Przykład rozwiązania zadania z przepływu ciepła używając czterowęzłowych ES
ORIGIN := 1
8
7
4 3
Funkcje kształtu
1m
2
6
1 2 5
(x - a)Å"(y - b) 4
N1(x,y,a,b) :=
4
3
3 4
aÅ"b
kx := 4
xÅ"(y - b)
N2(x,y,a,b) := - 1
2m 3
aÅ"b
ky := 7
xÅ"y
N3(x,y,a,b) := 2 1
1
2
aÅ"b
1
2 3
o
0
ëÅ‚kx öÅ‚
(x - a)Å"y T=10 C
N4(x,y,a,b) := - D :=
ìÅ‚ ÷Å‚
3m
2m
aÅ"b 0 ky
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie a,b - wymiary elementów
Macierz pochodnych funkcji kształtu
ëÅ‚d d d d öÅ‚
N1(x,y,a,b) N2(x,y,a,b) N3(x,y,a,b) N4(x,y,a,b)
ìÅ‚ ÷Å‚
dx dx dx dx
ìÅ‚ ÷Å‚
B(x,y,a,b) :=
ìÅ‚d ÷Å‚
d d d
N1(x,y,a,b) N2(x,y,a,b) N3(x,y,a,b) N4(x,y,a,b)
ìÅ‚ ÷Å‚
dy dy dy dy
íÅ‚ Å‚Å‚
Macierze sztywności dla elementów
Element 1
ii := 1 .. 4 jj := 1 .. 4
a1 := 2 b1 := 2 B1(x,y) := B x,y,a1,b1 k1(x,y) := B1(x,y)TÅ"DÅ"B1(x,y)
( )
3.667 -0.167 -1.833 -1.667
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
a1 b1
# #
ìÅ‚-0.167 3.667 -1.667 -1.833 ÷Å‚
õÅ‚ õÅ‚
K1 := k1(x,y) dy dx K1 =
ii,jj ii, jj
õÅ‚ õÅ‚ ìÅ‚-1.833 -1.667 3.667 -0.167
÷Å‚
!#0 !#0
ìÅ‚
íÅ‚-1.667 -1.833 -0.167 3.667 ÷Å‚
Å‚Å‚
Element 2
a2 := 2 b2 := 1 B2(x,y) := B x,y,a2,b2 k2(x,y) := B2(x,y)TÅ"DÅ"B2(x,y)
( )
5.333 1.667 -2.667 -4.333
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
a2 b2
# #
1.667 5.333 -4.333 -2.667
ìÅ‚ ÷Å‚
õÅ‚ õÅ‚
K2 := k2(x,y) dy dx K2 =
ii,jj ii, jj
õÅ‚ õÅ‚ ìÅ‚-2.667 -4.333 5.333 1.667
÷Å‚
!#0 !#0
ìÅ‚
íÅ‚-4.333 -2.667 1.667 5.333 ÷Å‚
Å‚Å‚
Element 3
a3 := 3 b3 := 2 B3(x,y) := B x,y,a3,b3 k3(x,y) := B3(x,y)TÅ"DÅ"B3(x,y)
( )
4.389 0.861 -2.194 -3.056
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
a3 b3
# #
0.861 4.389 -3.056 -2.194
ìÅ‚ ÷Å‚
õÅ‚ õÅ‚
K3 := k3(x,y) dy dx K3 =
ii,jj ii, jj
õÅ‚ õÅ‚ ìÅ‚-2.194 -3.056 4.389 0.861
÷Å‚
!#0 !#0
ìÅ‚
íÅ‚-3.056 -2.194 0.861 4.389 ÷Å‚
Å‚Å‚
1 Opracowanie Piotr Pluciński ITIwIL
o
=10 C
T
Przykład rozwiązania zadania z przepływu ciepła używając czterowęzłowych ES
Macierze Boole'a
ëÅ‚1 0 0 0 0 0 0 0 öÅ‚ ëÅ‚0 0 0 1 0 0 0 0 öÅ‚ ëÅ‚0 1 0 0 0 0 0 0 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚0 1 0 0 0 0 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 0 0 1 0 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 1 0 0 0 0 0 ÷Å‚
Bo1 := Bo2 := Bo3 :=
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
ìÅ‚0 0 0 1 0 0 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 0 0 0 0 1 0 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 0 0 1 0 0 0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Agregacja macierzy sztywności
wektor znanych wartości
K := Bo1TÅ"K1Å"Bo1 + Bo2TÅ"K2Å"Bo2 + Bo3TÅ"K3Å"Bo3
węzłowych temperatury
3.667 -0.167 0 -1.667 -1.833 0 0 0
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚10öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚10÷Å‚
ìÅ‚-0.167 8.056 0.861 -1.833 -4.722 -2.194 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0.861 4.389 0 -2.194 -3.056 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚10÷Å‚
ìÅ‚-1.667 -1.833 0 9 1.5 0 -4.333 -2.667 ÷Å‚ ìÅ‚10÷Å‚
K = Tz :=
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚-1.833 -4.722 -2.194 1.5 13.389 0.861 -2.667 -4.333 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ -2.194 -3.056 0 0.861 4.389 0 0 0
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚10÷Å‚
0 0 0 -4.333 -2.667 0 5.333 1.667
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 -2.667 -4.333 0 1.667 5.333 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
warunki brzegowe (1- znana wartość
Wektor (obciążenia) strumienia ciepła
temperatury w węz
le)
0 0
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
0
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
-12Å"1 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1 ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2
-12Å"3
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
P2 := P3 :=
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1 ÷Å‚
ìÅ‚ -12Å"1 2
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1 ÷Å‚
0
P := Bo2TÅ"P2 + Bo3TÅ"P3
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2
P = war :=
-12Å"3
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚0 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚-24÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚-18 0
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1 ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
-6
UwzglÄ™dnienie warunków brzegowych íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚0 Å‚Å‚
Pz := KÅ"Tz S := P - Pz i := 1 .. 8 I := identity(8) Idi, i := wari Ip := I - Id
KK := IpÅ"KÅ"Ip + Id
SS := IpÅ"S
Wyliczenienie niewiadomych pierwotnych Wyliczenienie niewiadomych wtórnych
- temperatury w węzłach
- strumienia ciepła w węzłach
4.79
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
10
ëÅ‚ öÅ‚
20.214
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
10
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
16.699
10
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4.742
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
10
- 1
T := KK Å"SS + Tz T = R := KÅ"T - P R =
ìÅ‚7.387 ÷Å‚ ìÅ‚1.421 × 10- 14÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
6.411
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1.066 × 10- 14÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
10
1.555
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚6.752 Å‚Å‚
ìÅ‚7.105 × 10- 15
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 Opracowanie Piotr Pluciński ITIwIL
Przykład rozwiązania zadania z przepływu ciepła używając czterowęzłowych ES
Powrót do elementów - Wyliczenie funkcji strumienia ciepła.
Wydruki dla środka i węzłów poszczególnych elementów
Element 1
T1 := Bo1Å"T
4 4
qx1(x,y) := qy1(x,y) :=
1 1
"îÅ‚(-DÅ"B (x,y))1, Å"T1Å‚Å‚ "îÅ‚(-DÅ"B (x,y))2, Å"T1Å‚Å‚
i i i i
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
i = 1 i = 1
a1 b1 a1 b1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
qx1 , = 2.613 qy1 , = 4.573
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
qx1 0,b1 = 5.226 qx1 a1,b1 = 5.226 qy1 0,b1 = 0 qy1 a1,b1 = 9.145
( ) ( ) ( ) ( )
- 14 - 14
qx1(0,0) = -4.263 × 10 qx1 a1,0 = 0 qy1(0,0) = -7.816 × 10 qy1 a1,0 = 9.145
( ) ( )
Element 2
T2 := Bo2Å"T
4 4
qx2(x,y) := qy2(x,y) :=
2 2
"îÅ‚(-DÅ"B (x,y))1, Å"T2Å‚Å‚ "îÅ‚(-DÅ"B (x,y))2, Å"T2Å‚Å‚
i i i i
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
i = 1 i = 1
a2 b2 a2 b2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
qx2 , = 5.861 qy2 , = 2.223
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
qx2 0,b2 = 6.496 qx2 a2,b2 = 6.496 qy2 0,b2 = 0 qy2 a2,b2 = 4.445
( ) ( ) ( ) ( )
- 13
qx2(0,0) = 5.226 qx2 a2,0 = 5.226 qy2(0,0) = 1.279 × 10 qy2 a2,0 = 4.445
( ) ( )
Element 3
T3 := Bo3Å"T
4 4
qx3(x,y) := qy3(x,y) :=
3 3
"îÅ‚(-DÅ"B (x,y))1, Å"T3Å‚Å‚ "îÅ‚(-DÅ"B (x,y))2, Å"T3Å‚Å‚
i i i i
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
i = 1 i = 1
a3 b3 a3 b3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
qx3 , = 0.65 qy3 , = 10.853
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
qx3 0,b3 = 1.301 qx3 a3,b3 = 1.301 qy3 0,b3 = 9.145 qy3 a3,b3 = 12.56
( ) ( ) ( ) ( )
- 13 qy3(0,0) = 9.145 qy3 a3,0 = 12.56
( )
qx3(0,0) = -1.315 × 10 qx3 a3,0 = 0
( )
3 Opracowanie Piotr Pluciński ITIwIL
Przykład rozwiązania zadania z przepływu ciepła używając czterowęzłowych ES
Rysowanie mapy rozkładu temperatury dla całego układu
Ng1(x,y) := N1 x,y,a1,b1 Å"T1 + N2 x,y,a1,b1 Å"T1 + N3 x,y,a1,b1 Å"T1 + N4 x,y,a1,b1 Å"T1
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4
Ng2p(x,y) := N1 x,y - b1,a2,b2 Å"T2 + N2 x,y - b1,a2,b2 Å"T2
( ) ( )
1 2
Ng2(x,y) := Ng2p(x,y) + N3 x,y - b1,a2,b2 Å"T2 + N4 x,y - b1,a2,b2 Å"T2
( ) ( )
3 4
Ng3p(x,y) := N1 x - a1,y,a3,b3 Å"T3 + N2 x - a1,y,a3,b3 Å"T3
( ) ( )
1 2
Ng3(x,y) := Ng3p(x,y) + N3 x - a1,y,a3,b3 Å"T3 + N4 x - a1,y,a3,b3 Å"T3
( ) ( )
3 4
Ng(x,y) := if x d" a1,if y d" b1,Ng1(x,y) ,Ng2(x,y) ,if y d" b1,Ng3(x,y) ,0
( ( ) ( ))
i := 1 .. 101 j := 1 .. 61 xxi := (i - 1)Å"0.05 yyj := ( j - 1)Å"0.05
XXi, j := if > b1 i > a1 i YYi, j := if > b1 i > a1 j
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
(yy )Å"(xx ),0,xxûÅ‚ (yy )Å"(xx ),0,yyûÅ‚
j j
ðÅ‚ ðÅ‚
Ti, j := Ng ,YYi, j
(XX )
i, j
(XX,YY,T)
Wykres dla przekroju y=2.5-x Wykres dla przekroju y=1.5
f(x) := Ng(x,2.5 - x) f2(x) := Ng(x,1.5)
10
10
9.5
f2(x)
f(x) 8
9
8.5 6
0 1 2 0 2 4
x x
4 Opracowanie Piotr Pluciński ITIwIL