MT 2012 01 23 termin0 A rozwiazanie


Egzamin z Mechaniki Teoretycznej
Student Grupa Ocena
Budownictwo, 23 stycznia 2012 - termin 0
Zadanie 1
3kN/m
Zadanie 2
Zadanie 3
Test A B C
Zadanie 1
Wyznaczyć reakcje podpór układu
D E F
oraz siły w prętach kratowych.
Sprawdzić poprawność obliczeń.
4 4 4
Rozwiązanie
Znaczenie indeksów występujących w równaniach równowagi:
Indeks dolny A, B, C, D, E, F  oznaczenie punktu, względem którego liczony jest moment.
Indeks górny p lub l  prawa lub lewa strona.
Indeks górny d, g lub c  dół, góra lub całość
MA
MA
3kN/m
A
HA
HA
N2
B C
N1
VA
N2
N1
HE
HE
D E F
VE
4 4 4
p,g
M = 0 : - 3 4 2 - 0,6 N2 4 = 0 N2 = -10 kN
B
d
M = 0 : VE 4 - 0,6108 = 0 VE = 12 kN

D
d
M = 0 : - N1 4 - 0,610 4 = 0 N1 = -6 kN

E
d
X = 0 : - HE + 0,810 = 0 HE = 8 kN

g
X = 0 : H - 0,810 = 0 H = 8kN

A A
g
Y = 0 : VA + 6 + 0,6 10 = 0 VA = 12 kN
l ,g
M = 0 : -12 4 + 3 4 2 + M = 0 M = 24 kNm
B A A
?
c
Sprawdzenie: X = 0 :

?
c
MA
MA=24 kNm
Y =0 :
?
c 3kN/m
M =0 :
A

A
HA
HA=8kN
N2=-10kN
B C
N1=-6kN
VA=12kN
N2=-10kN
N1=-6kN
HE
HE=8kN
D E F
VE=12kN
4 4 4
3
3
3
Zadanie 2
Wyznaczyć główne centralne osie i główne centralne
y yc
momenty bezwładności obszaru materialnego jak na rysunku.
x
Przyjąć gęstość r = 1
a1
xc
R 3
a2
3 9
4,257
2
1 p 3
A := 129 - 36 +
A = 50.137
2 2
2
Sx
1 p 3
Sx := 129(-6) - 36(-6) + (-6) yc := Sx = -300.823 yc = -6
2 2 A
2
Sy
1 p 3 43
ć3
Sy := 1294 - 361.5 + - xc := Sy = 213.412 xc = 4.257

2 2 3p A
Ł ł
3 3 4 2
ć
129 1 36 p 3 p 3
2 2 2

Ix := + 1296 - + 366 + + 6 Ix = 2025.747
36 2 12 8 2
Ł ł
3 3 4 2 2 2
12 9 1 3 6 p 3 p 3 43 p 3 43
2
ć3
Iy := + 1294 - + - + - Iy = 1297.961

36 2 3 8 2 3p 2 3p
Ł ł
2 2 2
12 9 1 p 3 43
ć3
Ixy := - + 1294(-6) - [0 + 361.5(-6)] + 0 + - Ixy = -1442.469
(-6)
72 2 2 3p
Ł ł
2
Ixc := Ix - Ayc Ixc = 220.809
2
Iyc := Iy - Axc Iyc = 389.564
Ixcyc := Ixy - Axcyc Ixcyc = -162
2
Ixc + Iyc Ixc - Iyc Ixcyc
ć ć
2 180
I1c := + + Ixcyc I1c = 487.843 a1c := atan a1c = 58.756

2 2 Iyc - I1c p
Ł ł
Ł ł
2
Ixc + Iyc Ixc - Iyc Ixcyc
ć ć
2 180
I2c := - + Ixcyc I2c = 122.529 a2c := atan a2c = -31.244

2 2 Iyc - I2c p
Ł ł
Ł ł
Sprawdzenie
- 14
Ixc -Ixcyc cos a1c sin a1c ć
( ) ( )
ć ć
487.843 2.842 10
T

Jc := a := J =
7.105 10
- 15
( ) ( ) J := aJca
Ł-Ixcyc Iyc Ł-sin a1c cos a1c ł
ł
122.529
Ł ł
3
6
6
1
2
Zadanie 3
x
Położenie równowagi
Stosując zasadę zachowania energii mechanicznej wyznaczyć
m
równania ruchu układu przedstawionego na rysunku.
Zmienne uogólnione: y, j
r1 = (0 y) r2 = (l sin j y + l cosj)
f
& & m
& & & &
r1 = (0 y) r2 = (lj cosj y - lj sin j)
śr1 śr2
= (0 1) = (0 1)
śy śy
k
śr1 śr2
= (0 0) = (l cosj y - l sin j)
y
śj śj
Energia kinetyczna
x
Położenie równowagi
1 1
2 m
& &
& & & & & &
Ek = m(r12 + r2 2)= m(y2 + l2j2 cos2 j + y2 - 2lyj sin j + l2j sin2 j)
2 2
1
& & & & &
Ek = m(y2 + l2j2 + y2 - 2lyj sin j) ky
2
f
m
mg
k
Energia potencjalna
y
1 1 1
F1 = -kr1 = (0 - ky1) y1 = y V1 = - ky12 = - ky2 E = -V1 = ky2
p1
2 2 2
F2 = (0 mg) y2 = y + l cosj V2 = mgy2 = mg(y + l cosj) Ep2 = -V2 = -mgy - mgl cosj
Zasada zachowania energii mechanicznej
d
(Ek + E + E )= 0
p1 p2
dt
d 1 1

& & & & &
- - mgy - mgl cosjł =
ę2 m(y2 + l2j2 + y2 2lyj sin j)+ ky2 ś
dt 2

1
2
&&& & && &&& && & & && & & & &
= m[2 yy + 2l jj + 2 yy - 2lyj sin j - 2ly(j sin j +j2 cosj)]+ kyy - mgy + mglj sin j =
2
&&& & && && & & && & & & & &
= 2myy + ml2jj - mlyj sin j - mlyj sin j - mlyj2 cosj + kyy - mgy + mglj sin j =
&& && & & && && & & &
= (2my - mlj sin j - mlj2 cosj + ky - mg)y +(ml2j - mly sin j + mgl sin j)j = 0 " y oraz j
Równania ruchu
&
y - mlj sin j - mlj2 cosj + ky - mg = 0
2m&& &&

2
&& &&
ml j - mly sin j + mgl sin j = 0
y1
y2
L
L
1. Napisać:
&& &
a) mx + cx + kx = P sin lt + P coslt
s c
a. równanie ruchu oscylacyjnego punktu
& &&
b) x = ert , x = rert , x = r2ert , mr2ert + crert + kert = 0 r2 + cr + k = 0
materialnego tłumionego i wymuszonego,
b. równanie charakterystyczne,
c) x = as sin lt + ac coslt
c. podać całkę szczególną równania
Ps, Pc  amplitudy siły wymuszającej,
niejednorodnego ruchu wraz
as, ac  stałe całkowania,   częstotliwość siły wymuszającej,
z wyjaśnieniem znaczenia użytych
m  masa, c  współczynnik tłumienia, k  współczynnik sprężystości.
symboli.
2. Podać definicję tłumienia krytycznego oraz Współczynnik tłumienia krytycznego to taka wartość współczynnika tłumieni, po
warunek, z którego się go wyznacza. przekroczeniu której ruch jest aperiodyczny.
Warunek  zerowanie się delty równania charakterystycznego:
mr2 + cr + k = 0, D = c2 - 4mk = 0, ckr = 2 km
3. Podać definicje: a) Główne osie bezwładności to osie wyznaczone przez kierunki główne tensora
a. głównych osi bezwładności, bezwładności.
b. głównych centralnych osi bezwładności. b) Główne centralne osie bezwładności to główne osie bezwładności wyznaczone
przez kierunki główne tensora bezwładności zestawionego w środku ciężkości
bryły.
4. Podać własności głównych osi bezwładności. 1. Każdy sztywny układ materialny ma co najmniej trzy osie bezwładności:
- dokładnie trzy, gdy wszystkie wartości własne są różne,
- jedną i płaszczyznę osi, gdy dwie wartości własne są jednakowe,
- całą przestrzeń, gdy wszystkie wartości własne są jednakowe.
2. Tensor bezwładności w układzie głównych osi bezwładności ma postać
diagonalną (momenty dewiacji względem płaszczyzn wyznaczonych przez
główne osie bezwładności maja wartość 0).
3. Momenty bezwładności z przekątnej głównej przyjmują wartości ekstremalne.
4. Jeśli układ materialny posiada oś symetrii to ta oś pokrywa się z jedną
z głównych osi bezwładności
5. Względem jakiej prostej przechodzącej przez
środek masy trójkąta materialnego
przedstawionego na rysunku moment
4
a
bezwładności jest maksymalny i ile wynosi? ć
l

a4
2
Ł ł
a
Il = 2 =
12 24
a
6. Przy jakim założeniu o punkcie A obowiązuje
zasada krętu? Punkt A jest punktem stałym lub środkiem masy.
7. Czy znajomość zredukowanego układu sił
&&
mx = Sx

w środku masy pozwala przewidzieć ruch

&
Tak. Ten fakt wynika z postaci równań bryły sztywnej: p = S y = Sy
ciała sztywnego? Odpowiedz uzasadnić.
m&&
m&& Sz
z =

S - suma układu sił,
&
Ixwx +whwV (IV - Ih)= Mx

&
M - moment układu sił względem

K = (Jw ) = M
I wh +wVwx - IV Mh
&
(Ix )=
środka masy,
ż
h

&

(Jw ) = Jw + w (Jw ) wV + wxwh(Ih - Ix MV
I &
)=
V

8. Napisać równanie Lagrange a II rodzaju oraz
ć
d śEk śEk śri
podać znaczenie użytych symboli.
- = Qj j = 1, 2, ... , n Qj = Fi i =1, 2, ... , m


&
dt śqj śqj śqj
i
Ł ł
Ek  energia kinetyczna układu,
qj  współrzędna uogólniona,
Qj  siła uogólniona,
n  liczba stopni swobody,
m  liczba punktów przyłożenia siły.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2012 01 23 KPP Stalowa Wola sprawozdanie za 2011rid 626
2012 01 06 Nota na Rok Wiary
fiszki 01 23 i 24
KWP Gorzów Niebieska Karta sprawozdanie 2012 01 06
2012 01
2012 06 23 Lubuskie IV liga
Dz U 2011 276 1633 zmiana z dnia 2012 01
2012 nr 23 24 Rosja wobec wewnętrznych wyzwań i zagrożeń w najbliższych latach
WSM 01 23 pl(1)
analiza i ocena pomieszczenia i stanowiska pracy fryzjera 2012 01 arkusz (2)
TI 02 01 23 T B pl(2)
2012 06 23 Lubuskie Klasa O

więcej podobnych podstron