1.Na podstawie kilkuletnich obserwacji ustalono, że 82,5% studentów uzyskuje zaliczenie ze
statystyki w pierwszym terminie. Zaobserwowano również, że 95% spośród studentów, którzy
zaliczyli w pierwszym terminie, uzyskało co najmniej 16 punktów z kolokwiów, natomiast
spośród studentów, którzy nie zaliczyli w pierwszym terminie liczbę co najmniej 16 punktów
uzyskało tylko 45% studentów. Oblicz prawdopodobieństwo, że student nie uzyska zaliczenia
ze statystyki w pierwszym terminie, jeśli wiemy, że uzyskał mniej niż 16 punktów z kolokwiów.
0,825 0,175
Zal Zal
0,05 0,95 0,55 0,45
A  mniej niż 16 punktów
A A A A
2. Pewna gra polega na jednoczesnym rzucie kostką i monetą. Jeśli gracz wyrzuci orła oraz szóstkę, to
wygrywa 10 zł, jeśli wyrzuci co najwyżej trójkę (dowolna wartość na monecie), to wygrywa 5 zł, w
pozostałych przypadkach przegrywa 3 zł. Znajdz
rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
będącej wygraną w tej grze. Znajdz
dystrybuantę i ją naszkicuj. Oblicz Czy opłaca
się grać w taką grę? Odpowiedz
uzasadnij.
-3 5 10
Gra się opłaca, ponieważ ,
czyli średnia wygrana po jednej rundzie to ok. 2 zł.
3. Dana jest funkcja:
a. Dla jakiej wartości c funkcja ta jest gęstością pewnej zmiennej losowej X?
b. Znajdz
dystrybuantę zmiennej losowej X.
c. Oblicz E(3-X) oraz D(3-X).
a. c=2
b.
c.
D(3-X)=D(X).
4. a. Zmienna losowa X ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 3,5 i wariancją 9. Znajdz
k
takie, że
b. Niech X oznacza liczbę wyrzuconych szóstek w 720 rzutach kostką. Korzystając z twierdzenia
Moivre a - Laplace a oszacować prawdopodobieństwo, że P(121X E(X)=120 D(X)=10
.
5.a. Niezależne zmienne losowe mają jednakowe rozkłady Poissona z
parametrem =1,2 oblicz prawdopodobieństwo .
LUB Z POPRAWK
NA CI
GA
OŚĆ
b. Przy każdym ze stwierdzeń napisz P(prawda) lub F (fałsz):
Jeśli , to D(X)=9. F
Jeżeli , to . F
Jeżeli P(X=0)=1, to E(X)=1. F
Jeżeli student w zadaniu 5b zaznacza odpowiedzi losowo, to prawdopodobieństwo, że
tylko jedna odpowiedz
będzie poprawna wynosi . F
Jeżeli zwiększymy poziom ufności, to przedział ufności będzie dłuższy. P
6. W doświadczeniu biochemicznym bada się czas życia komórek. Dokonano 8 niezależnych
pomiarów i otrzymano wyniki [w godz.]: 4,7; 5,3; 4,0; 3,8; 4,7; 5,0; 3,9; 5,4. Zakładając, że dane
pochodzą z rozkładu normalnego, na poziomie ufności 0,99 zbuduj przedział dla odchylenia
standardowego oraz wartości przeciętnej czasu życia komórek.
7. Badając biorównoważność dwóch leków porównywano maksymalne stężenia substancji
czynnej we krwi sześciu pacjentów, którym te leki podano. Przyjmując poziom istotności 0,05
sprawdzić czy możemy przyjąć, że stężenia te nie różnią się istotnie, jeśli otrzymano wyniki:
pacjent: 1 2 3 4 5 6
lek 1: 26,3 39,4 31,2 36,6 41 29,1
lek 2: 32,4 46,1 41,2 40,3 49,2 46,8
D=-6,1; -6,7; -10; -3,7; -8,2;-17,7
I ETAP
II ETAP
8. Dwóch asystentów X i Y prowadzi zajęcia ze statystyki dwiema metodami: tradycyjną (Y)
oraz metodą pracy indywidualnej ze studentem (X). Porównywano wyniki otrzymane ze
statystyki przez losowo wybranych studentów z grup prowadzonych przez asystenta X oraz Y:
wyniki grupy X: 37 27 22,5 33 13,5 35 33 25,5 25,5
wyniki grupy Y: 14,5 6,5 11 34,5 24,5 27 28 24 15 23,5 24
Zakładając, że dane pochodzą z rozkładu normalnego, na poziomie istotności 0,05 zweryfikować
hipotezę, że grupa asystenta X osiąga lepsze wyniki.
=54,25
=69,2
I ETAP
F=1,276
II ETAP
9. Podczas badań bezpieczeństwa ruchu badano zależność między liczbą samochodów zareje-
strowanych w pewnych województwach a liczbą wypadków drogowych zaobserwowanych w
pewnym okresie na terenie tych województw. Otrzymano następujące dane:
29 23 16 20 8 27 12 10
x
i- liczba zarejestrowanych samochodów w tysiącach
110 70 96 83 40 100 65 55
y
i - liczba wypadków w analizowanym okresie
a. Znajdz
prostą regresji zmiennej y względem zmiennej x i narysuj ją na wykresie
rozrzutu punktów.
b. Jaki procent rozproszenia zmiennej Y daje się wyjaśnić jej liniową zależnością względem
zmiennej X?
c. Na poziomie ufności 95% znajdz
przedział ufności dla predykcji liczby wypadków dla 25
tys. zarejestrowanych samochodów.
120
a.Równanie prostej
110
regresji:
100
90
b. Współczynnik
80
determinacji
70
60
50
40
30
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
x
Zmn1:Zmn2: y = 30,4188 + 2,5907*x; r2 = 0,7189
51955
1126,625
y
10. Poniższa tabela przedstawia dane dotyczące punktów z egzaminu końcowego (Y), ilorazu
inteligencji (X) i liczby godzin tygodniowo poświęcanych na naukę (Z) dla 12 losowo
wybranych studentów:
Lp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X 83 77 95 49 63 80 91 79 36 58 93 84
Y 112 115 129 103 117 115 124 113 106 114 136 127
Z 9 6 14 4 8 12 10 9 5 7 8 3
Obliczając odpowiednie współczynniki korelacji i sprawdzając ich istotność statystyczną
na poziomie istotności 0,05 określić która z cech wpływa silniej na wyniki egzaminu: iloraz
inteligencji czy czas pracy?
=0,794 =0,3398
Wartość statystyki testowej: t=4,13 Wartość statystyki testowej: t=1,14
Obszar krytyczny:
, czyli istnieje
czyli korelacja między wynikami i czasem
statystycznie istotna korelacja między
poświęconym na naukę jest statystycznie
wynikami i ilorazem inteligencji.
nieistotna.
Konkluzja: silniej wpływa na wynik iloraz inteligencji.