Matematyka I/II
Materiał realizowany na wykładzie
1. Wiadomości wstępne: elementy logiki, zbiory liczbowe, elementy rachunku
zbiorów, potęga liczby rzeczywistej, logarytm liczby rzeczywistej, wartość
bezwzględna liczby rzeczywistej, zapis dziesiętny liczby rzeczywistej.
2. Funkcje  podstawowe określenia: pojęcie funkcji, nieformalna i formalna
definicja funkcji, definicja wykresu funkcji, własności funkcji rzeczywistych
(różnowartościowość, odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne, okresowość,
parzystość/nieparzystość, ograniczoność, monotoniczność), złożenie funk-
cji, funkcja odwrotna, przekształcanie wykresu funkcji.
3. Funkcje elementarne: funkcje liniowe, funkcje kwadratowe, wielomiany,
funkcje wymierne, funkcje potęgowe, funkcje pierwiastkowe, funkcje wy-
kładnicze, funkcje logarytmiczne, funkcje trygonometryczne, funkcje cy-
klometryczne, funkcje hiperboliczne.
4. Granica funkcji: otoczenie i sąsiedztwo punktu, definicja granicy właści-
wej funkcji w punkcie, interpretacja geometryczna definicji granicy właści-
wej funkcji w punkcie, definicja granicy jednostronnej właściwej funkcji w
punkcie, definicja granicy niewłaściwej funkcji w punkcie, definicja granicy
jednostronnej niewłaściwej funkcji w punkcie, warunek istnienia granicy
funkcji w punkcie, definicja granicy właściwej funkcji w nieskończoności,
definicja granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności, twierdzenia o gra-
nicach funkcji, ważne granice funkcji elementarnych.
5. Ciągłość funkcji: definicja ciągłości funkcji w punkcie, definicja funkcji
ciągłej jednostronnie w punkcie, działania na funkcjach ciągłych, własności
funkcji ciągłych.
6. Pochodna funkcji: definicja ilorazu różnicowego, interpretacja geometrycz-
na ilorazu różnicowego, definicja pochodnej funkcji w punkcie, interpreta-
cja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie, definicja pochodnej jed-
nostronnej funkcji w punkcie, funkcja pochodna funkcji, związek między
różniczkowalnością i ciągłością funkcji, reguły różniczkowania, różniczka
funkcji, pochodne wyższych rzędów funkcji.
7. Twierdzenia o wartości średniej: twierdzenie Rolle a, twierdzenie Lagran-
ge a, uogólnienie twierdzenia Lagrange a  wzór Maclaurina.
8. Zastosowania rachunku różniczkowego: ekstrema funkcji, ekstrema lokal-
ne właściwe, warunek konieczny istnienia ekstremum, pierwszy warunek
wystarczający istnienia ekstremum, drugi warunek wystarczający istnie-
nia ekstremum, uogólnienie drugiego warunku wystarczającego istnienia
ekstremum, wypukłość/wklęsłość funkcji, warunek wystarczający wypu-
kłości/wklęsłości funkcji w punkcie, warunek konieczny istnienia punktu
przegięcia, warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia, wyrażenia
1
nieoznaczone, reguła de l Hospitala, asymptoty, badanie przebiegu zmien-
ności funkcji.
9. Ciągi liczbowe: definicja ciągu liczbowego nieskończonego, ważne przy-
kłady ciągów liczbowych, definicja granicy właściwej ciągu liczbowego,
definicja granicy niewłaściwej ciągu liczbowego, własności granic ciągów
liczbowych, ważne granice pewnych ciągów liczbowych, liczba e.
10. Szeregi liczbowe: definicja szeregu liczbowego, szereg liczbowy zbieżny/roz-
bieżny, warunek konieczny zbieżności szeregu, warunki wystarczające zbież-
ności szeregów (kryterium porównawcze, kryterium d Alemberta, kryte-
rium Cauchy ego).
11. Ciągi i szeregi funkcyjne: pojęcie ciągu funkcyjnego, definicja zbieżności
punktowej ciągu funkcyjnego, pojęcie szeregu funkcyjnego, pojęcie sze-
regu funkcyjnego punktowo zbieżnego, definicja szeregu potęgowego, pro-
mień zbieżności szeregu potęgowego (twierdzenie d Alemberta, twierdzenie
Cauchy ego-Hadamarda), rozwijanie funkcji w szereg potęgowy Maclauri-
na/Taylora.
12. Całka nieoznaczona: definicja funkcji pierwotnej, podstawowe twierdzenie
o funkcji pierwotnej, warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej,
definicja całki nieoznaczonej, reguły całkowania, całkowanie funkcji wy-
miernych, całkowanie funkcji niewymiernych, całkowanie funkcji trygono-
metrycznych.
13. Całka oznaczona: definicja całki oznaczonej Riemanna, twierdzenia o cał-
kowalności funkcji, interpretacja geometryczna całki oznaczonej, własności
całek oznaczonych, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, całkowa-
nie przez części i przez podstawienie.
14. Zastosowania rachunku całkowego: obliczanie pola figury, obliczanie pola
wycinka, obliczanie długości łuku, obliczanie objętości bryły obrotowej,
obliczanie pola powierzchni bryły obrotowej, obliczanie wielkości fizycz-
nych.
15. Całka niewłaściwa: pojęcie całki niewłaściwej, definicja całki niewłaściwej
pierwszego rodzaju, definicja całki niewłaściwej drugiego rodzaju.
16. Szeregi Fouriera: definicja szeregu Fouriera, rozwijanie funkcji w szereg
Fouriera, kryterium Dirichleta zbieżności rozwinięcia funkcji w szereg Fo-
uriera.
17. Liczby zespolone: postać ogólna, postać trygonometryczna, postać wy-
kładnicza, wzór Eulera, sprzężenie liczby zespolonej, działania na liczbach
zespolonych.
18. Równania różniczkowe zwyczajne: definicja równania różniczkowego zwy-
czajnego, klasyfikacja równań różniczkowych zwyczajnych, rozwiązania
2
równania różniczkowego zwyczajnego (całka ogólna, całka szczególna, cał-
ka osobliwa), metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
pierwszego rzędu (metoda rozdzielenia zmiennych, metoda podstawienia,
metoda uzmienniania stałej), zagadnienie o warunku początkowym dla
rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu, rów-
nania różniczkowe zwyczajne liniowe jednorodne drugiego rzędu (istnienie
rozwiązania ogólnego, pojęcie wrońskianu), równania różniczkowe zwy-
czajne liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach (rów-
nanie charakterystyczne, rozwiązania szczególne i ogólne), zagadnienie o
warunkach początkowych dla rozwiązania równania różniczkowego zwy-
czajnego drugiego rzędu, zagadnienie o warunkach brzegowych dla roz-
wiązania równania różniczkowego zwyczajnego drugiego rzędu.
19. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcie zbioru płaskiego, definicja funkcji dwóch
zmiennych, definicja wykresu funkcji dwóch zmiennych, definicja granicy
podwójnej funkcji dwóch zmiennych w punkcie, definicja ciągłości funkcji
dwóch zmiennych w punkcie, pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmien-
nych, pochodne cząstkowe funkcji złożonej dwóch zmiennych, pochodne
cząstkowe wyższych rzędów funkcji dwóch zmiennych, różniczka funkcji
dwóch zmiennych, ekstrema funkcji dwóch zmiennych, warunek koniecz-
ny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych, warunek wystarczający
istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych, całka podwójna w pro-
stokącie, interpretacja geometryczna całki podwójnej w prostokącie, całki
iterowane, obliczanie całki podwójnej w prostokącie.
20. Całka krzywoliniowa: równania parametryczne linii, definicja łuku regu-
larnego, definicja krzywej regularnej, definicja całki krzywoliniowej skiero-
wanej, zamiana całki krzywoliniowej na oznaczoną, warunek niezależności
od drogi całkowania, warunek istnienia różniczki zupełnej.
21. Macierze i wyznaczniki: pojęcie macierzy liczbowej, rodzaje macierzy (ma-
cierz prostokątna, macierz kwadratowa, macierz diagonalna, macierz jed-
nostkowa, podmacierz), działania na macierzach, macierz transponowana,
macierz odwrotna, dopełnienie algebraiczne elementu macierzy, pojęcie
wyznacznika macierzy, obliczanie wyznaczników, własności wyznaczników.
22. Układy równań liniowych: układ n równań liniowych o n niewiadomych
(wzory Cramera, układ jednorodny, metoda rozwiązywania wykorzystują-
ca macierz odwrotną), pojęcie rzędu macierzy, własności rzędu macierzy,
układ m równań liniowych o n niewiadomych (twierdzenie Kroneckera-
Capelliego).
23. Problem własny macierzy kwadratowej: równanie własne macierzy, równa-
nie charakterystyczne macierzy, wartości własne macierzy, wektory własne
macierzy.
24. Geometria analityczna na płaszczyz
nie: położenie punktu na płaszczyz
nie,
kartezjański układ współrzędnych prostokątnych, układ współrzędnych
3
biegunowych, zamiana układu współrzędnych, odległość dwóch punktów,
linia prosta (równanie ogólne, równanie kierunkowe, równanie odcinko-
we, równanie normalne), krzywe stopnia drugiego (równanie okręgu koła,
równanie elipsy, równanie hiperboli, równanie paraboli).
25. Geometria analityczna w przestrzeni: położenie punktu w przestrzeni, kar-
tezjański układ współrzędnych prostokątnych, układ współrzędnych sfe-
rycznych, kierunek w przestrzeni, zamiana układu współrzędnych, odle-
głość między punktami, płaszczyzna w przestrzeni (równanie ogólne, rów-
nanie odcinkowe, równanie normalne), kąt między płaszczyznami, prosta
w przestrzeni, powierzchnie stopnia drugiego (elipsoida, hiperboloida jed-
nopowłokowa, hiperboloida dwupowłokowa, paraboloida eliptyczna, para-
boloida hiperboliczna, stożek, walec eliptyczny, walec hiperboliczny, walec
paraboliczny).
4