Zasady zaliczenia cwiczen

Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
Mikroekonomia
Program ćwiczeń
1. Powtórzenie z matematyki
2. Funkcja u\yteczności, jej wybrane własności i charakterystyki
3. Substytucyjność i komplementarność towarów
4. Zadanie maksymalizacji u\yteczności konsumpcji
5. Funkcja popytu i jej własności
6. Zadanie minimalizacji wydatków. Funkcja kompensacyjnego popytu i jej
własności. Równanie Słuckiego
7. Prosty model wymiany
8. Statyczny model Arrowa-Hurwicza
9. Kolokwium
10. Funkcja produkcji, jej wybrane własności i charakterystyki
11. Teoria przedsiębiorstwa konkurencja doskonała - strategia długookresowa
12. Teoria przedsiębiorstwa monopol - strategia długookresowa
13. Monopol - wyznaczanie wielkości produkcji i ceny produktu przy egzogenicznej
funkcji popytu na produkt
14. Kolokwium
15. Duopol Cournota, Stackelberga i Bertranda
Zasady zaliczenia przedmiotu
1. Na kolokwiach i na egzaminie ściąganie jest niedopuszczalne. W razie ściągania
praca na kolokwium lub egzaminie jest warta 0 pkt.
2. Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa. Nieusprawiedliwiona nieobecność na
dowolnych ćwiczeniach jest równa utracie 2 pkt. Nieusprawiedliwiona nieobecność na
kolokwium oznacza 0 pkt z kolokwium.
3. Ocena końcowa na zaliczenie przedmiotu składa się z następujących elementów:
- 2 kolokwia 2x45 = 90 pkt.
- aktywność na ćwiczeniach od 0 - 10 pkt.
4. Dwa samodzielnie rozwiązane zadania z listy zadań do rozwiązania w domu 0 15
pkt.
Oceny:
Pow. 96 pkt 6.0
95 91 pkt 5.0
90 86 pkt 4.5
85 81 pkt 4.0
80 71 pkt 3.5
70 61 pkt 3.0
Pon. 60 pkt 2.0
mgr Ilona Nawrot 1
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Proszę wybrać 1 lub 2 spośród podanych zadań i rozwiązać je w domu. Za jedno w pełni
rozwiązane zadanie mo\na otrzymać 7 pkt., a za dwa 15 pkt.
Za parametry mo\na podstawić konkretne liczby.
Z1. Dla funkcji u\yteczności:
1
a. liniowej u(x1, x2 ) = a1x1 + a2 x2 , ai > 0, xi " R+ ,
b. logarytmicznej u(x1, x2 ) = a1 ln x1 + a2 ln x2 , ai > 0, xi "int R1 ,
+
ą1
1
c. potęgowej u(x1, x2 ) = ax1 xą2 , a > 0, xi " R+ , i =1,2, 0 < ą1 + ą <1,
2
2
d. Koopmansa-Leontiefa u(x1, x2 ) = min{a1x1; a2 x2}, ai > 0, xi " R1 , i =1,2 ,
+
3
1. przedstaw wykres w R+ ,
2
2. przedstaw wykres krzywej obojętności w przestrzeni towarów X = R+ , gdy
u(x1, x2 ) = u > 0,
3. uzasadnij geometrycznie, \e liniowa funkcja u\yteczności jest doskonale substytucyjna
i niekomplementarna, a funkcja u\yteczności Koopmansa-Leontiefa jest doskonale
komplementarna i niesubstytucyjna,
4. dla logarytmicznej i potęgowej funkcji u\yteczności sprawdz, czy spełnione jest tzw.
prawo Gossena i podaj to prawo,
5. dla liniowej, potęgowej i logarytmicznej funkcji u\yteczności wyznacz i podaj
ekonomiczną interpretację: tempa wzrostu (krańcowej u\yteczności i-tego towaru), stopy
2
wzrostu, elastyczności względem i-tego towaru w koszyku towarów x " R+ ).
Z2. Metodą geometryczną rozwią\ zadanie maksymalizacji u\yteczności konsumpcji:
u(x1, x2 ) max
p1x1 + p2 x2 d" I,
x1, x2 e" 0.
dla funkcji u\yteczności:
a. liniowej,
b. potęgowej,
c. logarytmicznej,
mgr Ilona Nawrot 2
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
d. Koopmansa-Leontiefa.
Dane są:
2 2
zbiór bud\etowy D(p, I) = {(x)" R+ p1x1 + p2 x2 d" I}�" X = R+ ,
2 2
zbiór poda\owy B = {(x1, x2 )" R+ x1 d" b1, x2 d" b2}�" X = R+ ,
takie \e:
ąI �I
a. "ą, � e" 0,ą + � = 1, 0 < b1 < d" '" 0 < b2 < ,
p1 p2
I I
b. 0 < d" b1 '" 0 < b2 < ,
p1 p2
I I
c. 0 d" < b2 '" 0 < b1 < ,
p2 p1
I - p2b2 I I - p1b1 I
d. 0 < < b1 < '" 0 < < b2 < .
p1 p1 p2 p2
1. Metodą geometryczną rozwią\ zadania maksymalizacji u\yteczności konsumpcji z
funkcjami u\yteczności:
a. liniową: u(x) = a1x1 + a2 x2, ai > 0, i = 1,2,
ą1
b. potęgową: u(x) = ax1 xą2 , a, > 0,ąi " (0,1),ą1 + ą2 < 1, i = 1,2,
2
c. logarytmiczną: u(x) = a1 ln x1 + a2 ln x2ai , xi > 0, i = 1,2,
ą ą
d. addytywną: u(x) = a1x1 + a2 x2 , ai > 0,ą " (0,1), i = 1,2,
e. Koopmansa-Leontiewa: u(x) = min(a1x1;a2 x2 ) " > 0 ai = bi > 0, i = 1,2,
�
ł ł 1
ł
f. CES: u(x1, x2 ) = (a1x1 + a2 x2 ) , ai > 0, xi " R+ ,� > 0, ł "(-1,0))" (0,+"),i = 1,2,
wiedząc, \e konsument dokonuje wyboru optymalnego koszyka towarów w zbiorze
B )" D(p, I ) .
2. Dla ka\dego z rozpatrywanych zbiorów rozwiązań dopuszczalnych B )" D(p, I) i dla ka\dej
funkcji u\yteczności określ związki między własnościami zbioru (ograniczoność,
domkniętość i wypukłość) i własnościami funkcji u\yteczności (monotoniczność, wklęsłość
lub silna wklęsłość). Sformułuj wnioski dotyczące ilości optymalnych koszyków towarów.
mgr Ilona Nawrot 3
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
Z3. Wiedząc, \e w zadaniu maksymalizacji u\yteczności konsumpcji, optymalny koszyk
2
towarów x "int R+ le\y na linii bud\etowej i w punkcie styczności krzywej obojętności z linią
bud\etową dla logarytmicznej i potęgowej funkcji u\yteczności:
1. uzasadnij, \e krańcowa stopa substytucji towaru 1 przez towar 2 w optymalnym koszyku
p1
towarów s12 (x1, x2 ) = ,
p2
2. wyznacz rozwiązanie optymalne zadania maksymalizacji u\yteczności konsumpcji
"u(x1, x2 )
"x1 x = x
p1
wiedząc, \e: s12 (x1, x2 ) = = ,
p2
"u(x1, x2 )
"x2 x = x
oraz
p1x1 + p2 x2 = I.
Z4. Dane jest zadanie maksymalizacji u\yteczności konsumpcji:
u(x1, x2 ) max
(Z2) (1) p1x1 + p2 x2 d" I
(2) x1, x2 e" 0.
z funkcją u\yteczności:
ą1
a. potęgową u(x1, x2 ) = ax1 xą2 , a > 0, ą1,ą2 e" 0, ą1 + ą2 <1
2
b. logarytmiczną u(x1, x2 ) = a1 ln x1 + a2 ln x2 , a1, a2 > 0, x1, x2 > 0.
którego rozwiązaniem optymalnym jest:
a. funkcja popytu Marshalla
�ł ą1 I ą I
�ł
2
�ł �ł
x = (x1, x2 ) = (�1( p1, p2 , I),�2 ( p1, p2 , I ))= , > (0, 0),
�ł
(ą1 + ą2 ) p1 (ą1 + ą2 ) p2 �ł
�ł łł
ą1 ą1
zauwa\, \e je\eli: ą = > 0 oraz � = > 0, to ą, � > 0, ą + � =1,
ą1 + ą2 ą1 + ą
2
�ł �ł
I I
�łą
�ł
to x = (x1, x2 ) = , � > (0, 0), której odpowiada
�ł
p1 p2 �ł
�ł łł
pośrednia funkcja u\yteczności:
mgr Ilona Nawrot 4
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
ą1+ą2 ą1 ą2
�ł �ł �ł ą1 ą2
�ł �ł �ł
I
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
u(x) =� ( p1, p2 , I ) = > 0 .
�ł
ą1 + ą2 �ł �ł p1 �ł �ł p2 �ł
�ł łł �ł łł �ł łł
b. funkcja popytu Marshalla
�ł a1 I a2 I
�ł
�ł �ł
x = (x1, x2 ) = (�1( p1, p2 , I),�2 ( p1, p2 , I ) = , > (0, 0),
�ł
(a1 + a2 ) p1 (a1 + a2 ) p2 �ł
�ł łł
a1 a1
zauwa\, \e je\eli ą = > 0 � = > 0. , to ą, � > 0, ą + � =1,
a1 + a2 a1 + a2
�ł �ł
I I
�łą
�ł
to x = (x1, x2 ) = , � > (0, 0),
�ł
p1 p2 �ł
�ł łł
której odpowiada pośrednia funkcja u\yteczności:
a1+a2 a1 a2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
I a1 a2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
u(x) =� ( p1, p2 , I ) = ln�ł > 0 .
a1 + a2 �ł �ł p1 �ł �ł p2 �ł
�ł łł �ł łł �ł łł
Dla podanych funkcji popytu Hicksa i pośrednich funkcji u\yteczności sprawdz czy spełnione
są i jaka jest ekonomiczna interpretacja następujących własności:
1. funkcja popytu konsumenta jest dodatnio jednorodna stopnia 0:
" > 0 �(p1, p2 ,I)= 0�( p1, p2 , I) = �( p1, p2 , I ) ,
2. pośrednia funkcja u\yteczności jest dodatnio jednorodna stopnia 0:
" > 0 � (p1, p2 , I)= 0� ( p1, p2 , I ) =� ( p1, p2 , I ) ,
"� (p1, p2 , I)
"� ( p1, p2 , I) "pi
3. `" 0 �! �i ( p1, p2 , I) = - , i =1,2.
"� (p1, p2 , I)
"I
"I
(jest to tzw. to\samość Roy a)
4. wzrost dochodu konsumenta powoduje wzrost popytu na co najmniej jeden towar:
"�i ( p1, p2 , I )
"i > 0, i =1,2,
"I
mgr Ilona Nawrot 5
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
5. wzrost ceny dowolnego towaru powoduje spadek popytu na co najmniej jeden z towarów:
"� ( p1, p2 , I)
j
"i "j < 0, i, j =1,2,
"pi
6. krańcowa u\yteczność dochodu konsumenta jest równa krańcowej u\yteczności
jednostki pienię\nej przeznaczonej na zakup jednostki i-tego towaru, (o której wiemy, \e jest
równa optymalnemu mno\nikowi Lagrange a)
"� ( p1, p2 , I ) "u(x1, x2 )
1
= i =1,2.
"I pi "xi x = x
Z5. Dana jest wektorowa funkcja popytu konsumenta będąca rozwiązaniem optymalnym
zadania maksymalizacji u\yteczności konsumpcji:
�ł �ł
I I
-1 0 0 -
�łą
�ł
x = �(p1, p2 , I)= , � =(ąp1 p2 ; �p1 p21), gdzie ą, � > 0, ą + � =1.
�ł
p1 p2 �ł
�ł łł
1. podaj postaci elastyczności cenowych popytu prostych i krzy\owych oraz
elastyczności dochodowych popytu i na tej podstawie oceń czy towar 1 i 2 są
towarami: normalnymi, Giffena, komplementarnymi, neutralnymi, substytucyjnymi,
ni\szego lub wy\szego rzędu,
2. wykreśl ście\kę ekspansji cenowej popytu,
3. wykreśl ście\kę ekspansji dochodowej popytu.
Z6. Dane jest zadanie minimalizacji wydatków konsumenta:
W (x1, x2 ) = p1x1 + p2 x2 min
(1) u(x1, x2 ) = u = const.
(2) x1, x2 e" 0 .
1. Metodą geometryczną znajdz rozwiązanie optymalne zadania minimalizacji wydatków, gdy
2
funkcja u\yteczności u : R+ R1 jest funkcją:
u - a1x1
a. liniową u(x1, x2 ) = a1x1 + a2 x2 , ai > 0, i =1,2 �! x2 =
a2
mgr Ilona Nawrot 6
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
1
u
�ł �łą 1
ą
2
b. potęgową u(x1, x2 ) = ax1 1 xą2 , a,ąi > 0, i =1,2, ą1 + ą <1�! x2 =
�ł �ł
2
2
ą
1
a
�ł łł
x1ą
2
u
1
1 a2
c. logarytmiczną u(x1, x2 ) = a1 ln x1 + a2 ln x2 , ai > 0, xi "int R+ , i =1,2 �! x2 = e
a1
x1a2
u u
d. Koopmansa-Leontiefa u(x1, x2 ) = min{a1x1; a2 x2}, ai > 0, i =1,2 �! x1 = , x2 = .
a1 a2
2. Uzasadnij, \e:
- dla liniowej funkcji u\yteczności:
- w przypadku gdy a = (a1, a2 ) = ( p1, p2 ) = p , to zadanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań optymalnych nale\ących do odcinka x = ąx1 + �x2 , "ą, � e" 0, ą + � =1 ,
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
W W W W
�ł �ł �ł �ł �łą
�ł
gdzie x1 = ,0�ł, x2 = , czyli: x = ; � "1 W > 0,"ą, � e" 0, ą + � =1,
�ł �ł0, p2 �ł �ł
p1 p1 p2 �ł,
�ł łł �ł łł �ł łł
- w przypadku, gdy a = (a1, a2 ) `" ( p1, p2 ) = p , to zadanie (Z2) ma dokładnie jedno
rozwiązanie optymalne:
�ł �ł �ł �ł
W W
�ł �ł �ł �ł
x = ,0�ł albo x = ,
�ł �ł0, p2 �ł
p1
�ł łł �ł łł
- dla pozostałych funkcji u\yteczności zadanie ma dokładnie jedno rozwiązanie
optymalne:
�ł �ł �ł �ł
W W
�ł �ł �ł �ł
"1 ą, � ,W > 0, ą + � =1 x = ąx1 + �x2 , gdzie x1 = ,0�ł, x2 = ,
�ł �ł0, p2 �ł
p1
�ł łł �ł łł
czyli:
�ł �ł
W W
�łą
�ł
"1 ą, � ,W > 0, ą + � =1 x = ; �
�ł
p1 p2 �ł.
�ł łł
Z7. Dla funkcji kompensacyjnego popytu (funkcji popytu Hicksa):
ą ą
1 1
2 1
�ł �ł
�ł�ł u �łą1+ą2 �ł ą1 p2 �łą1+ą2 u �łą1+ą2 �ł ą 2 p1 �łą1+ą2 �ł
�ł �ł �ł �ł
f (p,u) = ,�ł > (0,0) ,
�ł�ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
a ą p1 a ą1 p2 �ł
�ł łł �ł łł
�ł �ł 2 łł �ł łł
�ł łł
oraz odpowiadającej jej funkcji wydatków konsumenta:
mgr Ilona Nawrot 7
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
1
ą1 ą2
ą1 + ą �ł �łą1+ą2 ą1+ą2 ą1+ą2
u
2
e(p,u) = p1 p2 > 0,
�ł �ł
ą1 ą2
a
�ł łł
ą1+ą2 ą1+ą2
ą1 ą2
uzasadnij prawdziwość i podaj ekonomiczną interpretację następujących własności:
1. " > 0, e(p1, p2 ,u)= e( p1, p2 ,u) ,
2. " > 0 f (p1,p2 ,u)= f (p1, p2 ,u)),
"e(p,u)
3. = fi (p,u), i =1,2,
"pi
"fi (p,u)
4. < 0, i =1,2,
"pi
"f1(p,u) "f2(p,u)
5. = .
"p2 "p1
Z8. Kiedy rozwiązania optymalne zadania maksymalizacji u\yteczności konsumpcji i
minimalizacji wydatków są identyczne. Podaj odpowiednie warunki. Posłu\ się odpowiednią
ilustracją geometryczną.
Z9. Dane jest równanie Słuckiego postaci:
"�i (p, I) "fi (p,u) "�i (p, I )
= - �i (p, I), i =1,2
"pi "pi "I
w którym:
"�i (p, I)
- efekt cenowy wpływ zmiany ceny i-tego towaru na popyt konsumpcyjny
"pi
na ten towar (ceteris paribus cena drugiego towaru i dochód konsumenta nie ulegają
zmianie)
mgr Ilona Nawrot 8
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
"fi (p,u)
< 0 - efekt substytucyjny wpływ zmiany ceny i-tego towaru na popyt
"pi
kompensacyjny na ten towar, czyli sytuacja, w której wzrost ceny i-tego towaru
powoduje spadek u\yteczności optymalnego koszyka, który jest jednak
kompensowany takim wzrostem dochodu konsumenta, \e nowy optymalny koszyk
towarów ma taką samą u\yteczność jak wyjściowy optymalny koszyk towarów (przed
zmianą ceny i-tego towaru,
"�i (p, I )
- �i (p, I ) - efekt dochodowy wpływ jaki na wielkość popytu na towar i-ty
"I
wywiera relatywne zubo\enie konsumenta spowodowane nieskompensowanym
wzrostem ceny i-tego towaru nabywanego w ilości �i (p, I ) .
3 mo\liwe przypadki:
Przypadek 1
"�i (p,u) "�i (p, I) "fi (p,u) "�i (p, I)
> 0 �! - �i (p, I ) < 0 '" < 0 �! < 0 ,
"pi "I "pi "pi
co oznacza, \e je\eli towar i-ty jest towarem wy\szego rzędu, to jest on towarem
normalnym
Przypadek 2
"�i (p,u) "�i (p, I ) "fi (p,u)
< 0 �! - �i (p, I) > 0 '" < 0
"pi "I "pi
Je\eli ponadto: dodatni efekt dochodowy jest silniejszy od ujemnego efektu substytucyjnego,
"�i (p, I)
to > 0 . Co oznacza, \e je\eli towar i-ty jest towarem ni\szego rzędu, to mo\e być
"pi
on towarem Giffena.
Przypadek 3
mgr Ilona Nawrot 9
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
"�i (p,u) "�i (p, I ) "fi (p,u)
< 0 �! - �i (p, I) > 0 '" < 0 .
"pi "I "pi
Je\eli ponadto: dodatni efekt dochodowy jest słabszy od ujemnego efektu substytucyjnego, to
"�i (p, I)
< 0 , co oznacza, \e je\eli towar i-ty jest towarem ni\szego rzędu, to mo\e być on
"pi
towarem normalnym.
Przedstaw ilustracje geometryczne omówionych przypadków dla towaru pierwszego albo
drugiego.
Z10. Dany jest prosty model wymiany rynku dwóch towarów konsumpcyjnych i dwóch
handlowców, na którym:
i =1,2 - towary konsumpcyjne,
k =1,2 - handlowcy konsumenci,
2
X = R+ - przestrzeń towarów (zbiór wszystkich dostępnych na rynku koszyków towarów
2n 1
wraz z określoną na nim metryką d : R+ R+ )
2
ak = (ak1, ak 2 )" R+ - koszyk z jakim na rynek przychodzi k-ty konsument,
2
xk = (xk1, xk 2 )" R+ - koszyk jaki chce nabyć k-ty konsument.
k 2
u : R+ R1 - funkcja u\yteczności k-tego konsumenta opisująca jego preferencje (relację
preferencji konsumenta).
Celem k-tego (ka\dego) konsumenta jest nabycie takiego koszyka towarów xk = (xk1, xk 2 ),
którego u\yteczność byłaby maksymalna i jednocześnie niemniejsza od u\yteczności
koszyka towarów ak = (ak1, ak 2 ).
Rozpatrzmy sytuacje gdy:
k
a. u (xk ) = min{ak1xk1, ak 2 xk 2} max ,
k
k1 k
b. u (xk ) = axą1 xą2 2 max .
k k
Przy pomocy prostokąta Edgewortha:
1. przedstaw ilustracje geometryczne zbiorów alokacji: dopuszczalnych, akceptowanych
przez handlowców oraz Pareto-optymalnych ,
2. wska\ alokacje blokowane przez handlowców,
mgr Ilona Nawrot 10
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
4
3. uzasadnij, \e C(a) ą" S(a) ą" F(a) �" R+ (ka\da alokacja Pareto-optymalna jest alokacją
akceptowaną prze handlowców i alokacją dopuszczalną względem alokacji
początkowej.
Dla uproszczenia przyjmijmy, \e:
1. a1 = (10, 15), a2 = (15, 10),
co oznacza, \e alokacja początkowa ma postać: a = (10, 15,215,10),
2a. a1 = a2 =1 - parametry funkcji u\yteczności Koopmansa-Leontiefa,
1
2b. a = 1, ą1 = ą2 = - parametry potęgowej (multiplikatywnej) funkcji u\yteczności.
4
Z. 11 Dany jest statyczny model Arrowa-Hurwicza rynku dwóch towarów konsumpcyjnych i
dwóch handlowców na którym:
i =1,2 - towary konsumpcyjne,
k =1,2 - handlowcy (konsumenci),
2
X = R+ - przestrzeń towarów,
a1 = (10, 20), a2 = (20,10), - koszyki towarów z jakimi na rynek przychodzą handlowcy,
2
p = (p1, p2 )"int R+ - wektor cen towarów konsumpcyjnych,
2
xk = (xk1, xk 2 )" R+ - koszyk jaki chce nabyć k-ty handlowiec,
1 2
I ( p1, p2 ) = 10 p1 + 20 p2 , I ( p1, p2 ) = 20 p1 +10 p2 , - dochody handlowców.
Funkcje u\yteczności handlowców:
1 1 1 1
4 4 4 4
a. u1(x11, x12 ) = x11x12 , u1(x21, x22 ) = x21x22 - funkcje potęgowe,
2
b. u1(x11, x12 ) = min{x11, x12}, u (x21, x22 ) = min{x21, x22} - funkcje Koopmansa-Leontiefa.
1. Znajdz rozwiązania optymalne zadań maksymalizacji u\yteczności konsumpcji obu
handlowców (funkcje popytu obu handlowców).
2. Wyznacz funkcje globalnej poda\y i globalnego popytu.
3. Wyznacz funkcję nadwy\kowego popytu i sprawdz czy jest ona dodatnio jednorodna
stopnia 0 oraz czy spełnia prawo Walrasa.
mgr Ilona Nawrot 11
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
4. Wyznacz wektor cen równowagi walrasowskiej.
5. Wyjaśnij co oznacza, \e wektor cen równowagi walrasowskiej jest wyznaczany z
dokładnością do struktury (z dokładnością do mno\enia przez dodatnią liczbę).
6. Wyznacz wektor alokacji równowagi walrasowskiej.
7. Przedstaw ilustrację geometryczną:
- zbioru alokacji dopuszczalnych względem alokacji początkowej,
- zbioru alokacji akceptowanych przez handlowców,
- zbioru alokacji Pareto-optymalnych,
- zbioru alokacji równowagi walrasowskiej.
7. Uzasadnij geometrycznie (przy pomocy prostokąta Edgewortha), \e:
4
W (a) ą" C(a) ą" S(a) ą" F(a) ą" R+ , ka\da alokacja równowagi walrasowskiej jest
alokacją Pareto-optymalną, która jest alokacją akceptowaną przez handlowców i
dopuszczalną względem alokacji początkowej
Z12. Przy pomocy prostokąta Edgewortha dla statycznego modelu rynku Arrowa-Hurwicza z
2 handlowcami i 2 towarami przedstaw ilustrację geometryczną przypadku, gdy w modelu
tym nie istnieje wektor cen równowagi walrasowskiej.
2
Z13. Dana jest skalarna funkcja produkcji f : R+ R1 , o której wiemy, \e jest dodatnio
+
jednorodna stopnia jednorodna stopnia � > 0 :
2
" > 0, "x" R+ , f (x) = f (x1, x2 ) = � f (x1, x2 ) = � f (x) ,
gdzie: � > 0 oznacza stopień jednorodności funkcji produkcji.
1. Wyjaśnij kiedy mówimy o proporcjonalnych, malejących i rosnących korzyściach skali
w procesach produkcji opisywanych funkcjami produkcji dodatnio jednorodnymi
stopnia � > 0 .
2. Wyznacz stopień jednorodności dla funkcji produkcji:
- liniowej: f (x1, x2 ) = a1x1 + a2 x2 , ai > 0, i =1,2 ,
ą1
- potęgowej: f (x1, x2 ) = ax1 xą2 , a,ąi > 0, i =1,2 ,
2
ą1
- Cobba-Douglasa: f (x1, x2 ) = ax1 xą2 , a,ąi > 0, ą1 + ą =1, i =1,2 ,
2
2
mgr Ilona Nawrot 12
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
- Koopmansa-Leontiefa: f (x1, x2 ) = min{a1x1; a2 x2}, ai > 0, i =1,2.
3. Dla dowolnej skalarnej funkcji produkcji dodatnio jednorodnej stopnia � > 0 wyka\, \e
elastyczność produkcji względem skali nakładów jest równa stopniowi jednorodności
funkcji produkcji.
Z14. Dane jest przedsiębiorstwo (strategia długookresowa) działające na rynku w warunkach
konkurencji doskonałej, takie \e:
p - cena wytwarzanego produktu,
c - cena czynnika produkcji,
1
x " R+ - nakład czynnika produkcji,
1
2
y = f (x) = x - wielkość produkcji,
r(y) = py - przychód (utarg) ze sprzeda\y wytworzonego produktu,
1
2
r(x) = pf (x) = px - przychód (utarg) ze sprzeda\y wytworzonego produktu,
c
k (x) = cx + c1 - całkowity koszt produkcji,
z
k (x) = cx - zmienny koszt produkcji,
s
k (x) = c1 - stały kosztem produkcji,
1
c
2
(x) = r(x) - k (x) = pf (x) - (cx + c1) = px - (cx + c1) .
Polecenia:
1. Przedstaw ilustrację geometryczną zadania (Z1k).
2. Rozwią\ zadanie maksymalizacji zysku (Z1k).
3. Podaj ekonomiczną interpretacją warunków koniecznych i dostatecznych istnienia
rozwiązania optymalnego zadania (Z1k).
4. Uzasadnij, \e funkcja popytu na czynniki produkcji jest dodatnio jednorodna stopnia 0
wzglądem ceny produktu i ceny czynników produkcji, a funkcja zysku jest dodatnio
jednorodna stopnia 1 wzglądem ceny produktu i ceny czynnika produkcji.
5. Przedstaw ilustrację geometryczną zadania (Z2k).
6. Rozwią\ zadanie minimalizacji kosztu produkcji (Z2k).
mgr Ilona Nawrot 13
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
7. Podaj ekonomiczną interpretacją warunków koniecznych i dostatecznych istnienia
rozwiązania optymalnego zadania (Z2k).
8. Uzasadnij, \e funkcja warunkowego popytu na czynniki produkcji jest dodatnio
jednorodna stopnia 0 względem ceny czynnika produkcji, a funkcja kosztów produkcji
y > 0 jednostek produktu jest dodatnio jednorodna stopnia 1 względem ceny czynnika
produkcji.
9. Przedstaw ilustrację geometryczną zadania (Z3k).
10. Rozwią\ zadanie maksymalizacji zysku (Z3k).
11. Podaj ekonomiczną interpretacją warunków koniecznych i dostatecznych istnienia
rozwiązania optymalnego zadania (Z3k).
12. Uzasadnij, \e funkcja poda\y produktu jest dodatnio jednorodna stopnia 0 względem
ceny produktu i ceny czynnika produkcji, a funkcja zysku jest dodatnio jednorodna
stopnia 1 względem ceny produktu i ceny czynnika produkcji.
13. Uzasadnij równowa\ność zadań maksymalizacji zysku (Z1k) i (Z3k).
Z.15. Dane jest przedsiębiorstwo monopolistyczne (strategia długookresowa), takie \e:
1
2
y = f (x) = x - wielkość produkcji,
1
p(y) = - cena wytwarzanego produktu,
1
2
y
1
x " R+ - nakład czynnika produkcji,
c(x) = c0 x - cena czynnika produkcji,
1
2
r(y) = p( y) y = y - przychód (utarg) ze sprzeda\y wytworzonego produktu
1
4
r(x) = p( f (x)) f (x) = x - przychód (utarg) ze sprzeda\y wytworzonego produktu
c
k (x) = c0 x2 + c1 - całkowity koszt produkcji
z
k (x) = c0 x2 - zmienny koszt produkcji,
s
k (x1, x2 ) = c1 - stały kosztem produkcji.
Przyjmijmy dla uproszczenia, \e c0 =1, c1 = 0. Wówczas funkcja zysku przedsiębiorstwa
przyjmie postać:
mgr Ilona Nawrot 14
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
1
c
4
(15) (x) = r(x) - k (x) = x - x2.
Polecenia:
1. Przedstaw ilustrację geometryczną zadania (Z1m).
2. Rozwią\ zadanie maksymalizacji zysku (Z1m).
3. Podaj ekonomiczną interpretacją warunków koniecznych i dostatecznych istnienia
rozwiązania optymalnego zadania (Z1m).
4. Przedstaw ilustrację geometryczną zadania (Z2m).
5. Rozwią\ zadanie minimalizacji kosztu produkcji (Z2m).
6. Podaj ekonomiczną interpretacją warunków koniecznych i dostatecznych istnienia
rozwiązania optymalnego zadania (Z2m).
7. Przedstaw ilustrację geometryczną zadania (Z3m).
8. Rozwią\ zadanie maksymalizacji zysku (Z3m).
9. Podaj ekonomiczną interpretacją warunków koniecznych i dostatecznych istnienia
rozwiązania optymalnego zadania (Z3m).
10. Uzasadnij równowa\ność zadań maksymalizacji zysku (Z1m) i (Z3m).
11. Podaj cenę, przy której monopolista osiągnie maksymalny zysk
Z.16. Przedsiębiorstwo monopolistyczne ustala na rynku cenę i wielkość produkcji
określonego produktu.
Dane są:
- liniowa funkcja popytu na produkt:
yd = h( p) = -ap + b, a,b > 0 ,
- liniowa, odwrotna funkcja popytu na produkt :
d
b - y b 1
d d
p( yd ) = g(y ) = = ą - �y , a,b,ą = , � = > 0 ,
a a a
- liniowa funkcja całkowitych kosztów produkcji:
c s s
k ( y ( p)) = ł y + � , ł ,� > 0
gdzie:
z s s
k ( y ( p)) = ł y - liniowa funkcja kosztów zmiennych,
s s
k (y ( p)) = � - stała funkcja kosztów stałych,
- nieliniowa funkcja przychodu (utargu) ze sprzeda\y produktu:
mgr Ilona Nawrot 15
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
s s s
r(y ) = p(y ) y
Zakładamy, \e poda\ produktu jest równa popytowi zgłaszanemu przez
s
konsumentów y = yd = y.
Zadanie maksymalizacji zysku monopolisty przyjmie postać:
c c
( y) = r(y) - k (y) ={p( y)y - k (y)}= {(ą - �y)y - ły - �}=
={- �y2 - (ą + ł )y - �} max
y e" 0.
1. Wyznacz poziom produkcji, przy którym monopolista osiągnie maksymalny zysk.
2. Wyznacz poziom ceny produktu, przy której monopolista osiągnie maksymalny zysk
3. Podaj maksymalną wartość zysku monopolisty.
Z17. Dane jest przedsiębiorstwo monopolistyczne, które wytwarza jeden produkt
przeznaczając go na dwa rynki. Jest zainteresowane prowadzeniem polityki dyskryminacji
cen produktu na obu rynkach. Na rynku pierwszym (krajowym) i drugim rynku
(zagranicznym) wyznacza wielkość produkcji i poziom ceny produktu, tak aby poziom zysku
z produkcji był maksymalny.
Przyjmijmy oznaczenia:
y1 - ilość produktu wytwarzana na rynek 1,
y2 - ilość produktu wytwarzana na rynek 2.
y = y1 + y2 - łączna ilość produktu wytwarzanego przez monopolistę i przeznaczana na oba
c z s
k (y) = k (y) + k (y) - całkowite koszty produkcji,
z
k ( y) - zmienne koszty produkcji,
s
k (y) - stałe koszty produkcji,
p1(y1) > 0 - cena produktu na rynku 1, ustalana przez monopolistę,
p2 = const. > 0 - cena produktu na rynku 2, niezale\na od wielkości produkcji i niezale\na od
monopolisty,
d d
y1 = y1 ( p1) - popyt na produkt zgłaszany przez konsumentów na rynku 1,
d d
y2 = y2 ( p2 ) - popyt na produkt zgłaszany przez konsumentów na rynku 2,
s s
y1 = y1 ( p1) - poda\ produktu na rynku 1,
s s
y2 = y2 ( p2 ) - poda\ produktu na rynku 2.
mgr Ilona Nawrot 16
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
Wszędzie dalej zakładamy, \e:
"i =1,2 yid = yid ( pi ) = yis ( pi ) = yi ,
co oznacza, \e poziom produkcji na ka\dym rynku dostosowuje się do popytu jaki na ka\dym
z nich zgłaszają konsumenci. Przy czym niemo\liwa jest odsprzeda\ produktu na inny rynek
ni\ ten, na który jest on przeznaczany.
r1(y1) = p1( y1)y1 - przychód ze sprzeda\y produktu na rynku 1,
r2 (y2 ) = p2 y2 - przychód ze sprzeda\y produktu na rynku 2.
Dane są:
- funkcja całkowitych kosztów produkcji:
c z s
k (y) = k ( y) + k (y) = ay + b = a(y1 + y2 ) + b, a,b > 0 ,
- funkcja popytu na produkt na rynku 1:
d
y1 ( p1) = -c1 p1 + d1, c1, d1 > 0 ,
taka, \e:
d
dy1 ( p1)
= -c1 < 0,
dp1
czyli malejąca funkcja ceny produktu na rynku 1.
- odwrotna funkcja popytu na produkt na rynku 1:
d
d1 y1
d d
p1(y1 ) = - = e1 - f1y1 , c1, d1 > 0 �! e1, f1 > 0
c1 c1
- funkcja przychodu ze sprzeda\y produktu na rynku 1:
2
r1(y1) = p1( y1)y1 = (e1 - f1 y1)y1 = e1y1 - f1y1 .
- funkcja popytu na produkt na rynku 2:
d
y2 ( p2 ) = -c2 p2 + d2 , c2 , d2 > 0 ,
taka, \e:
d
dy2 ( p2 )
= -c2 < 0,
dp2
czyli malejąca funkcja ceny produktu na rynku 2.
- odwrotna funkcja popytu na produkt na rynku 2:
d
d2 y2
d d
p2 ( y2 ) = - = e2 - f2 y2 , c2 , d2 > 0 �! e2 , f2 > 0
c2 c2
mgr Ilona Nawrot 17
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
- funkcja przychodu ze sprzeda\y produktu na rynku 2:
2
r2 (y2 ) = p2 (y2 )y2 = (e2 - f2 y2 )y2 = e2 y2 - f2 y2 .
- elastyczność cenowa popytu na produkt na rynku 1:
dy1 p1 p1
�1 = = -c1 < 0, gdy\ c1, p1, y1 > 0.
dp1 y1 y1
- elastyczność cenowa popytu na produkt na rynku 2:
dy2 p2 p2
� = = -c2 < 0, gdy\ c2 , p2 , y2 > 0.
2
dp2 y2 y2
Funkcja zysku monopolisty ma postać:
c 2 2
(y1, y2 ) = r1(y1) + r2 ( y2 ) - k (y1, y2 ) ={e1 y1 - f1y1 + e2 y2 - f2 y2 - a(y1 + y2 ) - b,}
Polecenia:
Wiedząc, \e celem monopolisty jest maksymalizacja zysku wyznacz:
1. optymalny poziom produkcji produktu przeznaczanego na rynek pierwszy, na rynek
drugi oraz na oba rynki,
2. ceny produktu na rynku 1 i 2,
3. przedstaw ilustrację geometryczną rozwiązania tego zadania.
Z18. Dany jest rynek towaru z określonymi egzogenicznie funkcjami popytu i poda\y
produktu:
d s
a. y ( p) = -ap2 + b, a,b > 0, y ( p) = cp2 + d, c, d > 0, b > d,
1 1
d s
2 2
b. y ( p) = -ap + b, a,b > 0, y ( p) = cp + d, c, d > 0, b > d.
1. Określ dopuszczalne zakresy zmienności cen produktu, popytu na produkt i poda\y
produktu.
2
2. Przedstaw ilustracje geometryczne funkcji popytu i poda\y produktu w przestrzeni R+ .
3. Wyznacz odwrotne względem nich funkcje popytu i poda\y produktu.
mgr Ilona Nawrot 18
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
Ćwiczenia do mikroekonomii WIGE 2011/2012
4. Przedstaw ilustracje geometryczne odwrotnych funkcji popytu i poda\y produktu w
2
przestrzeni R+ .
d s
5. Wyznacz cenę równowagi dla produktu przy której: y ( p) = y ( p) , wyra\one w
jednostkach fizycznych popyt na produkt i poda\ produktu są sobie równe.
Z19. Rozpatrz model duopolu Cournota z liniową funkcją popytu, w którym funkcja
całkowitych kosztów produkcji i-tego producenta ma postać: kic ( yi ) = ł yi2 + �i ,
i
ł ,�i > 0, i = 1,2 . Wyznacz optymalną poda\ produktu pierwszego, drugiego i obu
i
producentów oraz cenę równowagi w tym modelu. Przeprowadz analizę wra\liwości
optymalnej poda\y produktu wytwarzanego przez producenta pierwszego, drugiego i obu
łącznie oraz ceny równowagi na zmiany wartości opisujących je parametrów.
Z20. Przedstaw model duopolu Stackelberga z liniową funkcją popytu, w którym funkcja
całkowitych kosztów produkcji i-tego producenta ma postać: kic ( yi ) = ł yi2 + �i ,
i
ł ,�i > 0, i = 1,2 . Wyznacz optymalną poda\ produktu pierwszego, drugiego i obu
i
producentów oraz cenę równowagi w tym modelu. Przeprowadz analizę wra\liwości
optymalnej poda\y produktu wytwarzanego przez producenta pierwszego, drugiego i obu
łącznie oraz ceny równowagi na zmiany wartości opisujących je parametrów
mgr Ilona Nawrot 19
mgr Michał Burzyński
dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zasady zaliczenia ćwiczenia reklama i promocja osobista
ZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU ADMINISTRACJA PUBLICZNA(2)
ZASADY ZALICZENIA LABORATORIUM DIAGNOSTYKI
Zasady zaliczenia Analiza
Przykładowe zadania Kolokwium wykładowe i zaliczenie ćwiczeń sem II
Zasady Zaliczania Kursu ALG MAP9816 zao 13 14 zima 3z?
ZIO wykladlaboratorium zasady zaliczenia
zasady zaliczenia
Zaliczenia z ćwiczeń cały rok
CPP ZASADY ZALICZENIA
zaliczenie ćwiczeń semestr 10
Zasady zaliczania
Zasady zaliczania konstrukcji metalowych
zasady zaliczenia2015
Warunki zaliczenia cwiczen rachunkowych

więcej podobnych podstron