z matematyki

egzamin

z
egzaminacyjnych.

i


S
1. ............................................................................ 1
2. ........................................................................................... 1
3. Logarytmy........................................................................................................ 2
4. ................................................................ 2
5. Wzór dwumianowy Newtona........................................................................... 2
6. ........................................................................... 3
7. ................................................................................................................. 3
8. Funkcja kwadratowa ........................................................................................ 4
9. Geometria analityczna...................................................................................... 4
10. Planimetria ....................................................................................................... 6
11. Stereometria ................................................................................................... 12
12. Trygonometria................................................................................................ 14
13. Kombinatoryka............................................................................................... 15
14. .................................................................... 15
15. Parametry danych statystycznych .................................................................. 16
16. ............................................... 17
1. WARTO BEZWZGL DNA LICZBY
Warto bezwzgl dn liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:
x dla x 0

x

x dla x 0
Liczba x jest to odleg o na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególno ci:
x 0 x x
Dla dowolnych liczb x, y mamy:
x y x y x y x y x y x y
x
x
Ponadto, je li y 0 , to
y y
Dla dowolnych liczb a oraz r 0 mamy warunki równowa ne:
x a r a r x a r
x a r x a r lub x a r
2. POT GI I PIERWIASTKI
Niech n b dzie liczb ca kowit dodatni . Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n t pot g :
an a ... a

n razy
n
Pierwiastkiem arytmetycznym a stopnia n z liczby a 0 nazywamy liczb b 0 tak ,
e bn a .
W szczególno ci, dla dowolnej liczby a zachodzi równo : a2 a .
n
Je eli a 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to a oznacza liczb b 0 tak , e bn a .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniej .
_____ _____
*
Niech m, n b d liczbami ca kowitymi dodatnimi. Definiujemy:
1
dla a 0 : a n oraz a0 1
an
m
n
n
dla a 0 : a am
m

1
n
dla a 0 : a
n
am
Niech r, s b d dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Je li a 0 i b 0 , to zachodz
równo ci:
s
ar
ar as ar s ar ar s ar s

as
r
a ar
r
a b ar br


b br

Je eli wyk adniki r, s s liczbami ca kowitymi, to powy sze wzory obowi zuj
dla wszystkich liczb a 0 i b 0 .
1
3. LOGARYTMY
Niech a 0 i a 1. Logarytmem loga c liczby c 0 przy podstawie a nazywamy wyk adnik
b pot gi, do której nale y podnie podstaw a, aby otrzyma liczb c:
loga c b ab c
Równowa nie:
a
alog c c
Dla dowolnych liczb x 0 , y 0 oraz r zachodz wzory:
x
loga x y loga x loga y loga xr r loga x loga loga x loga y

y
Wzór na zamian podstawy logarytmu:
je eli a 0 , a 1, b 0 , b 1 oraz c 0 , to
loga c
logb c
loga b
log x oraz lg x oznacza log10 x .
4. SILNIA. WSPÓ CZYNNIK DWUMIANOWY
Silni liczby ca kowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb ca kowitych
od 1 do n w cznie:
n! 1 2 ... n
Ponadto przyjmujemy umow , e 0! 1.
Dla dowolnej liczby ca kowitej n 0 zachodzi zwi zek:
n 1 ! n! n 1

_____ _____
*
Dla liczb ca kowitych n, k spe niaj cych warunki 0 k n definiujemy wspó czynnik
n

dwumianowy (symbol Newtona):
k

n
n!


k k! n k !


Zachodz równo ci:
n n n 1 n 2 ... n k 1



k 1 2 3 ... k

n n n n

1 1

k n k 0 n

5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA
Dla dowolnej liczby ca kowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:
n n n n n

n
n n 1 n k
a b abn 1 bn

0 a 1 a b ... a bk ...
k n 1 n

2
6. WZORY SKRÓCONEGO MNO ENIA
Dla dowolnych liczb a, b:
2 3
a b a2 2ab b2 a b a3 3a2b 3ab2 b3

2 3
a b a2 2ab b2 a b a3 3a2b 3ab2 b3

Dla dowolnej liczby ca kowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór:
an bn a b an 1 an 2b ... an kbk 1 ... abn 2 bn 1


W szczególno ci:
a2 b2 a b a b a2 1 a 1 a 1

a3 b3 a b a2 ab b2 a3 1 a 1 a2 a 1


a3 b3 a b a2 ab b2 a3 1 a 1 a2 a 1


an 1 a 1 1 a ... an 1


7. CI GI
Ci g arytmetyczny
Wzór na n ty wyraz ci gu arytmetycznego an o pierwszym wyrazie a1 i ró nicy r:

an a1 n 1 r

Wzór na sum Sn a1 a2 ... an pocz tkowych n wyrazów ci gu arytmetycznego:
2a1 n 1 r
a1 an
Sn n n
2 2
Mi dzy s siednimi wyrazami ci gu arytmetycznego zachodzi zwi zek:
an 1 an 1
an dla n 2
2
Ci g geometryczny
Wzór na n ty wyraz ci gu geometrycznego an o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:

an a1 qn 1 dla n 2
Wzór na sum Sn a1 a2 ... an pocz tkowych n wyrazów ci gu geometrycznego:

1 qn
dla q 1
a
1
Sn 1 q

n a1 dla q 1

Mi dzy s siednimi wyrazami ci gu geometrycznego zachodzi zwi zek:
2
an an 1 an 1 dla n 2
Procent sk adany
Je eli kapita pocz tkowy K z o ymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat
wynosi p% w skali rocznej, to kapita ko cowy K wyra a si wzorem:
n
n
p

K K 1
n
100

3
8. FUNKCJA KWADRATOWA
Posta ogólna funkcji kwadratowej: f x ax2 bx c , a 0 , x R .

Wzór ka dej funkcji kwadratowej mo na doprowadzi do postaci kanonicznej:
2 b
f x a x p q , gdzie p , q , b2 4ac

2a 4a
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzcho ku w punkcie o wspó rz dnych p, q .

Ramiona paraboli skierowane s do góry, gdy a 0 , do do u, gdy a 0 .
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f x ax2 bx c (liczba pierwiastków

trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwi za równania ax2 bx c 0 ), zale y
od wyró nika b2 4ac :
je eli 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy
nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwi za
rzeczywistych),
je eli 0 , to funkcja kwadratowa ma dok adnie jedno miejsce zerowe (trójmian
kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dok adnie jedno
b
rozwi zanie rzeczywiste): x1 x2
2a
je eli 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy
ma dwa ró ne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwi zania
rzeczywiste):
b b
x1 x2
2a 2a
Je li 0 , to wzór funkcji kwadratowej mo na doprowadzi do postaci iloczynowej:
f x a x x1 x x2

Wzory Viéte a
Je eli 0 to
b c
x1 x2 x1 x2
a a
9. GEOMETRIA ANALITYCZNA
Odcinek
D ugo odcinka o ko cach w punktach
y
A xA, yA , B xB, yB dana jest wzorem:

B xB, yB

2 2
AB xB xA yB yA

Wspó rz dne rodka odcinka AB:
A xA, yA

xA xB yA yB

,
O

x
2 2

4
 Wektory


Wspó rz dne wektora AB :


AB xB xA, yB yA


Je eli u u1,u2 , v v1,v2 s wektorami, za a jest liczb , to


u v u1 v1,u2 v2 a u a u1, a u2

Prosta
Równanie ogólne prostej:
Ax By C 0 ,
gdzie A2 B2 0 (tj. wspó czynniki A, B nie s równocze nie równe 0).
Je eli A 0 , to prosta jest równoleg a do osi Ox; je eli B 0 , to prosta jest równoleg a
do osi Oy; je eli C 0 , to prosta przechodzi przez pocz tek uk adu wspó rz dnych.
y
y ax b
Je eli prosta nie jest równoleg a do osi Oy, to ma ona
równanie kierunkowe:
b
y ax b
Liczba a to wspó czynnik kierunkowy prostej:
a tg

Wspó czynnik b wyznacza na osi Oy punkt,
w którym dana prosta j przecina.
O
x
Równanie kierunkowe prostej o wspó czynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt
P x0, y0 :

y a x x0 y0

Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty A xA, yA , B xB, yB :

y yA xB xA yB yA x xA 0

Prosta i punkt
Odleg o punktu P x0, y0 od prostej o równaniu Ax By C 0 jest dana wzorem:

Ax0 By0 C
A2 B2
Para prostych
Dwie proste o równaniach kierunkowych
y a1x b1 y a2x b2
spe niaj jeden z nast puj cych warunków:
s równoleg e, gdy a1 a2
s prostopad e, gdy a1a2 1
a1 a2
tworz k t ostry i tg
1 a1a2
5
Dwie proste o równaniach ogólnych:
A1x B1y C1 0 A2x B2 y C2 0
s równoleg e, gdy A1B2 A2B1 0
s prostopad e, gdy A1A2 B1B2 0
A1B2 A2B1
tworz k t ostry i tg
A1A2 B1B2
Trójk t
Pole trójk ta ABC o wierzcho kach A xA, yA , B xB, yB , C xC , yC , jest dane

wzorem:
1
P ABC xB xA yC yA yB yA xC xA

2
rodek ci ko ci trójk ta ABC, czyli punkt przeci cia jego rodkowych, ma wspó rz dne:
xA xB xC yA yB yC

,

3 3

Przekszta cenia geometryczne

przesuni cie o wektor u a,b przekszta ca punkt A x, y na punkt


A x a, y b


symetria wzgl dem osi Ox przekszta ca punkt A x, y na punkt A x, y


symetria wzgl dem osi Oy przekszta ca punkt A x, y na punkt A x, y

symetria wzgl dem punktu a,b przekszta ca punkt A x, y na punkt


A 2a x, 2b y

jednok adno o rodku w punkcie 0,0 i skali s 0 przekszta ca punkt A x, y


na punkt A sx, sy

Równanie okr gu
Równanie okr gu o rodku w punkcie S a,b i promieniu r 0 :

2 2
x a y b r2

lub x2 y2 2ax 2by c 0 gdy r2 a2 b2 c 0
10. PLANIMETRIA
Cechy przystawania trójk tów
C F
A B D E
6
To, e dwa trójk ty ABC i DEF s przystaj ce ( ABC DEF ), mo emy stwierdzi
na podstawie ka dej z nast puj cych cech przystawania trójk tów:
cecha przystawania  bok  bok  bok :
odpowiadaj ce sobie boki obu trójk tów maj te same d ugo ci: AB DE ,
AC DF , BC EF
cecha przystawania  bok  k t  bok :
dwa boki jednego trójk ta s równe odpowiadaj cym im bokom drugiego trójk ta
oraz k t zawarty mi dzy tymi bokami jednego trójk ta ma tak sam miar
jak odpowiadaj cy mu k t drugiego trójk ta, np. AB DE , AC DF ,
BAC EDF
cecha przystawania  k t  bok  k t :
jeden bok jednego trójk ta ma t sam d ugo , co odpowiadaj cy mu bok drugiego
trójk ta oraz miary odpowiadaj cych sobie k tów obu trójk tów, przyleg ych do boku,
s równe, np. AB DE , BAC EDF , ABC DEF
Cechy podobie stwa trójk tów
C
F
E
A B D
To, e dwa trójk ty ABC i DEF s podobne ( ABC ~ DEF ), mo emy stwierdzi
na podstawie ka dej z nast puj cych cech podobie stwa trójk tów:
cecha podobie stwa  bok  bok  bok :
d ugo ci boków jednego trójk ta s proporcjonalne do odpowiednich d ugo ci boków
AB AC BC
drugiego trójk ta, np.
DE DF EF
cecha podobie stwa  bok  k t  bok :
d ugo ci dwóch boków jednego trójk ta s proporcjonalne do odpowiednich d ugo ci
dwóch boków drugiego trójk ta i k ty mi dzy tymi parami boków s przystaj ce, np.
AB AC
, BAC EDF
DE DF
cecha podobie stwa  k t  k t  k t :
dwa k ty jednego trójk ta s przystaj ce do odpowiednich dwóch k tów drugiego
trójk ta (wi c te i trzecie k ty obu trójk tów s przystaj ce): BAC EDF ,
ABC DEF , ACB DFE
7
Przyjmujemy oznaczenia w trójk cie ABC:
a, b, c  d ugo ci boków, le cych odpowiednio
C
naprzeciwko wierzcho ków A, B, C

2 p a b c  obwód trójk ta
b
, ,  miary k tów przy
a
wierzcho kach A, B, C
ha , hb , hc  wysoko ci opuszczone


A B
z wierzcho ków A, B, C
c
R, r  promienie okr gów opisanego
i wpisanego
Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
W trójk cie ABC k t jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a2 b2 c2 .
Zwi zki miarowe w trójk cie prostok tnym
Za ó my, e k t jest prosty. Wówczas:
C 2
hc AD DB

ab
hc
b
c
hc a
a c sin c cos


. 1
a b tg b
B
A
c
D tg
1 a b c
R c r p c
2 2
Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie sinusów
a2 b2 c2 2bc cos
a b c
2R
b2 a2 c2 2ac cos
sin sin sin
c2 a2 b2 2ab cos
Trójk t równoboczny
Wzory na pole trójk ta
1 1 1
a  d ugo boku
P ABC a ha b hb c hc
2 2 2
h  wysoko trójk ta
1
P ABC a b sin
2
a 3
h
1 sin sin
2
P ABC a2 2R2 sin sin sin
2 sin
a2 3
abc
P
P ABC rp p p a p b p c

4
4R
8
 Twierdzenie Talesa

Je eli proste równoleg e AA i BB przecinaj dwie proste, które przecinaj si w punkcie O, to
OA OB
.

OA OB
B
B

A O
A

B
O
A

A B
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Je eli proste AA i BB przecinaj dwie proste, które przecinaj si w punkcie O oraz
OA OB

, to proste AA i BB s równoleg e.

OA OB
Czworok ty
Trapez
b
D
C
Czworok t, który ma co najmniej jedn par
boków równoleg ych.
Wzór na pole trapezu:
h
a b
P h
E
A B
2
a
Równoleg obok
D
C
Czworok t, który ma dwie pary boków
równoleg ych.
h
b Wzory na pole równoleg oboku:

1
P ah a b sin AC BD sin
B
A
a
2
D C
Romb
Czworok t, który ma dwie pary boków
h równoleg ych jednakowej d ugo ci.
Wzory na pole rombu:

1
P ah a2 sin AC BD
A B
a
2
D
Deltoid
Czworok t, który ma o symetrii, zawieraj c
A
jedn z przek tnych.
C
Wzór na pole deltoidu:
1
P AC BD
B
2
9
 Ko o
Wzór na pole ko a o promieniu r:
r
P r2
Obwód ko a o promieniu r:
O
Ob 2 r
Wycinek ko a
Wzór na pole wycinka ko a o promieniu r
i k cie rodkowym wyra onym
A
w stopniach:
r

P r2
O
360
D ugo uku wycinka ko a o promieniu r
B
i k cie rodkowym wyra onym

w stopniach: l 2 r
360
K ty w okr gu

Miara k ta wpisanego w okr g jest równa

po owie miary k ta rodkowego, opartego
na tym samym uku.

O
2
Miary k tów wpisanych w okr g, opartych
na tym samym uku, s równe.
B
A
Twierdzenie o k cie mi dzy styczn i ci ciw
B B
O
O
A A
C C
Dany jest okr g o rodku w punkcie O i jego ci ciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego
okr gu w punkcie A. Wtedy AOB 2 CAB , przy czym wybieramy ten z k tów
rodkowych AOB, który jest oparty na uku znajduj cym si wewn trz k ta CAB.
10
 Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej
Dane s : prosta przecinaj ca okr g w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okr gu
w punkcie C. Je eli proste te przecinaj si w punkcie P, to
2
PA PB PC
A
B
.
P
C
Okr g opisany na czworok cie
C

B

Na czworok cie mo na opisa okr g wtedy
i tylko wtedy, gdy sumy miar jego
przeciwleg ych k tów wewn trznych
s równe 180°:

D
180

A
Okr g wpisany w czworok t
C
c
D
W czworok t wypuk y mo na wpisa okr g
r
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy d ugo ci jego
b
przeciwleg ych boków s równe:
d
a c b d
B
a
A
11
11. STEREOMETRIA
Twierdzenie o trzech prostych prostopad ych
k
l
P
m
Prosta k przebija p aszczyzn w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostok tnym prostej k na t
p aszczyzn . Prosta m le y na tej p aszczy nie i przechodzi przez punkt P.
Wówczas prosta m jest prostopad a do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopad a
do prostej l.
Oznaczenia
P  pole powierzchni ca kowitej
Pb  pole powierzchni bocznej
P  pole powierzchni podstawy
p V  obj to
Prostopad o cian
H G
E
F
P 2 ab bc ac

c
V abc
gdzie a, b, c s d ugo ciami kraw dzi
C prostopad o cianu
D
b
A
B
a
Graniastos up prosty
I
J
H
Pb 2 p h
F G
V P h
p
gdzie 2 p jest obwodem podstawy
h
graniastos upa
D
E
C
A B
12
 Ostros up
S
1
V P h
h
p
3
D
gdzie h jest wysoko ci ostros upa
E
C
B
A
Walec
Pb 2 rh
P 2 r r h

h
V r2h
gdzie r jest promieniem podstawy,
h wysoko ci walca
r
O
Sto ek
S
Pb rl
P r r l

1
l V r2h
h
3
gdzie r jest promieniem podstawy,
h wysoko ci , l d ugo ci tworz cej sto ka
r
O
Kula
P 4 r2
4
r
V r3
O
3
gdzie r jest promieniem kuli
13
12. TRYGONOMETRIA
Definicje funkcji trygonometrycznych
y
y
sin
M=(x, y)
r
x
cos
r
r
y
tg , gdy x 0
x

gdzie r x2 y2 0 jest
O
M x
promieniem wodz cym punktu M
Wykresy funkcji trygonometrycznych
y sin x
y tg x
y cos x
Zwi zki mi dzy funkcjami tego samego k ta
sin2 cos2 1
sin
tg dla k k  ca kowite
cos 2
Niektóre warto ci funkcji trygonometrycznych
0 30 45 60 90

0
6 4 3 2
1
2 3
sin 0 1
2
2 2
1
3 2
cos 1 0
2
2 2
3 nie
tg 0 1
3
istnieje
3
14
 Funkcje sumy i ró nicy k tów
Dla dowolnych k tów , zachodz równo ci:
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin

Ponadto mamy równo ci:
tg tg tg tg
tg tg

1 tg tg 1 tg tg
które zachodz zawsze, gdy s okre lone i mianownik prawej strony nie jest zerem.
Funkcje podwojonego k ta
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
13. KOMBINATORYKA
Wariacje z powtórzeniami
Liczba sposobów, na które z n ró nych elementów mo na utworzy ci g, sk adaj cy si
z k niekoniecznie ró nych wyrazów, jest równa nk.
Wariacje bez powtórze
Liczba sposobów, na które z n ró nych elementów mo na utworzy ci g, sk adaj cy si
z k (1 k n ) ró nych wyrazów, jest równa
n!
n n 1 ... n k 1

n k !

Permutacje
Liczba sposobów, na które n 1 ró nych elementów mo na ustawi w ci g, jest równa n!.
Kombinacje
Liczba sposobów, na które spo ród n ró nych elementów mo na wybra k ( 0 k n )
n

elementów, jest równa .
k

14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA
W asno ci prawdopodobie stwa
0 P A 1 dla ka dego zdarzenia A

P 1  zdarzenie pewne

P 0  zdarzenie niemo liwe (pusty podzbiór )

P A P B gdy A B


P A 1 P A , gdzie A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A

P A B P A P B P A B , dla dowolnych zdarze A, B

P A B P A P B , dla dowolnych zdarze A, B

15
 Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobie stwa
Niech b dzie sko czonym zbiorem wszystkich zdarze elementarnych. Je eli wszystkie
zdarzenia jednoelementowe s jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobie stwo zdarzenia
A jest równe
A
P A


gdzie A oznacza liczb elementów zbioru A, za  liczb elementów zbioru .
15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH
rednia arytmetyczna
rednia arytmetyczna n liczb a1, a2,..., an jest równa:
a1 a2 ... an
a
n
rednia wa ona
rednia wa ona n liczb a1, a2,..., an , którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi
w1, w2,..., wn jest równa:
w1 a1 w2 a2 ... wn an
w1 w2 ... wn
rednia geometryczna
rednia geometryczna n nieujemnych liczb a1, a2,..., an jest równa:
n
a1 a2 ... an
Mediana
Median uporz dkowanego w kolejno ci niemalej cej zbioru n danych liczbowych
a1 a2 a3 ... an jest:
dla n nieparzystych: an 1 ( rodkowy wyraz ci gu)
2

1
dla n parzystych: an an ( rednia arytmetyczna rodkowych wyrazów ci gu)

1
2
2 2
Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancj n danych liczbowych a1, a2,..., an o redniej arytmetycznej a jest liczba:
2 2 2
2 2 2
a1 a a2 a ... an a
a1 a2 ... an 2
2
a

n n
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.
16
16. T CJI TRYGONOMETRYCZNYCH
sin sin
tg tg
[ ] [ ] [ ] [ ]
cos cos
0 0,0000 0,0000 90 46 0,7193 1,0355 44
1 0,0175 0,0175 89 47 0,7314 1,0724 43
2 0,0349 0,0349 88 48 0,7431 1,1106 42
3 0,0523 0,0524 87 49 0,7547 1,1504 41
4 0,0698 0,0699 86 50 0,7660 1,1918 40
5 0,0872 0,0875 85 51 0,7771 1,2349 39
6 0,1045 0,1051 84 52 0,7880 1,2799 38
7 0,1219 0,1228 83 53 0,7986 1,3270 37
8 0,1392 0,1405 82 54 0,8090 1,3764 36
9 0,1564 0,1584 81 55 0,8192 1,4281 35
10 0,1736 0,1763 80 56 0,8290 1,4826 34
11 0,1908 0,1944 79 57 0,8387 1,5399 33
12 0,2079 0,2126 78 58 0,8480 1,6003 32
13 0,2250 0,2309 77 59 0,8572 1,6643 31
14 0,2419 0,2493 76 60 0,8660 1,7321 30
15 0,2588 0,2679 75 61 0,8746 1,8040 29
16 0,2756 0,2867 74 62 0,8829 1,8807 28
17 0,2924 0,3057 73 63 0,8910 1,9626 27
18 0,3090 0,3249 72 64 0,8988 2,0503 26
19 0,3256 0,3443 71 65 0,9063 2,1445 25
20 0,3420 0,3640 70 66 0,9135 2,2460 24
21 0,3584 0,3839 69 67 0,9205 2,3559 23
22 0,3746 0,4040 68 68 0,9272 2,4751 22
23 0,3907 0,4245 67 69 0,9336 2,6051 21
24 0,4067 0,4452 66 70 0,9397 2,7475 20
25 0,4226 0,4663 65 71 0,9455 2,9042 19
26 0,4384 0,4877 64 72 0,9511 3,0777 18
27 0,4540 0,5095 63 73 0,9563 3,2709 17
28 0,4695 0,5317 62 74 0,9613 3,4874 16
29 0,4848 0,5543 61 75 0,9659 3,7321 15
30 0,5000 0,5774 60 76 0,9703 4,0108 14
31 0,5150 0,6009 59 77 0,9744 4,3315 13
32 0,5299 0,6249 58 78 0,9781 4,7046 12
33 0,5446 0,6494 57 79 0,9816 5,1446 11
34 0,5592 0,6745 56 80 0,9848 5,6713 10
35 0,5736 0,7002 55 81 0,9877 6,3138 9
36 0,5878 0,7265 54 82 0,9903 7,1154 8
37 0,6018 0,7536 53 83 0,9925 8,1443 7
38 0,6157 0,7813 52 84 0,9945 9,5144 6
39 0,6293 0,8098 51 85 0,9962 11,4301 5
40 0,6428 0,8391 50 86 0,9976 14,3007 4
41 0,6561 0,8693 49 87 0,9986 19,0811 3
42 0,6691 0,9004 48 88 0,9994 28,6363 2
43 0,6820 0,9325 47 89 0,9998 57,2900 1
44 0,6947 0,9657 46 90 1,0000  0
45 0,7071 1,0000 45
17