Wybrane zadania z przedmiotu Informatyka1 prowadzonego na 2 semestrze
studiów dziennych  prow. Sławomir Czarnecki
Zadanie 1. Kinematyka bryły sztywnej (nawiązanie do materiału z rozdz. 8.8 na stronie 137,
Ruch Płaski, w podręczniku R. Nagórski, W. Szcześniak, Mechanika Teoretyczna, t.1, OW
PW 1993 oraz do materiału z rozdz. 6 na stronie 207, Ruch Płaski Układu Materialnego, w
podręczniku W. Szcześniak, Zbiór Zadań z Mechaniki Teoretycznej  Kinematyka, OW PW
2001).
Wzdłu\
poziomej linii prostej toczy się ze stałą prędkością kątową � oraz bez poślizgu
szpulka &! o mniejszym promieniu r i o większym R  por. rys.1.
Rys.1. Szpulka w ruchu płaskim  toczenie się bez poślizgu ze stałą prędkością kątową.
Dla uproszczenia interpretacji formuł zakładamy, \
e R = " . W chwili początkowej t = 0 ,
środek szpulki znajduje się w początku 0 globalnego układu współrzędnych kartezjańskich.
Ruch szpulki &! w globalnym układzie współrzędnych kartezjańskich i w przedziale czasu
T = 0," opisuje odwzorowanie
[ )
x0 �łX0 cos � t + X1 sin � t + � r tłł
�ł łł ( ) ( )
F : &!�T !2, x = F X,t , = , (1)
( )
śł
�ł śł
x1 �ł -X0 sin � t + X1 cos � t
( ) ( )
�ł �ł
�ł �ł
x0
�ł łł
gdzie: x = " !2 oznacza punkt przestrzenny definiujący poło\
enie punktu
�ł śł
x1
�ł �ł
X0
�ł łł
materialnego X = "&! identyfikującego punkt szpulki &! w chwili czasowej t "T .
�ł śł
X1
�ł �ł
Definiując trajektorię jako zbiór
! = x,t " F &!,t �T
( ) ( )
{ }
odwzorowanie odwrotne
-1
G = F : ! &!
do odwzorowania
F : &!�T !2
mo\
emy zdefiniować następująco:
X0 �łx0 cos � t - x1 sin � t -� r t cos � t łł
�ł łł ( ) ( ) ( )
G : ! &!, X = G x,t , = . (2)
( )
�ł śł
X1 �ł x0 sin � t + x1 cos � t -� r t sin � t
( ) ( ) ( )śł
�ł �ł
�ł �ł
Rys.2. Trajektoria ! �" !3 = !2 � ! szpulki w pewnym przedziale czasu 0,Tmax .
[ ]
0 xy czas
Widok  z góry oraz widok izometryczny.
Rys.3. Szpulka w ruchu płaskim w dowolnej chwili czasowej t > 0 . Na rysunku pokazano
zdefiniowany w zadaniu punkt materialny X oraz punkt przestrzenny x.
Nietrudno jest sprawdzić, \
e dla dowolnych X, x, t :
F �łG x,t ,tłł = x oraz G �łF X,t ,tłł = X .
( ) ( )
�ł �ł �ł �ł
Wektor prędkości v definiujemy jako pole materialne
v0 �ł-X0 � sin � t + X1 � cos � t + � rłł
"F �ł łł ( ) ( )
v : &!�T !2, v = X,t , = , (3)
( )
�ł śł
�łv śł
"t -X0 � cos � t X1 � sin � t
( )-
( )
�ł 1 �ł
�ł �ł
natomiast opis przestrzenny V wektora prędkości v definiujemy jako pole przestrzenne
V0 x1 � + � r
�ł łł �ł łł
V : ! &!, V x,t = v �łG x,t ,tłł , =
( ) ( )
�łV śł �ł-x � + �2 r tśł . (4)
�ł �ł
�ł 1 �ł �ł 0 �ł
Celem ćwiczenia jest stabelaryzowanie wzorów (1), (2), (3), (4) dla wartości r = 1[m],
� = 3[1/ s] , Tmax = 5 [s] w n = 100 równo odległych od siebie chwilach czasowych
0
Tmax �ł łł
�łi �ł
ti = i �ł%T = 0,1,..., n -1, ł%T = dla punktu materialnego X = "&! oraz punktu
�ł �ł-rśł
n -1�ł
�ł łł
�ł �ł
r
�ł łł
przestrzennego x = " !2 . Stabelaryzowane wartości nale\
y zapisać do plików w celu
�ł0śł
�ł �ł
wizualizacji w Excelu.
W ćwiczeniu, oprócz typowo programistycznych zadań związanych z
" u\
ywaniem pętli,
" definiowaniem wektorów i macierzy oraz
" pracą z plikami dyskowymi,
prezentowane są niezwykle istotne z punktu widzenia poprawnego zrozumienia podstaw
mechaniki ciał stałych dwa ró\
ne i niezale\
ne od siebie opisy ruchów:
" opis materialny (Lagrange a) i
" opis przestrzenny (Eulera).
W czasie laboratorium, omawiane są dodatkowo tak\
e takie pojęcia jak:
" pole materialne (np. pole prędkości),
" pole przestrzenne (np. pole naprę\
enia Cauchy ego) oraz
" prezentowany jest dokładnie przestrzenny opis pola materialnego prędkości  analog
klasycznego pytania o zmieniającą się w czasie prędkość rzeki w danym miejscu.
Po poprawnie oprogramowanym zadaniu, studenci mają na swoich komputerach:
" wizualizację trajektorii danego punktu materialnego X
" wizualizację w kolejnych chwilach czasowych punktów materialnych X
przechodzących przez dany punkt x przestrzeni
" wizualizację w kolejnych chwilach czasowych wektora prędkości v danego punktu
materialnego X (stycznego do jego trajektorii) oraz
" wizualizację wektora prędkości poruszającego się ciała (szpulki) w danym miejscu x
(opis przestrzenny V pola materialnego prędkości v)
0
�ł łł
Rys.4. Trajektoria punktu materialnego X = " &! w przedziale czasu 0,Tmax - wzór (1)
[ ]
�ł-rśł
�ł �ł
Rys.5. Punkty materialne X " &!  przechodzące przez miejsce zdefiniowane w punkcie
r
�ł łł
przestrzennym x = " !2 w przedziale czasu 0,Tmax - wzór (2)
[ ]
�ł0śł
�ł �ł
0
�ł łł
Rys.6. Wektor prędkości punktu materialnego X = " !2 w przedziale czasu 0,Tmax -
[ ]
�ł-rśł
�ł �ł
wzór (3)
Rys.7. Wektor prędkości szpulki w miejscu zdefiniowanym przez punkt przestrzenny
r
�ł łł
x = " !2 w przedziale czasu 0,Tmax - wzór (4)
[ ]
�ł0śł
�ł �ł