ZESTAW WYBRANYCH
WZORÓW MATEMATYCZNYCH
CiÄ…gi Trygonometria
Funkcje trygonometryczne
CiÄ…g arytmetyczny
Funkcja
CiÄ…g a jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy
^ h
Okres
n
zmiennej D
f
f
podstawowy
rzeczywistej
0 / a = a + r.
r!R n!N+ n + 1 n
f^xh= sin x R -1; 1 2r
f^xh= cos x R -1; 1 2r
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
r
f^xh= tg x R x:/ x = + kr R r
&0
a = a1+^n - 1hr
n
k!C 2
f^xh= ctg x R %x:0 x = k$r/ R r
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
k!C
S = a1+ a2 +f+ a + a
nn - 1 n ZwiÄ…zki mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kÄ…ta
2 2
sin a+ cos a= 1(jedynka trygonometryczna)
Wzór na sum´ n poczÄ…tkowych wyrazów ciÄ…gu arytmetycznego
sina 1
,
tga= = gdy cosa!0 i sina!0
a1+ a $n 72a1+^n - 1hrA$n
^ h
cosa
n ctga
S = =
n
22
cosa 1
,
ctga= = gdy sina!0 i cosa!0
tga
sina
W"asnoĘci ciągu arytmetycznego
tga$ctga= 1, gdy sina!0 i cosa!0
a + a a + a
n - 1 n + 1 n - k n + k
a = = dla 0 < k < n i n H 2
n
22 Funkcje podwojonego kÄ…ta
sin 2a= 2 sinacosa
MonotonicznoĘç:
2 2 2 2
cos 2a= cos a- sin a= 1 - 2 sin a= 2 cos a- 1
ciÄ…g jest rosnÄ…cy, gdy r > 0;
Funkcje trygonometryczne sumy i róŻnicy kątów
ciÄ…g jest malejÄ…cy, gdy r < 0;
sin a+b = sinacosb+ cosasinb
^ h
ciÄ…g jest sta"y, gdy r = 0.
cos a+b = cosacosb- sinasinb
^ h
sin a-b = sinacosb- cosasinb
^ h
CiÄ…g geometryczny
CiÄ…g a jest geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy
^ h
n cos a-b = cosacosb+ sinasinb
^ h
ParzystoĘç i nieparzystoĘç funkcji trygonometrycznych
0 / a = a $q.
q!R n!N+ n + 1 n
sin^-xh=-sin x cos^-xh= cos x
Wzór na n ty wyraz ciągu geometrycznego tg^-xh=-tg x ctg^-xh=-ctg x
n - 1
Tabela znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych çwiartkach
a = a1$q , dla n H 2
n
I II III IV
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
sina ++  
S = a1+ a2 +f+ a + a
nn - 1 n
cosa +  +
tga + +
Wzór na sum´ n poczÄ…tkowych wyrazów ciÄ…gu geometrycznego
Zn$a, gdy q = 1
ctga + +
]
]
n
S = - q
[ a1 1
a k
Tabela wartoĘci funkcji trygonometrycznych dla niektórych miar kąta
n
]
, gdy q!1
]
r r r r
1 - q
0
\
6 4 3 2
x
W"asnoĘci ciągu geometrycznego 0c 30c 45c 60c 90c
2 3
1
a = a $a = a $a , dla 0 < k < n i n H 2
n n + 1 n - 1 n + k n - k sin x 0 1
2 2 2
MonotonicznoĘç:
3 2
1
cos x 1 0
2 2 2
ciÄ…g jest rosnÄ…cy, gdy (q > 1i a1> 0) lub (q ! ^0; 1hi a1< 0)
3
tg x 0 13 nie istn.
ciÄ…g jest malejÄ…cy, gdy (q > 1i a1< 0) lub (q ! ^0; 1hi a1> 0)
3
3
ciÄ…g jest sta"y, gdy q = 1lub a1= 0
ctg x nie istn. 3 1 0
3
D
Geometria analityczna
Odcinek Równanie okr´gu
Y
D"ugoĘç odcinka o koÅ‚
cach w punktach
B = (xB; yB) Równanie okr´gu o Ęrodku w punkcie ^a; bhi promieniu r:
22 2 2 2
A = xA ; yA , B = xB; yB dana jest wzorem:
^ h ^ h
^x - ah +^y - bh = r lub x + y - 2ax - 2by + c = 0,
22 2 2 2
AB = xB - xA + yB - yA . gdzie r = a + b - c > 0.
^ h ^ h
Wspó"rz´dne Ęrodka odcinka AB:
A = (xA; yA) Twierdzenie sinusów i cosinusów
xA + xB yA + yB
Dany jest trójkąt:
; .
eo
O
X
2 2
C
c
Prosta
Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0, Y
b a
2 2
y = ax + b
gdzie A + B !0 (tj. wspó"czynniki A, B nie są
b
a b
równoczeĘnie równe 0).
A c B
JeŻeli prosta nie jest równoleg"a do osi OY, to
ma ona równanie kierunkowe: y = ax + b
a) Twierdzenie sinusów (Snelliusa):
a
Liczba a to wspó"czynnik kierunkowy prostej:
Stosunek d"ugoĘci boków do sinusów kątów przeciwleg"ych jest sta"y
O
X
a = tga. i równy Ęrednicy okr´gu opisanego na trójkÄ…cie:
Prosta przechodzÄ…ca przez dwa dane punkty A = xA; yA , B = xB; yB a b c 2 R
^ h ^ hsina = = =
sinc
sinb
jest wyraŻona równaniem: y - yA xB - xA yB - yA x - xA = 0.
^ h^ h-^ h^ hb) Twierdzenie cosinusów (Carnota):
Kwadrat d"ugoĘci dowolnego boku jest równy sumie kwadratów d"ugoĘci
Prosta i punkt
pozosta"ych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn d"ugoĘci tych bo-
Z
Odleg"oĘç punktu P = x0; y0 od prostej o równaniu Ax + By + C = 0
^ h
] a2 = b2 + c2 - 2b ccosa
]
dana jest wzorem:
Ax0 + By0 + C
ków i cosinusa kÄ…ta zawartego mi´dzy nimi: b2 = a2 + c2 - 2a ccosb
[
.
]
2 2
]
c2 = a2 + b2 - 2a bcosc
A + B
\
Para prostych
Twierdzenie Pitagorasa
Dwie proste, o równaniach kierunkowych y = a1 x + b1 i y = a2 x + b2 spe"-
C
niajÄ… jeden z nast´pujÄ…cych warunków:
 są równoleg"e, gdy a1= a2,
b a
hc
 sÄ… prostopad"e, gdy a1 a2=-1.
a b
A c B
JeŻeli proste dane są równaniami w postaci ogólnej:
Suma kwadratów d"ugoĘci przyprostokątnych jest równa kwadratowi d"u-
A1 x + B1 y + C1= 0, A2 x + B2 y + C2= 0 to odpowiednio:
goĘci przeciwprostokątnej:
 są równoleg"e, gdy A1 B2 - A2 B1= 0,
a2 + b2 = c2
 sÄ… prostopad"e, gdy A1 A2 + B1 B2= 0.
Pola i obwody wybranych figur p"askich
Figury geometryczne Pole Obwód
c $ h
c
Trójkąt: P = L = a + b + c
C
2
c
1
P = b $ c sina
b a
2
h
c
P = p p - a p - b p - c
_ i_ i_ i
b
a
c B
A
P = r p (r  promieł
okr´gu wpisanego w trójkÄ…t)
abc
P = (R  promieł
okr´gu opisanego na trójkÄ…cie)
4R
Y
Równoleg"obok: P = a $ h L = 2a + 2b
B = (xB; yB)
a
P = a b sina
AC $ BD
P = sin{
2
D b C
Trapez:
a + b
P = $ h L = a + b + c + d
a
2
c h d
a
a + b
P = $ c sina
2
a
a
A B
D AC $ BD
Deltoid:
P = L = 2a + 2b
2
b b
A C
a a
B
Ko"o: P = rr2 L = 2rr
r
(d"ugoĘç okr´gu)
S
Stereometria Rachunek algebraiczny
Oznaczenia
WartoĘç bezwzgl´dna liczby
WartoĘç bezwzgl´dnÄ… liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:
P  pole powierzchni ca"kowitej
P  pole powierzchni podstawy x dla x H 0
p
x = * .
-x dla x < 0
Pb  pole powierzchni bocznej
V  obj´toĘç
Liczba x jest to odleg"oĘç na osi liczbowej punktu x od punktu 0.
W szczególnoĘci: x H 0, -x = x .
Prostopad"oĘcian
Dla dowolnych liczb x, y mamy:
H
G
P = 2^ab + bc + ach
x + y G x + y , x - y G x + y , x$y = x $ y .
E
V = abc,
F
gdzie a, b, c sÄ… d"ugoĘciami kraw´dzi x
c
x
Ponadto, jeĘli y!0, to = .
y
prostopad"oĘcianu. y
D
C Pot´gi i pierwiastki
Niech n b´dzie liczbÄ… ca"kowitÄ… dodatniÄ…. Dla dowolnej liczby a
b
a
A B
definiujemy jej n-tÄ… pot´g´:
n
a = a$f$a.
\
n razy
Graniastos"up prosty
I
Pb = 2p$h J
Pierwiastkiem arytmetycznym n a stopnia n z liczby a H 0 nazywamy
n
V = P $h,
H
p liczb´ b H 0 takÄ…, Å»e b = a.
F
gdzie 2p jest obwodem podstawy
G
JeÅ»eli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczb´ b < 0
graniastos"upa.
n
h
taką, Że b = a.
D
E
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniejÄ….
C
Niech m, n b´dÄ… liczbami ca"kowitymi dodatnimi. Definiujemy:
A
B - n 0
1
dla a!0: a = oraz a = 1,
n
a
m
m
Ostros"up n n
dla a H 0: a = a ,
S
1
m
-
V = P $h,
1
n
p
3
dla a > 0: a = .
m
n
a
gdzie h jest wysokoĘcią ostros"upa.
h
Niech r, s b´dÄ… dowolnymi liczbami rzeczywistymi. JeĘli a > 0 i b > 0, to
E
D
zachodzą równoĘci:
C
r
A s
r s r + s r r $ s r - s
a
a $a = a , a = a , = a ,
a k
s
B
a
r r
r r r
a
^a$bh = a $b , bal = .
r
b
Walec b
Pb = 2rrh JeŻeli wyk"adniki r, s są liczbami ca"kowitymi, to powyŻsze wzory
obowiÄ…zujÄ… dla wszystkich liczb a!0, b!0.
P = 2rr^r + hh
2
h
V =rr h,
Silnia
gdzie r jest promieniem podstawy,
SilniÄ… liczby ca"kowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb
O
h wysokoĘcią walca.
r
ca"kowitych:
n! = 1$2$f$n.
Ponadto przyjmujemy umow´, Å»e 0! = 1.
StoŻek
Symbol Newtona
S
Pb =rrl
Dla liczb ca"kowitych n, k spe"niajÄ…cych warunki 0 G k G n definiujemy
P =rr^r + lh
n
n!
symbol Newtona: =
e o
2
1
l k!^n
k - kh!.
V = rr h,
h
3
gdzie r jest promieniem podstawy,
Wzory skróconego mnoŻenia
Z dwumianu Newtona dla n = 2 oraz n = 3 otrzymujemy dla dowolnych
h  wysokoĘcią,
O
r
liczb a, b:
l  d"ugoĘcią tworzącej stoŻka.
2 22 3 3 2 2 3
^a + bh = a + 2ab + b , ^a + bh = a + 3a b + 3ab + b ,
Kula
2 22 3 3 2 2 3
2
^a - bh = a - 2ab + b , ^a - bh = a - 3a b + 3ab - b .
P = 4rr
3
4
r 2 2 3 3 2 2
V = rr ,
a - b =^a - bh^a + bh, a - b =^a - bha k
a + ab + b ,
3 O
gdzie r jest promieniem kuli.
3 3 2 2
a + b =^a + bha - ab + b k
a
Funkcje Kombinatoryka
Funkcja i jej w"asnoĘci Permutacje
Liczba sposobów, w jaki n H 1elementów moÅ»na ustawiç w ciÄ…g, jest
Funkcja rosnÄ…ca: / x1< x2& f x1 < f x2
^ h ^ h
x1, x2! X 1D
f
równa n!.
Funkcja malejÄ…ca: / x1< x2& f x1 > f x2
^ h ^ h
x1, x2!X 1D
f
Wariacje bez powtórzeł

Funkcja nierosnÄ…ca: / x1< x2& f x1 H f x2
^ h ^ h
x1, x2! X 1D
Liczba sposobów, w jaki z n elementów moÅ»na utworzyç ciÄ…g, sk"adajÄ…cy
f
Funkcja niemalejÄ…ca: / x1< x2& f x1 G f x2 si´ z k^1 G k G nhróŻnych wyrazów, jest równa
^ h ^ h
x1, x2! X 1D
f
n!
n$^n - 1h$f$^n - k + 1h=
Funkcja ograniczona: 0 / f^xh G M
^n - kh!.
M !R x!Df
Funkcja parzysta: / 8-x ! Df / f^-xh= f^xhB
x!Df
Wariacje z powtórzeniami
Funkcja nieparzysta: / 8-x ! Df / f^-xh=- f^xhB Liczba sposobów, w jaki z n elementów moÅ»na utworzyç ciÄ…g, sk"adajÄ…cy
x!Df
k
si´ z k niekoniecznie róŻnych wyrazów, jest równa n .
Funkcja kwadratowa
Kombinacje
a) Funkcja kwadratowa (inaczej: trójmian kwadratowy) jest to funkcja po-
Liczba sposobów, w jaki spoĘród n elementów moÅ»na wybraç
staci y = ax2 + bx + c, x ! R, a ! R 0-, b, c ! R.
#
n
Uwaga: Gdyby a = 0, to funkcja by"aby liniowa: y = bx + c.
k^0 G k G nhelementów, jest równa .
e o
k
b) WyróŻnik trójmianu kwadratowego to liczba " = b2 - 4ac.
c) Dziedzina i zbiór wartoĘci funkcji kwadratowej:
D = R
f
Z
"
] Rachunek prawdopodobieł
stwa
- ; +3 dla a > 0
o
] 4a
"
  
YW =
[
4a
W
Klasyczna definicja prawdopodobieł
stwa
]d-3; - " dla a 0
<
] 4a
"
   Niech Xb´dzie skoÅ‚
czonym zbiorem wszystkich zdarzeł
elementarnych.
\
4a
W
JeŻeli zajĘcie kaŻdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdo-
podobne, to prawdopodobieł
stwo zajĘcia zdarzenia A 1 Xjest równe
d) Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola:
A
P^Ah= ,
X
gdzie A oznacza liczb´ elementów zbioru A, zaĘ X liczb´ elementów
0 zbioru X.
dla a > 0
dla a < 0 W"asnoĘci prawdopodobieł
stwa
(ramiona ku górze)
(ramiona w dó")
0 G P^Ah G 1dla kaŻdego zdarzenia A 1 X
P^Xh= 1, X zdarzenie pewne
P^Qh= 0, Q zdarzenie niemoŻliwe (pusty podzbiór X)
Istnienie miejsc zerowych Liczba miejsc zerowych
P^Ah G P^Bh, gdy A 1 B 1 X
P^A,Bh= P^Ah + P^Bh- P^A+Bhdla dowolnych zdarzeł

" > 0 Dwa miejsca zerowe
-b - " -b + " A, B 1 X, zatem P^A,Bh G P^Ah + P^Bhdla dowolnych zdarzeł

IstniejÄ…. x1= ; x2 = .
2a 2a
A, B 1 X.
" = 0 Jedno miejsce zerowe
x1= x2 ozn.x0
=
Zdarzenia niezaleŻne
b
x0 =-
Zdarzenia A 1 Xi B 1 Xsą niezaleŻne, gdy P^A+Bh= P^Ah$P^Bh.
2a_=pi
Prawdopodobieł
stwo warunkowe
" < 0 Nie istniejÄ…. Úadnych miejsc zerowych
Niech A, B 1 Xb´dÄ… zdarzeniami, przy czym P^Bh> 0.
Prawdopodobieł
stwem warunkowym P^A | BhzajĘcia zdarzenia A
Wzory Viéte a
pod warunkiem, Å»e zasz"o zdarzenie B, nazywamy liczb´:
Za"oŻenie: " H 0 (istnieją miejsca zerowe)
P^A+Bh
Wówczas:
P^A | Bh= .
P^Bh
b c
suma: x1 + x2 =- $ x2 =
a, iloczyn: x1 a