu.
Kryterium określające jakość aproksymacji
Jest to warunek osiągnięcia wartości minimalnej przez funkcję błędu,
która jest zależna od funkcji aproksymowanej i aproksymującej.
Do często stosowanych metod aproksymacji należą:
aproksymacja jednostajna,
aproksymacja średniokwadratowa.
Przykład aproksymacji
y = 0,4643x - 4,246
Funkcja aproksymująca
0
0 2 4 6 8
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
-4
-4,5
lnt
Aproksymacja polega na dopasowaniu funkcji aproksymującej do funkcji
aproksymowanej, tak aby błąd przybliżenia był minimalny.
Funkcja aproksymująca może, ale nie musi, przechodzić przez punkty
yi = f(xi), i = 1, 2, & , n, czyli przez funkcję aproksymowaną.
Y*
Interpolacja
Interpolacja
Interpolacja jest szczególnym przypadkiem aproksymacji.
6
Dane są to wartości funkcji f (x)
zapisane jako
yi = f (xi ) i = 0, 1, 2,...,n
Należy znalezć funkcję g (x) określonej klasy, która przyjmuje w węzłach
interpolacji te same wartości co funkcja interpolowana
yi = f (xi ) i = 0, 1, 2,...,n
czyli
g(xi ) = yi i = 0, 1, ...,n
Interpolacja: odcinkami, wielomianami potęgowymi Lagrange a, wielomianami
Newtona, różnicami skończonymi, funkcjami sklejanymi
7
Interpolacja wielomianami Lagrange a
Należy znalezć dla danej funkcji f () taki wielomian potęgowy stopnia nie wyższego niż
n oznaczanego przez
Ln ()
yi, xi, i = 0, 1, ...,n
którego wartości w n + 1 zadanych punktach
są równe odpowiednim wartościom funkcji, co oznacza, że
Ln (xi ) = f (xi ) dla i = 0, 1, ...,n
Punkty węzły interpolacji
yi, xi, i = 0, 1, ...,n
8
Wielomiany Lagrange a
n
Ln (x) = yi Li (n) (x)
i=0
(x - x0 )(x - x1)....(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn )
Li (n) (x) =
(xi - x0 )(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn )
Dla n = 2 i = 0, 1, 2 mamy
(x - x1)(x - x2 )
L0(2) (x) =
(x - x0 )(x - x2 )
(x0 - x1)(x0 - x2 ) L1(2) (x) =
(x1 - x0 )(x1 - x2 )
(x - x0 )(x - x1)
L2 (2) (x) =
(x2 - x0 )(x2 - x1)
9
Przykład
Dane
i 0 1 2
0 1 2
xi
-1 0 3
yi
2
L2 (x) = yi Li 2 (x) = y0 L0 (2) (x) + y1 L1(2) (x) + y2 L2 (2) (x)
i=0
(x - x1)(x - x2 ) (x -1)(x - 2) x2 - 2x - x + 2 x2 - 3x + 2
L0(2) (x) = = = =
(x0 - x1)(x0 - x2 ) (0 -1)(0 - 2) 2 2
(x - x0 )(x - x2 )
(x - 0)(x - 2) x2 - 2x
L1(2) (x) = = =
(x1 - x0 )(x1 - x2 ) (1- 0)(1- 2) -1
(x - x0 )(x - x1)
(x - 0)(x -1) x2 - x
L2 (2) (x) = = =
(x2 - x0 )(x2 - x1) (2 - 0)(2 -1) 2
10
2
L2 (x) = yi Li 2 (x) = y0 L0 (2) (x) + y1 L1(2) (x) + y2 L2 (2) (x)
i=0
x2 - 3x + 2 x2 - 2x x2 - x
= (-1) + 0 + 3 = x2 -1
2 -1 2
Sprawdzenie
x0 = 0 y0 = -1 x1 = 1 y1 = 0 x2 = 2 y2 = 3
11
Interpolacja wzorami Newtona pierwszy wzór interpolacyjny Newtona
Pierwszy wzór interpolacyjny Newtona ma postać:
P(x) = a0 + a1(x - x0 ) + a2(x - x0 ) (x - x1) + ...
+ an (x - x0 ) (x - x1)...(x -xn-1)
Należy wyznaczyć współczynniki
a ,a ,a ,....,a
0 1 2 n
12
a ,a ,a ,....,a
Współczynniki
0 1 2 n
wyznacza się przez rozwiązanie układu równań
ao = y0
a0 + a1(x1 - x0 ) = y1
a0 +a1(x2 -x0) + a2 (x2 - x0 )(x2 - x1) = y2
...
....
a0 + a1(xn - x1) + a2 (xn - x0 )(xn - x1) + ... + an (xn - x0 )(xn - x1)...(xn - xn-1) = yn
13
Przykład
Dane
i 0 1 2
0 1 2
xi
-1 0 3
yi
P(x) = a + a (x - x ) + a (x - x )(x - x )
0 1 0 2 0 1
a = y = -1
o 0
y1 - a0 0 +1
a + a (x - x ) = y
a1 = = = 1
0 1 1 0 1
x1 - x0 1- 0
a +a (x -x ) + a (x - x )(x - x ) = y
0 1 2 0 2 2 0 2 1 2
14
a +a (x -x ) + a (x - x )(x - x ) = y
0 1 2 0 2 2 0 2 1 2
-1+1(2 - 0) + a (2 - 0)(2 -1) = 3
a2 =1
2
P(x) = a + a (x - x ) + a (x - x ) (x - x ) =
0 1 0 2 0 1
= -1 + 1(x - 0) + 1(x - 0)(x -1) =
2 2
= -1 + x + x - x = x -1
2
P(x) = x -1
Należy sprawdzić, czy wielomian P(x) przybiera wartości zadane
15
Aproksymacja funkcji na podzbiorze
dyskretnym metodą najmniejszych kwadratów
16
Zakładamy, że znane są wartości
yi = f (xi), i = 0,1,2,K,n
funkcji f () dla dyskretnych wartości argumentu równych
x0 = a < x1 < x2
17
Będziemy poszukiwać funkcji aproksymującej
y = F(x)
F(x)= c0 j0(x)+ c1 j1(x)+K+ cm jm(x)
w postaci
gdzie: j0(),j1(),K,jm()
są pewnymi funkcjami określonymi na danym przedziale [a, b],
c0,c1,K,cm
są współczynnikami będącymi liczbami rzeczywistymi.
Wielomian uogólniony
18
Jakość aproksymacji
Kryterium określające jakość aproksymacji funkcja błędu F() definiująca
odległość pomiędzy funkcjami f () i Ś () na danym zbiorze
z zakresu [a, b].
Z ={x0, x1,K, xn}
Przez oznaczono wartość funkcji błędu
F(f ,F)
W metodzie najmniejszych kwadratów, przy aproksymacji na podzbiorze dyskretnym,
funkcję błędu definiuje się jako:
funkcja wagowa
1/ 2
2
n m
def
ł
F( f ,F)= f - F =
ę
w(x )ć f (xi )-c jk (xi ) ś
i k
Z
Ł k=0 ł
ę ś
i=0
norma wyznaczana na podzbiorze dyskretnym Z
19
y
*
*
*
5f5[, 5e5[
Funkcja aproksymująca
5f1, 5e1
*
*
x
20
dla których funkcja
Poszukujemy współczynników
c0,c1,K,cm
1/ 2
2
n m
def
ł
F( f ,F)= f - F =
ę
w(x )ć f (xi )-c jk (xi ) ś
i k
Z
Ł k=0 ł
ę ś
i=0
przyjmuje wartość minimalną.
są dane.
Funkcje bazowe j0(),j1(),K,jm()
2
n m
ł
ć
y = f (xi)-
ę ś
c jk(xi)
k
i=0 Ł k =0 ł
ę ś
21
Otrzymujemy m+1 równań
dY
= 0 , dla k = 0,1,2,K,m,
dck
z m +1 niewiadomymi
c0,c1,K,cm
2
n m
ł
ć
y = f (xi)-
ę ś
Po zróżniczkowaniu funkcji
c jk(xi)
k
k=0 ł
ę ś
i=0 Ł
otrzymujemy:
n m
dY
= -2 ś
j (xi )ć f (xi )-c jl (xi )ł
ę k l
k = 0,1, 2,L, m
dck
i=0 Ł l=0 ł
22
Układ równań przyjmuje postać:
n m
=
j (xi )ć f (xi )-c jl(xi ) 0
k l
i=0 Ł l=0 ł
gdzie:
k = 0,1, 2,L, m
a po przekształceniu:
n m n
=
j (xi ) c jl(xi )ł j (xi ) f (xi )
k l k
ę ś
i=0 i=0
l=0
k = 0,1, 2,L, m
23
Do obliczeń stosujemy następującą formę układu równań:
m n n
cl =
j (xi )jl(xi )ł j (xi ) f (xi )
k k
ę ś
l=0 i=0 i=0
k = 0,1, 2,L, m
Oznaczając macierz współczynników układu przez
S = [skl ]
n
skl =
j (xi)jl(xi), k,l = 0,1,L,m
k
i=0
24
T
t = [t0,t1,L,tm]
Wektor wyrazów wolnych oznaczymy przez
n
tk =
j (xi) f (xi), k = 0,1,L,m
k
i=0
c0,c1,L,cm
Możemy układ m+1 równań z m+1 niewiadomymi
zapisać jako
S c = t
Jest to układ równań nazywany układem równań normalnych
25
Funkcje bazowe j0(),j1(),L,jk(),L
przyjmuje się jako ciąg wielomianów
x0 =1, x, x2,L, xk ,L
Jako funkcje aproksymujące stosujemy wielomian potęgowy
F(x)= c0 + c1 x + c2 x2 +K+ cm xm
n
k +l
Wtedy
skl =
x , k,l = 0,1,2,L,m
i
i=0
n
k
tk =
x f (xi), k = 0,1,2,K,m
i
i=0
26
gdzie j = k + l
Przyjęto oznaczenie s = skl
j
Układ równań możemy zapisać:
s0 c0 + s1 c1 + s2 c2 +K+ sm cm = t0
s1 c0 + s2 c1 + s3 c2 +K+ sm+1 cm = t1
s2 c0 + s3 c1 + s4 c2 +K+ sm+2 cm = t2
ż
...............................................
sm c0 + sm+1 c1 + sm+2 c2 +K+ s2m cm = tm
gdzie
n
j
sj =
x , dla j = 0,1,2,K,2m
i
i=0
27
Dla m = 1 mamy wyrażenia:
n n n
0 1 2
s0 = s1 = s2 =
x x x
i i i
i=0 i=0 i=0
n n
0 1
t0 = t1 =
x yi x yi
i i
i=0 i=0
Dla m = 2 mamy wyrażenia:
n n n n n
0 1 2 3 4
s0 = s1 = s2 = s3 = s4 =
x x x x x
i i i i i
i=0 i=0 i=0 i=0 i=0
n n n
0 1 2
t0 = t1 = t2 =
x yi x yi x yi
i i i
i=0 i=0 i=0
28
i 0 1 2
Przykład
0 1 2
xi
-1 0 3
yi
n n
m = 2 0 1
s0 = s1 =
x = 00 +10 + 20 = 3 x = 01 +11 + 21 = 3
i i
i=0 i=0
n n
2 3
s2 = s3 =
x = 02 +12 + 22 = 5 x = 03 +13 + 23 = 9
i i
i=0 i=0
n
4
s4 =
x = 04 +14 + 24 = 17
i
i=0
n n
0 1
t0 =
x yi = 00 (-1) +10 (0) + 20 (3) = 2 t1 = x yi = 01(-1) +11(0) + 21(3) = 6
i i
i=0 i=0
n
2
t2 =
x yi = 02 (-1) +12 (0) + 22 (3) = 12
i
i=0
29
F(x) = c0 + c1x + c2x2
s0c0 + s1c1 + s2c2 = t0
s1c0 + s2c1 + s3c2 = t1
c0,c1,c2
s2c0 + s3c1 + s4c2 = t2
3c0 + 3c1 + 5c2 = 2
wynik
3c0 + 5c1 + 9c2 = 6
c0 = -1, c1 = 0, c2 = 1
5c0 + 9c1 +17c2 = 12
F(x) = c0 + c1x + c2x2 = -1+ 0x +1x2 = x2 -1
30
31
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykład 14
wyklad 14 2012
Wyklad 14
Chemia organiczna wykład 14
Wykład 3 14,4,12
Wykład 14 Regulacje prawne działalności deweloperów
wykład 14 przestrzenie afiniczne
ppmy wyklad 14 KasiaB
wykład 1 14 10 12
więcej podobnych podstron