Matematyka A, kolokwium, 23 kwietnia 2009, rozwia zania
Poprawione 5 maja.
Po sugestiach niektórych osób studiujacych na pierwszym roku chemii postanowi na-
lem
pisać rozwia zania zadań z drugiego kolokwium. Mam nadzieje, ze nie wielu pomy Wy-
lek.
obrażam sobie, że kilka osób przeczyta te rozwia zania i być może dzieki tej lekturze lepiej
zrozumie, o czym ostatnio mówimy.

Ä„/2
1. (10 pt.) Obliczyć ca
lke sin3 x cos3 x ln(sin x)dx .
0
Rozwia zanie.

y=sin x
Ä„/2 1
sin3 x cos3 x ln(sin x)dx = = = = = y3(1 - y2) ln y dy =
= = = =
0 0
dy=cos x dx

1 1

4 4 3
y4 y6 y6 y6 y5
1
= ( - ) ln y - (y - )y dy = (y - ) ln y - (y - )dy =

4 6 4 6 4 6 4 6
0 0

1 1 1 -5
4
y4 y6 y6
= ( - ) ln y - (y - ) 0 = - + = ,
4 6 16 36 16 36 144
ln y 1/y
bowiem lim y ln y = lim = lim = lim (-y) = 0  zastosowaliśmy regu
le
y0+ y0+ 1/y y0+ -1/y2 y0+
de l Hospitala. Trzeba by obliczyć granice, bo lim ln y = -" .
lo
y0+
2. (10 pt.) Znalez
ć wartości w (również nierzeczywiste) i wektory w im odpo-
lasne lasne

-9 13
wiadaja ce macierzy A , macierzy A2 i macierzy A-1 , jeśli A = .
-7 10
Rozwia zanie.
Liczba  jest wartościa w tej macierzy wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem
lasna
równania charakterystycznego:


-9 -  13

0 = = (-9 - )(10 - ) - 13 · (-7) = 2 -  + 1 ,

-7 10 - 
" " x
1 1
zatem, gdy  = (1 + i 3) albo  = (1 - i 3) . Wektor jest wektorem w
lasnym
2 2 y
"
1
odpowiadaja cym wartości w  = (1 + i 3) wtedy i tylko wtedy, gdy
lasnej
2


-9 13 x -9x + 13y x x
= =  = ,
-7 10 y -7x + 10y y y
" " "
1 1 1
czyli gdy -9x + 13y = (1 + i 3)x i -7x + 10y = (1 + i 3)y . Ponieważ (1 + i 3)
2 2 2
x
jest wartościa w wiec te równania sa równoważne, zatem wektor jest wektorem
lasna ,
y
" "
1 1
w wtedy i tylko wtedy, gdy 13y = (19 + i 3)x tzn., gdy y = (19 + i 3)x ,
lasnym
2 26
"
26
1
"
np. wektorem w odpowiadaja cym  = (1 + i 3) jest wektor . Ogólnie
lasnym
2 19+i 3

26t
"
dla dowolnej liczby zespolonej t = 0 wektor jest wektorem w od-
lasnym
(19 + i 3)t
"
1
powiadaja cym wartości w
lasnej (1 + i 3) .
2
" "
1 1
Druga wartość w to (1 - i 3) = (1 + i 3) , a ponieważ macierz jest rzeczywi-
lasna,
2 2

26
26
"
sta, wiec odpowiada jest wektor w " = oraz każdy inny otrzymany
lasny
19-i 3
19+i 3
przez pomnożenie tego wektora przez jaka ś liczbe zespolona .
Za óżmy teraz, że Av = v dla pewnego wektora v = 0 . Wtedy A2v = A(Av) =
l
A(v) = Av = 2v . Oznacza to, że jeśli v jest wektorem w macierzy A odpo-
lasnym
wiadaja cym wartości w  , to v jest też wektorem w macierzy A2 , ale tym
lasnej lasnym
razem odpowiada on wartości w 2 . Wobec tego wartościami w
lasnej lasnymi macierzy
" 2 1 " " " 2
1 1 1
A2 sa liczby (1 + i 3) = (1 + 2i 3 - 3) = (-1 + i 3) oraz (1 - i 3) =
2 4 2 2
" "
26 26
1 1
" "
(1 - 2i 3 - 3) = (-1 - i 3) . Odpowiadaja im wektory w i .
lasne
4 2 19+i 3 19-i 3
Jeśli wyznacznik macierzy jest różny od 0 , to  jak wiadomo  macierz ma od-
wrotna . Jest tak w naszym przypadku, bo wyznacznik macierzy A jest równy 1 . Iloczyn
wszystkich wartości w
lasnych macierzy jest równy jej wyznacznikowi. Jeśli A = v , to
1
A-1Av = A-1v = A-1v , zatem A-1v = v . Oznacza to, że jeśli v jest wekto-

rem w macierzy A odpowiadaja cym wartości w  , to v jest też wektorem
lasnym lasnej
1
w macierzy A-1 , ale tym razem odpowiada on wartości w -1 = . Wobec
lasnym lasnej

1 " -1 1 "
tego wartościami w
lasnymi macierzy A-1 sa liczby (1 + i 3) = (1 - i 3) oraz
2 2
" -1 1 "
26 26
1
" "
(1 - i 3) = (1 + i 3) . Odpowiadaja im wektory w i .
lasne
2 2 19+i 3 19-i 3
ëÅ‚ " " öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
-26 4 - 24 3 8 + 12 1 -4
" "3
1
Å‚Å‚, íÅ‚ Å‚Å‚, íÅ‚ Å‚Å‚,
3. Niech A = ·íÅ‚ 4 + 24 32 - 3 3 V1 = 4 V2 = 11
54 "3 -11"
8 - 12 3 32 + 3 3 37 8 -5
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
12 4
Å‚Å‚= Å‚Å‚.
V3 =íÅ‚ 3 3 ·íÅ‚ 1
-3 -1
(1 pt.) Obliczyć A · V1 oraz iloczyny skalarne wektorów V1 i V2 , V1 i V3 , V2 i V3 .
(4 pt.) Znalez
ć takie liczby Ä…, ², Å‚, ´ , że A · V2 = Ä…V2 + ²V3 i A · V3 = Å‚V2 + ´V3 .
(5 pt.) Znalez
ć rzeczywiste wartości w i wektory w macierzy A .
lasne lasne
Rozwia zanie.
ëÅ‚ " " öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 · (-26) + · (4 - 24 3) + 8 · (8 + 12 54 1
"4 "3)
1 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
Mamy A · V1 = 1 · (4 + 24 3) + 4 · (-11) + 8 (32 - 3 3) = 216 =íÅ‚ 4 =
54 " "· 54
1 · (8 - 12 3) + 4 · (32 + 3 3) + 8 · 37 432 8
V1 . V1 · V2 = -4 + 44 - 40 = 0 , V1 · V3 = 12 + 12 - 24 = 0 , V2 · V3 = -48 + 33 + 15 = 0 .
ëÅ‚ " " öÅ‚
(-4) · (-26) + · (4 - 24 3) + (-5) · (8 + 12
"11 "3)
1
íÅ‚ Å‚Å‚=
AV2 = (-4) · (4 + 24 3) + 11 · (-11) + (-5) · (32 - 3 3)
54 " "
(-4) · (8 - 12 3) + 11 · (32 + 3 3) + (-5) · 37
"
ëÅ‚ " öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 - 6 3
108 - 324
"
"
"3
3
1
íÅ‚ Å‚Å‚=íÅ‚ Å‚Å‚= 1 3
= -297 - 81 3 -11 - 3 - V2 - V3 ,
2 2
54 " 2 2
"
5 3
135 + 81 3
+ 3
2 2
"
3
zatem Ä… = -1 , ² = - .
2 2
ëÅ‚ " " öÅ‚
12 · (-26) + · (4 - 24 3) + (-3) · (8 + 12
"3 "3)
1
íÅ‚ Å‚Å‚=
AV3 = 12 · (4 + 24 3) + 3 · (-11) + (-3) · (32 - 3 3)
54 " "
12 · (8 - 12 3) + 3 · (32 + 3 3) + (-3) · 37
"
ëÅ‚ " öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
-324 - 108 3 -6 - 2 3
"
"
"
11
1
íÅ‚ Å‚Å‚=íÅ‚ Å‚Å‚= 3V2 - 1V3 ,
= -81 + 297 3 -3 + 3
2 2
54 " 2 2
"
3 5
81 - 135 3
- 3
2 2
"
3
zatem Å‚ = , ´ = -1 .
2 2
Z wzoru A · V1 = V1 i z definicji wartoÅ›ci w wynika, że V1 jest wektorem
lasnej
w odpowiadaja cym wartości w 1 . Wektory V1, V2, V3 sa wzajemnie prosto-
lasnym lasnej
pad Niech V bedzie dowolnym wektorem. Istnieja takie liczby a, b, c , że
le.
V = aV1 + bV2 + cV3 ,
przy czym wektor V wyznacza liczby a, b, c jednoznacznie. Wobec tego
AV = aAV1 + bAV2 + cAV3 = aV + b(Ä…V2 + ²V3) + c(Å‚V2 + ´V3) =
= aV + (bÄ… + cÅ‚)V2 + (b² + c´)V3 .
Jeśli V jest wektorem w odpowiadaja cym wartości w  , to musi zachodzić
lasnym lasnej
równość
aV1 + bV2 + cV3 = V = AV = aV + b(Ä…V2 + ²V3) + c(Å‚V2 + ´V3) =
= aV + (bÄ… + cÅ‚)V2 + (b² + c´)V3 ,
zatem, ponieważ wektory V1 , V2 , V3 sa wzajemnie prostopad zachodzić musza rów-
le,
noÅ›ci a = a , b = bÄ…+cÅ‚ , c = b² +c´ . Ten uk równaÅ„ z niewiadomymi a, b, c i pa-
lad
rametrem  można przepisać w postaci (1-)a = 0 , (Ä…-)b+Å‚c = 0 , ²b+(´-)c = 0 .


1 -  0 0

Ä… -  Å‚

Wyznacznik tego uk równań to: 0 ą -  ł = (1 - ) =
ladu

² ´ - 

0 ² ´ - 

= (1 - ) (Ä… - )(´ - ) - Å‚² = (1 - ) 2 - (Ä… + ´) + Ä…´ - Å‚² = (1 - )(2 +  + 1) .
Jasne jest, że jeśli  jest liczba rzeczywista , to 2 +  + 1 > 0 , zatem jedynym rzeczy-
wistym parametrem  , dla którego uk równań ma niezerowe rozwia zanie jest  = 1
lad
 ma on niezależnie od wartości  zerowe rozwia zanie, ale nas interesuja rozwia zania
niezerowe. Wtedy jednak musza zachodzić równości b = 0 = c , a wiec jedynymi rzeczy-
wistymi wektorami w
lasnymi tej macierzy sa wektory postaci aV1 , gdzie a " R \ {0} .
Komentarz: Można oczywiście znalez
ć wielomian charakterystyczny, a potem jego
pierwiastki. Okaże sie, że jest on równy (1 - )(2 +  + 1) . Wynika to sta d, że jeśli
A jest dowolna macierza kwadratowa , a D dowolna macierza tego samego wymiaru o
wyznaczniku różnym od zera, to wielomiany charakterystyczne macierzy A i D-1AD
sa równe. Matematycy zwykli mówić, że macierze A i D-1AD sa podobne. W na-
ëÅ‚ öÅ‚
1 -4 12
Å‚Å‚
szym przypadku D =íÅ‚ 4 11 3 (jej kolejne kolumny to wektory V1 , V2 , V3 ) i si
la
8 -5 -3
ëÅ‚ öÅ‚
2 8 16
1
íÅ‚ Å‚Å‚
rzeczy D-1 = -4 11 -5 i jeśli przyjrzeć sie uważnie obliczeniom zaprezento-
162
12 3 -3
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
"
Å‚Å‚,
wanym wyżej, to można zauważyć, że zachodzi równość D-1AD =íÅ‚ 0 -1 3
2 2
"
3
0 - -1
2 2
ale oczywiście tekst komentarza nie jest cześcia rozwia zania.
Dodajmy jeszcze, że jeÅ›li V ·V1 = 0 , czyli jeÅ›li wektor V jest prostopad do wektora
ly
2Ä„
V1 , to również AV ·V1 = 0 oraz AV = V i AV ·V = -1 V 2 = V · AV ·cos .
2 3
2Ä„
Wynika sta d, że wektory AV i V tworza ka t . Sta d wynika, że macierz A to macierz
3
obrotu wokó prostej , która przechodzi przez pocza tek uk wspó
l ladu lrzednych i jest
równoleg do wektora V1 . Z tej geometrycznej interpretacji wynika od razu, że jedyna
la
prosta przechodza ca przez 0 , która jest przekszta na siebie za pomoca odwzoro-
lcana
wania, które przeprowadza punkt V " R3 na punkt A · V , to prosta , czyli oÅ› tego
obrotu.
 2
4. (10 pt.) Znalez
ć rozwia zanie równania różniczkowego (1 + t2)x (t) = 1 + x(t) , które
spe warunek x(0) = 1 .
lnia
Rozwia zanie.

x (t) dt
dt dx
Mamy arctg t + c = = = = arctg x . Sta d x(t) = tg(arctg t + c) .
1+t2 1+x2 1+x2
Ä„
Z równości 1 = x(0) = tg(arctg 0 + c) = tg c wynika, że c = . Wobec tego zachodzi
4
równość:
Ä„
tg(arctg t)+tg
Ä„ t+1
4
x(t) = tg(arctg t + ) = = .
Ä„
4 1-tg(arctg t)·tg 1-t
4
Rozwia zanie jest określone dla t < 1 .
5. (10 pt.) Znalez
ć taka funkcje f: (0, ") - (0, ") zmiennej x , że styczna do jej
wykresu w dowolnym punkcie X = (x, f(x)) przecina dodatnia pó pozioma uk
loÅ› ladu
wspó lkach
lrzednych w punkcie P (x) i pole trójka ta T o wierzcho (0, 0) , P (x) i X jest
3 razy wieksze od pola trójka ta prostoka tnego o wierzcho (0, 0) , który powstaje w wy-
lku
niku podzielenia trójka ta T na dwa trójka ty wysokościa poprowadzona z wierzcho X .
lka
Rozwia zanie.
Ponieważ styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x, f(x)) ma przecinać pozioma oś
uk wspó
ladu lrzednych, wiec f (x) = 0 . Liczba f (x) to tangens ka ta nachylenia stycznej
do dodatniego kierunku osi OX . Wobec tego punktem przeciecia osi OX ze styczna

f(x)
jest punkt x - , 0 (ten wynk można też uzyskać pisza c równanie stycznej do wy-
f (x)

kresu funkcji f w punkcie p, f(p) , czyli y = f (p)(x - p) + f(p) i wstawiaja c 0 w
miejsce y ). Wysokość poprowadzona z wierzcho (x, f(x)) ma być zawarta we wnetrzu
lka
trójka ta T , a to oznacza, że spe jest nierówność f (x) < 0 . Lewy trójka t ma mieć
lniona

f(x)
1 1
trzy razy mniejsze pole niż trójka t T . Oznacza to, że 3· ·x· f(x) = · x- · f(x) ,
2 2 f (x)
f(x)
tzn. 2x = - (podzieliliśmy stronami przez f(x) > 0 i pomnożyliśmy przez 2 ).
f (x)
f (x) -1
"
Mamy wiec = . Sta d ln |f(x)| = -1 ln |x| + C albo f(x) = ąeC 1 .Ponieważ
f(x) 2x 2 x
wartości funkcji maja być dodatnie, wiec rozwia zaniem zadania jest dowolna funkcja
eC
"
postaci f(x) = . Oczywiście w postaci eC można zapisać dowolna liczbe dodatnia
x
(i żadnej innej, bo C oznacza tu liczbe rzeczywista ).
Kilka kwadratów dla potrzebuja cych: 112 = 121 , 122 = 144 , 132 = 169 , 142 = 196 ,
152 = 225 , 162 = 256 , 172 = 289 , 182 = 324 , 192 = 361 , 202 = 400 , 212 = 441 , 222 = 484 ,
232 = 529 , 242 = 576 , 252 = 625 , 262 = 676 , 272 = 729 , 282 = 784 , 292 = 841 , 302 = 900 ,
312 = 961 , 322 = 1024 , 332 = 1089 , 342 = 1156 , 352 = 1225 , 362 = 1296 , 372 = 1369 ,
382 = 1444 , 392 = 1521 , 402 = 1600 , 412 = 1681 , 422 = 1764 , 432 = 1849 , 442 = 1936 ,
452 = 2025 , 462 = 2116 , 472 = 2209 , 482 = 2304 , 492 = 2401 , 502 = 2500 , 512 = 2601 ,
522 = 2704 , 532 = 2809 , 542 = 2916 , 552 = 3025 .
Kilka iloczynów dla potrzebuja cych: 8·12 = 96 , 6·18 = 108 , 4·24 = 96 , 11·24 = 264 ,
4 · 26 = 104 , 3 · 27 = 81 , 5 · 27 = 135 , 11 · 27 = 297 , 4 · 32 = 128 , 5 · 32 = 160 , 8 · 32 = 256 ,
11 · 32 = 352 , 5 · 37 = 185 , 8 · 37 = 296 , 4 · 54 = 216 , 6 · 54 = 324 .