Matematyka A, kolokwium, 2 grudnia 2008, 18:15  19:55
Rozwia zania różnych zadań maja znalez
ć sie na różnych kartkach, bo sprawdzać je beda różne
osoby.
Każda kartka musi być podpisana w LEWYM GÓRNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pi-
sza cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ćwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza cej ćwiczenia.
Nie wolno korzystać z kalkulatorów, telefonów komórkowych ani innych urza dzeń
elektronicznych; jeśli ktoś ma, musza być schowane i wy
la czone! Nie dotyczy rozrusz-
ników serca.
Nie wolno korzystać z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALEŻY powo sie na twierdzenia,
lywać
które zosta udowodnione na wyk lub na ćwiczeniach.
ly ladzie
Należy przeczytać CALE zadanie PRZED rozpoczeciem rozwia zywania go!
1. (10 pt.) Obliczyć pochodne nastepuja cych funkcji:

1+sin x e3x+5
a. (3 pt.) ln ctg(x2) , b. (4 pt.) ln c. (3 pt). .
1-sin x ex+1
2. (10 pt.) Znalez
ć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji y = xx w punkcie (x0, y0) ,
1
jeśli x0 = .
3
Znalez
ć punkty wspólne tej stycznej z osiami OX i OY .

Ą
3. (10 pt.) Wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x " 0, spe sa nierówności
lnione
2
1
2 cos x + > 3 oraz tg x + 2 sin x > 3x .
cos2 x
"
3(x4-6x2-3)
3x2-3
" "
4. (10 pt.) Niech f(x) = x3 - 3x . Wiadomo, że f (x) = i f (x) = .
2 x3-3x 4( x3-3x)3

"
Pierwiastkami wielomianu x4 - 6x2 - 3 sa dwie liczby rzeczywiste ą 3 + 2 3 H" ą2,54 ,
innych pierwiastków rzeczywistych ten wielomian nie ma.
Znalez
ć przedzia na których funkcja f jest ściśle rosna ca, na których jest ściśle maleja ca,
ly,
na których jest ściśle wypuk na których jest ściśle wkles
la, la.
Korzystaja c z uzyskanych informacji naszkicować wykres funkcji f .
1 25
1
5. (10 pt.) Na paraboli y = x2 znalez
ć punkt, który leży najbliżej punktu ,
6 3 6