III. Zasada zachowania momentu pędu
193. Stolik poziomy obraca się z prędkością kątową �. Na środku stolika stoi człowiek i trzyma
w wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa ciężarki o masie m każdy. Jak zmieni się
prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu?
Moment bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi I.
Rozwiązanie:
194. Na poziomo wirującym pręcie o masie M, przez środek którego przechodzi prostopadle do ziemi
oś, siedzi małpka o masie m. Pręt ma długość l i wiruje z prędkością kątową �1. Jaka będzie prędkość
kątowa po przejściu małpki do środka?
Rozwiązanie:
195. Cienki drewniany pręt o długości l = 1,5 m i masie m = 10 kg został zawieszony pionowo i może
obracać się wokół nieruchomej osi, przechodzącej przez jego górny koniec. W pewnej chwili w środek
pręta uderza kula o masie m1 = 0,01 kg lecąca poziomo z prędkością v1 = 500 m/s i po uderzeniu
pozostaje w pręcie. Obliczyć wysokość, na jaką podniesie się koniec pręta po uderzeniu kuli. Przyjąć
g = 10 m/s2.
Rozwiązanie:
196. Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Momenty
bezwładności tarcz wynoszą I1, I2 a ich prędkości kątowe �1 i �2. Po upadku tarczy górnej na dolną
obie tarcze (w wyniku działania sił tarcia) obracają się dalej jak jedno ciało. Wyznaczyć:
a) prędkość kątową tarcz po złączeniu;
b) pracę wykonaną przez siły tarcia.
Rozwiązanie:
197. Człowiek stoi na osi obrotowego stolika trzymając pionowo nad głową obracające się wokół
pionowej osi (za którą człowiek trzyma oburącz) z prędkością kątową �0 koło rowerowe o momencie
bezwładności I0. Wyznaczyć prędkość kątową �1 ruchu obrotowego stolika po:
a) obróceniu przez człowieka koła o kąt 180o wokół poziomej osi,
b) zahamowaniu koła przez człowieka, jeżeli moment bezwładności człowieka i stolika wynosi I.
Rozwiązanie:
198. Na brzegu poziomo ustawionej tarczy o momencie bezwładności I (względem osi pionowej
przechodzącej przez środek tarczy) i promieniu R znajduje się człowiek o masie m. Obliczyć prędkość
kątową tarczy �, gdy człowiek zacznie się poruszać wzdłuż jej brzegu z prędkością v względem niej.
Rozwiązanie:
199. Dziewczynka o masie m stoi na brzegu masywnego okrągłego, nieruchomego stołu (tarczy)
o promieniu R i masie M, który może się obracać wokół pionowej osi bez tarcia. W pewnej chwili
dziewczynka rzuca poziomo kamień o masie m0 w kierunku stycznym do zewnętrznej krawędzi stołu z
prędkością v względem ziemi. Ile wynosi po wyrzuceniu kamienia: a) prędkość kątowa stołu,
b) prędkość liniowa dziewczynki?
Rozwiązanie:
200. Płyta CD o masie m i promieniu r wiruje z prędkością kątową � w płaszczyz
nie poziomej wokół
pionowej osi przechodzącej przez jej środek. W pewnej chwili spada na płytę z góry kawałek gumy do
żucia o masie M i przykleja się do płyty w odległości r/3 od jej brzegu. Ile wynosi prędkość CD
bezpośrednio po przyklejeniu się gumy?
Rozwiązanie:
IV. Równowaga mechaniczna
201. Jednorodna belka o długości L i masie M. spoczywa na dwu podporach. Punkty podparcia belki
znajdują się: jeden na końcu belki, a drugi w odległości d od drugiego końca. Wyznaczyć wartości sił
działających na podpory.
L
d
Rozwiązanie:
F1
F2
202. Jednorodna metalowa belka o długości L =� 4m i masie
m =� 60kg spoczywa na ramionach dwóch robotników (patrz rysunek). Punkty podparcia belki
znajdują się: jeden na jednym jej końcu, a drugi w odległości d =� 1m od drugiego końca. Jaka jest
wartość sił działających na ramiona robotników.
Rozwiązanie:
T
b
203. Ciężar o masie M zwisa na sznurze z wysięgnika. Wysięgnik składa się z
belki o masie m na zawiasie i poziomej liny o znikomo małej masie łączącej belkę
a
mg
ze ścianą. Ile wynosi wartość siły T
Rozwiązanie:
Mg
V. Sprężystość ciał stałych
204. Ile wynosi naprężenie pręta o przekroju kwadratu o boku 3 cm, jeżeli jest on ściskany siłą
5��104 N?
Rozwiązanie:
205. Siła 10 kN spowodowała wydłużenie pręta o 2 cm. Ile będzie wynosić naprężenie w pręcie, gdy
zwiększymy siłę o kolejne 5 kN. Pole przekroju pręta wynosi 1 cm2. W całym zakresie sił można
stosować prawo Hooke a.
Rozwiązanie:
206. Beton o gęstości masy 2000 kg/m3 kruszy się, gdy jest poddany naprężeniom większym
od 20 mln N/m2. Jaką jest maksymalna wysokość słupa betonowego o przekroju poprzecznym A?
Rozwiązanie:
207. Moduł objętościowej ściśliwości B = -� [naprężenie (lub ciśnienie)]/[D�V/V0], gdzie D�V = V -� V0,
V -� objętość ciała poddanego naprężeniu (ciśnieniu), V0 -� objętość ciała przy zerowym naprężeniu
(ciśnieniu), wynosi 60 mld N/m2. Stalowy sześcian o boku 0,4 m opadł na dno Rowu Mariańskiego
o głębokości 11 km. Ciśnienie na tej głębokości wynosi 110 mln N/m2. Pokazać, że stalowy sześcian
spoczywający na dnie Rowu ma objętość mniejszą o 117,(3) cm3, a długość jego boku wynosi
399,76 mm.
Rozwiązanie:
208. Moduł ścinania S = -� (F/A)/[D�x/h], gdzie
A -� powierzchnia, do której stycznie jest
przyłożona siła F (patrz rysunek obok), D�x -�
jest przesunięciem powierzchni, do której
przyłożona jest F, h  wysokość próbki
materiału. Do jednej ze ścian aluminiowego
sześcianu przyłożono stycznie siłę F = 7�107 N.
Zmierzona wartość D�x = 2,5 mm. Bok
sześcianu miał początkowo długość h = 0,40
m. Oszacuj wartość S dla aluminium.
Rozwiązanie:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,
Autorki rozwiązań :
Zad. 193  207 dr S.Szarska
Zad. 208 dr K.Żukowska
III. Zasada zachowania momentu pędu
RZad193
Rozwiązujemy zadanie korzystając z zasady zachowania momentu pędu.
Moment pędu (L=I� )człowieka z wyciągniętymi rękami jest równy momentowi pędu człowieka z
opuszczonymi rękami:
L1=L2
I1 �1= I2�2
Moment bezwładności człowieka z wyciągniętymi rękami (I1) jest sumą momentu bezwładności
stolika z człowiekiem oraz momentowi bezwładności 2 ciężarków znajdujących się w odległości l od
osi obrotu:
I1=I+2ml2
I2=I
�1=�
Podstawiając te wielkości do równania otrzymamy prędkość kątową układu, gdy człowiek opuści
ręce:
(I+2ml2)� = I �2
2ml2
�2= (1+� )w�
I
Energia kinetyczna człowieka z wyciągniętymi rękami wynosi:
Ek1= �(I+2ml2)�2
2
Ek2= � I w�2
Stosunek energii kinetycznej człowieka z opuszczonymi rękami do człowieka z rozłożonymi rękami
wynosi:
Ek 2 2ml2
=� 1+�
Ek1 I
RZad194
Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu. Moment pędu układu z małpką znajdującą się na
końcu pręta jest sumą momentu pędu pręta i małpki:
2
l
ć� ��
L1=I�1+m �1
�� ��
2
Ł� ł�
Moment bezwładności pręta, gdy oś obrotu przechodzi przez środek wynosi:
1
I =� Ml2
12
Moment pędu układu, gdy małpka znajduje się w osi obrotu (odległość od osi wynosi 0) jest równy:
L2=I�2
Ponieważ L1=L2 i podstawiając moment bezwładności otrzymujemy równanie:
2
1 l 1
2 2
Ml w�1 +� m w�1 =� Ml w�2
12 4 12
Mnożąc obustronnie przez 12 i dzieląc przez l2 otrzymujemy:
(M+3m)�1=M �2
(M +� 3m)w�1
w�2 =�
M
RZad195
W zadaniu mamy do czynienia ze zderzeniem niesprężystym. Moment pędu przed zderzeniem wynosi:
l
L= m1u�1
2
Z zasady zachowania momentu pędu wynika, ze moment pędu po zderzeniu musi być taki sam:
l
L= Iw� +� m1u�
2
Moment bezwładności pręta, gdy oś obrotu znajduje się na jego końcu wynosi:
1
I =� ml2
3
Prędkość liniowa środka pręta jest związana z prędkością kątowa następującym wzorem:
l
u� =� w�
2
Wstawiając powyższe wielkości do zasady zachowania momentu pędu oraz mnożąc równanie przez 6
otrzymamy:
3m1�1l=4ml�+3m1�l
Z tego równania wyliczamy �, a następnie korzystając z tego, że �=2�/l, otrzymamy:
3m1u�1 6m1u�1
u� =� ; w� =�
4m +� 3m1 (4m +� 3m1)l
Dla środka masy pręta energii kinetyczna układu zamienia się na energie potencjalna.
Energia kinetyczna wynosi:
1 1
2
Ek =� Iw�2 +� mu�
2 2
Energia potencjalna układu pręt i kulka w środku masy jest równa:
Ep=(m+m1)gh
Wstawiając otrzymane wyżej wielkości momentu bezwładności pręta, prędkości kątowej układu oraz
prędkości liniowej układu otrzymujemy równanie:
2 2
��
1 1 6m1u�1 ł� ć� 3m1u�1 ��
1
�� ��
�� ml2 ę� +� m�� =� (�m +� m1)�gh
ś�
2 3 (�4m +� 3m1)�l 2 4m +� 3m1 ��
�� �� Ł� ł�
Po podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu wielkości w równaniu otrzymamy wynik określający, na
jaką wysokość wzniesie się środek masy układu:
2 2
21m1u�1
h =�
(m +� m1)g(4m +� 3m1)2
Zaś koniec pręta wzniesie się na wysokość 2h:
2 2
42m1u�1
H=
(m +� m1)g(4m +� 3m1)2
RZad196
Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu. Moment pędu układu przed złączeniem tarcz był
równy sumie momentów pędu każdej tarczy z osobna. Po złączeniu tarcze obracają się z jednakowa
prędkością kątowa, a moment bezwładności układu jest równy sumie momentów bezwładności tarcz:
I1w�1 +� I2w�2 =� Iw� =� (I1 +� I2 )w�
Skąd możemy obliczyć prędkość kątową układu po złączeniu tarcz:
I1w�1 +� I2w�2
w� =�
I1 +� I2
Praca wykonana przez układ w wyniku połączenia tarcz jest równa zmianie energii kinetycznej układu
przed i po połączeniu:
2 2 2 2
I1w�1 I2w�2 (I1 +� I2 )w�2 I1I2 (w�1 -� w�2 )
W = "Ek = +� -� =�
2 2 2 2(I1 +� I2 )
RZad197
Moment pędu układu człowiek + koło rowerowe wynosi na początku:
L=I0�0
a) po obróceniu koła o 180�, jego moment pędu zmieni się na przeciwny, czego skutkiem będzie
wprawienie ruch obrotowy człowieka ze stolikiem. Jeśli prędkość obrotowa człowieka ze stolikiem
będzie �1, to całkowity moment pędu teraz wyniesie:
L= Iw�1 -� I0w�0
Z zasady zachowania momentu pędu:
2I0w�0
I0�0= Iw�1 -� I0w�0 skąd w�1 =�
I
b) Po zahamowaniu koła rowerowego całkowity moment pędu układu będzie równy momentowi pędu
stolika z człowiekiem:
L=I�2
Z zasady zachowania momentu pędu:
I0�0= I�2
Skąd możemy wyliczyć prędkość kątową układu:
I0w�0
w�2 =�
I
RZad198
Na początku człowiek i tarcza są w spoczynku, więc moment pędu układu jest równy zeru.
u�
Człowiek porusza się z prędkością kątową w�c =� , ale jednocześnie jest unoszony przez tarcze z
R
prędkością �t w kierunku przeciwnym. Moment pędu poruszającego się człowieka wynosi:
Lc=Ic�t-Ic�c
Traktując człowieka jako punkt materialny znajdujący się na obrzeżu tarczy, możemy napisać, że jego
moment bezwładności wynosi: Ic=mR2. Prędkość kątowa człowieka jest związana z jego prędkością
liniową następującym wzorem: �c=�/R, więc moment pędu człowieka wynosi:
u�
ć� ��
Lc=mR2 w�t -�
�� ��
R
Ł� ł�
Moment pędu tarczy wynosi:
Lt=I0�t
Z zasady zachowania momentu pędu wynika, ze suma pędu człowieka i tarczy musi być równa zeru:
Lc +Lt=0
Icw�t +� I0w�t =� Icw�c
skąd możemy wyliczyć prędkość kątową tarczy:
mRu�
w�t =�
I0 +� mR2
RZad199
Na początku dziewczynka i tarcza są w spoczynku, więc moment pędu układu wynosi zero. W wyniku
rzutu, tarcza wraz z dziewczynką zaczęła poruszać się w kierunku przeciwnym. Moment pędu kuli jest
równy momentowi pędu tarczy wraz z dziewczynką. Moment bezwładności kuli (traktowanej jako
punkt materialny) wynosi: I0=m0R2. Moment bezwładności tarczy wynosi It=1/2 MR2, a dziewczynki
(punkt materialny) Id=mR2. Prędkość kątowa kuli wynosi: �k=�/R. Podstawiając otrzymane wielkości
do równania na zasadę zachowania momentu pędu otrzymamy:
1
ć�
m0R2 ��w�k =� MR2 +� mR2 ��w�t
�� ��
2
Ł� ł�
Z tego równania możemy wyliczyć prędkość kątowa tarczy (i dziewczynki):
m0u�
w�t =�
1
( M +� m)R
2
Ze związku miedzy prędkością liniowa i kątowa możemy wyliczyć prędkość liniową z jaką obraca się
dziewczynka:
m0u�
u�d =�
1
( M +� m)
2
RZdad200
Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu:
L=const
I1�=I2�2
Moment bezwładności tarczy
2
��1 ł�
1 2
ć� ��
mr2w� =� mr2 +� M r
ę� �� �� ś�w�2
2 3
Ł� ł�
ę�2 ś�
�� ��
Skąd można wyliczyć �2 :
mw�
w�2 =�
8
m +� M
9
RZad201
Sumy sił i momentów sił względem osi obrotu musza być równe 0. Znak minus przy siłach reakcji
podłoża wskazują, że są one skierowane przeciwnie do kierunku siły ciężkości.
Mg-R1-R2=0
Suma momentów sił względem środka masy Wynosi:
R1L/2=R2(l/2-d)
R2 (l -� 2d)
R1 =�
l
l R2 (l -� 2d)l
Mg -� -� R2d =� 0
2 l
Mgl
R2 =�
2(l -� d)
Mg(l -� 2d)
R1 =�
2(l -� d)
RZad202
Rozwiązanie jest identyczne jak w zadaniu 201. Siła F1= R1 co do wartości, ale jest przeciwnie
skierowana. Podobnie jest z siłą F2.
Mg(l -� 2d) 60 ��10(4 -� 2)
F1 =� =� =� 200N
2(l -� d) 2(4 -�1)
Mgl 60 ��10 �� 4 2400
F2 =� =� =� =� 400N
2(l -� d) 2(4 -�1) 6
Odpowiedz
: Jeden robotnik utrzymuje ciężar 200N, a drugi 400N.
RZad203
Przy rozwiązaniu tego zadania korzystamy z zasady zachowania momentu siły. Oś obrotu znajduje się
w miejscu zawiasu. Suma momentów sił względem tego punktu musi być równa zeru, aby ciało nie
obracało się wokół osi. Ramię siły mg wynosi b/2, siły Mg wynosi b, a siły T równa się a.
b
mg +� Mgb -� Ta =� 0
2
b
mg +� Mgb
gb(m +� 2M )
2
T =� =�
a 2a
V. Sprężystość ciał stałych
RZad204
Korzystamy z definicji naprężenia:
F F
� =� =�
S a2
S=a2.
Odpowiedz
: Naprężenie wynosi (5/9).108 N/m2
RZad205
F=10kN
"l=2cm=0,02m
F1=15kN
F D�l
s� =� =� E
S l
RZad206
Gęstość wyraża się następującym wzorem:
�=m/V
V=Sh
Naprężenie jest zdefiniowane:
F mg
� =� =�
S S
s�S
m=
g
m s�
h= =�
Sr� gr�
Odpowiedz
: Wysokość słupa betonowego wynosi 1000m?
RZad207
p N
B =� -� =� 60mld
D�V
m2
V0
V0=a3=64��10-�3 m3
D�V =� V -�V0
D�V
p1 =� -�B
V0
D�V1
p2 =� -�B
V0
p2V0
D�V1 =�
B
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Autorka rozwiązań dr K. Żukowska
RZad208
Podstawiając do wzoru dane liczbowe podane w treści zadania
oszacujemy wartość modułu ścinania dla aluminium
2
7 -�3
S =� F A D�x h =� -� F h2 D�x h =� -� ��ł�
(� )� [� ]� (� )� [� ]� (� )�
(�2,7��10 N 0,4m )�
��2,5��10 m 0,4m�� =� 27GPa
Oszacowana wartość modułu ścinania dla aluminium wynosi 27GPa i jest zgodna z podawaną
w tablicach fizycznych.