Analiza numeryczna
obwodów dynamicznych
Liniowe metody jednokrokowe
Opis rozwiązywanego problemu
Równanie
stanu:
dx
= f(x,t), x(0)= x0
dt
gdzie
T
T
x0 = [x1(0)Kxn(0)]
x = [x1(t)Kxn(t)]
T
T dx dx1
�ł
f(x,t)= [f1(x,t)K fn(x,t)]dxn łł
= K
�ł śł
d t d t d t
�ł �ł
Opis rozwiązywanego problemu
Przedstawione równanie będzie rozwiązywane
w przedziale czasu: [0,�]. Rozwiązania będą
określane metodą iteracyjną dla czasów
wynikających z równomiernego podziału przedziału
czasu z odstępem równym h:
tk = kh
tk
xk - rozwiązanie numeryczne dla chwili
x(tk ) tk
- rozwiązanie dokładne dla chwili
-całkowity błąd = błąd metody +
x(tk )- xk
błąd zaokrągleń
Liniowe metody jednokrokowe dla
zagadnienia skalarnego
-ekstrapolacyjna
(
xk = xk -1 + h f xk -1,tk -1 )
metoda Eulera
-interpolacyjna
(
xk = xk -1 + h f xk ,tk )
metoda Eulera
h
xk = xk -1 + ( f (xk -1,tk -1)+ f (xk ,tk ))
2
- metoda Adamsa-Moultona (formuła trapezoidalna)
Liniowe metody jednokrokowe 
wzory ogólne
-ekstrapolacyjna
xk = xk -1 + hf(xk -1,tk -1)
metoda Eulera
-interpolacyjna
xk = xk -1 + hf(xk ,tk )
metoda Eulera
h
xk = xk -1 + (f(xk -1,tk -1)+ f(xk ,tk ))
2
- metoda Adamsa-Moultona (formuła trapezoidalna)
Opis rozwiązywanego problemu
gdy nie istnieje opis stanowy
dx
g(x, y,t)= 0
= f(x, y,t)
dt
T
T
y = [y1K ym]
x = [x1Kxn]
T
f(x, y,t)= [f1(x, y,t)K fn(x, y,t)]
T
g(x, y,t)= [g1(x, y,t)Kgn(x, y,t)]
Wyznaczanie rozwiązania przy
braku opisu stanowego
xk = xk -1 + hf(xk , yk ,tk )
-interpolacyjna
metoda Eulera
g(xk , yk ,tk )= 0
h
xk = xk -1 + (
f(xk -1, yk -1,tk -1)+ f(xk , yk ,tk ))
2
g(xk , yk ,tk )= 0
- metoda Adamsa-Moultona (formuła trapezoidalna
Liniowe metody
wielokrokowe
Wzór ogólny określający metody wielokrokowe,
przy przyjętych oznaczeniach metody m-krokowe
m
()
(ajxk - j + hbjf xk - j ,tk - j )= 0
"
j=0
tk - j = tk - hj
a0 `" 0
b0 = 0
- metody ekstrapolacyjne
- metody interpolacyjne
b0 `" 0
Metody jedno- i dwukrokowe
- metody jednokrokowe
m = 1
a0xk + a1xk -1 + h(b0f(xk ,tk )+ b1f(xk -1,tk -1))= 0
- metody dwukrokowe
m = 2
a0xk + a1xk -1 + a2xk -2 + h(b0f(xk ,tk )+ b1f(xk -1,tk -1)+
+ b2f(xk -2 ,tk -2))= 0
Metoda Geara  przykład metody
dwukrokowej
macierzowa postać wzoru iteracyjnego metody Geara
określającego rozwiązanie otrzymane w k-tej iteracji
(dla czasu t=kh):
4 1 2
xk = xk-1 - xk -2 + hf(xk ,tk )
3 3 3
Przykład
Wyznacz opis stanowy obwodu przedstawionego na rysunku
oraz oblicz pierwszą iterację analizy stanu nieustalonego
metodą interpolacyjną Eulera.
Dane elemenów:
i1
i3
iC
e = 12V; R1 = 10k&!&! R2 = 20k&!&!
e
C
uC
R3
R3 = 20k&!&! C = 0,1mF; h = 0,02s;
R1 R2
uC(0)= 1V
z NPK
z PPK
i1 = iC + i3
duC 1 duC 1 duC
�ł �łe - R2C
iC = C i3 = R2C + uC �ł i1 = - uC
�ł �ł �ł
dt R3 �ł dt R1 �ł dt
łł
1 duC duC 1 duC
�łe - R2C �ł
- uC �ł = C + R2C + uC �ł
�ł �ł �ł �ł
R1 �ł dt dt R3 �ł dt
łł łł
po podstawieniu prądów do równania PPK
Przykład c.d.
Po uporządkowaniu ostatniego równania i wyznaczeniu z niego
pochodnej otrzymuje się równanie stanu:
duC 1 R1 + R3 1 R3
= - uC + e
dt C R1R3 + R1R2 + R2R3 C R1R3 + R1R2 + R2R3
po podstawieniu wartości liczbowych otrzymuje się:
duC 3 1 duC 3
= - uC + e �! = - uC + 3
dt 8 4 dt 8
finalna postać równania stanu
Przykład c.d.
równanie stanu
duC 3
= - uC + 3
dt 8
równanie metody
interpolacyjnej Eulera
uC ,k = uC ,k -1 + h f (uC ,k ,tk )
uC ,1 = uC ,0 + h f (uC ,1,t1); uC ,0 = uC(0)
dla pierwszej
iteracji
3
uC ,1 = uC(0)+ h�ł- uC ,1 + 3�ł
�ł �ł
8
�ł łł
3 424
uC ,1 = 1+ 0,02�ł- uC ,1 + 3�ł �! uC ,1 = = 1,052V
�ł �ł
8 403
�ł łł
wynik