1. Niezwykłe właściwości dwuwymiarowego materiału grafenu. Postaci
krystaliczne węgla, sieć krystaliczna grafenu.
Grafen:
- jest niemal całkowicie przezroczysty
- niezwykle wytrzymały i lekki, a dodatkowo elastyczny
Sieć krystaliczna grafenu to płaska siatka atomów węgla połączonych ze
sobą w sześciokątne oczka. Wiązania mają długość ok. 0,142 nm.
Postaci krystaliczne węgla:
- grafit  układ warstw grafenu, silne wiązania w warstwach, słabe między warstwami
- diament  każdy z atomów ma 4 sąsiadów, wiązania mocne, kowalencyjne, twardy materiał
- fulereny  wiele atomów węgla (np. 60), duże przestrzenne struktury (kula)
- grafen
- nanorurki  zwinięty grafen
8. Fale materii: zależność dyspersyjna �(k), prędkość fazowa i grupowa,
porównanie z falami elektromagnetycznymi.
Mamy prędkość fazową i grupową (cząstka opisana przez paczkę falową) cząstki:
5�� 5�8� 5�Z�5�c�2 5�c�
5�I�5�S� = = = =
5�X� 5�]� 25�Z�5�c� 2
5�Q�5��
5�I� =
5�T�
5�Q�5�X�
Dyspersja to zależność prędkości fazowej fal od częstotliwości.
Gdy dyspersja zachodzi to prędkość fazowa nie jest równa prędkości grupowej.
Gdy dyspersja nie zachodzi to prędkości są równe.
Zależność dyspersyjna:
'
5�X�2
5�� =
25�Z�
Prędkość fazowa fal elektromagnetycznych jest zależna od cech ośrodka, zachodzi dyspersja.
Zależność ta ma postać:
5�P� 5�P�
5�c� = =
5�[�
!5��
W mianowniku mamy względną przenikalność elektryczną i magnetyczną ośrodka.
15. Rozdzielenie zmiennych przestrzennych i czasu, równ. Schr�dingera
niezależne od czasu, funkcje i wartości własne energii.
Rozdzielenie zmiennych przestrzennych i czasu prowadzi do otrzymania równania
Schr�dingera niezależnego od czasu.
Równanie zależne od czasu i położenia ma postać:
'
2 5��25�ł�(5�e�, 5�a�) 5��5�ł�(5�e�, 5�a�)
- " + 5�I� 5�e�, 5�a� " � 5�e�, 5�a� = 5�V�'

25�Z� 5��5�e�2 5��5�a�
Przyjmujemy, że �(x,t) = �(x)*�(t), po podstawieniu do równania wyżej człon zależny od
czasu się skraca i otrzymujemy równanie niezależne od czasu:
'
2 5��25�ł�(5�e�)
- " + 5�I� 5�e� " � 5�e� = 5�8� " � 5�e�
25�Z� 5��5�e�2
� 5�e�  funkcje własne, spełniające powyższe równanie
E  wartości własne energii, które odpowiadają określonym funkcjom własnym � 5�e�
22. Równanie Schr�dingera oscylatora harmonicznego, funkcja falowa
stanu podstawowego, znajdowanie kolejnych funkcji
własnych metodą rozwinięcia w szereg - wielomiany Hermite a, poziomy
energii.
Równanie dla oscylatora ma postad:
5�Q�25�ł� 25�Z� 1
2
= - [5�8� - 5�Z�5��05�e�2]�
5�Q�5�e�2 '
2
W stanie podstawowym funkcja falowa ma postad:
5���5�e�2
5�ł�0 5�e� = 5�4� exp(- )
2
5�Z�5��0
Gdzie 5��� =
'

Poza stanem podstawowym funkcje własne nie są takie proste i poszukiwane są w postaci
iloczynu funkcji w stanie podstawowym i nieznanej funkcji H(y). Argument y pojawia się dla
ułatwienia poszukiwania tych funkcji, a nowe funkcje falowe mają postad:
5�f�2
5�ł�5�[� 5�f� = 5�4�5�[�5�;�5�[� exp(- )
2
y = 5��� " 5�e�
Równanie Schroedingera możemy zapisad w innej postaci, podstawiając:
25�Z�5�8�
5�ż� =
'

Otrzymamy wówczas:
5�Q�25�ł� 5�ż�
+ - 5�f�2 � = 0
5�Q�5�e�2 5���
5�f�2
Podstawiając do tego równania 5�ł�5�[� 5�f� = 5�4�5�[�5�;�5�[� exp(- ) otrzymamy nowe równanie, z
2
funkcjami H(y):
5�Q�25�;�(5�f�) 5�Q�5�;�(5�f�) 5�ż�
- 25�f� + - 1 5�;�(5�f�) = 0
5�Q�5�f�2 5�Q�5�f� 5���
Jest to równanie Hermite a, a jego rozwiązaniami są wielomiany Hermite a. Można je
przedstawid w postaci szeregu:
"
5�;� 5�f� = 5�N�5�V�5�f�5�V� = 5�N�0 + 5�N�15�f�+...
5�V�=0
2
5�f�
2
Musi byd spełniony warunek, żeby funkcja H(y) nie rosła szybciej od 5�R� , z czego wynika:
5�ż�
= 25�[� + 1 ; 5�[� = 0,1,2, &
5���
ą zależy od energii, więc pojawia się ograniczenie na energię w postaci:
1
5�8�5�[� = 5�U�5��(5�[� + )
2
Energia oscylatora może przyjmowad różne poziomy, od poziomu zerowego zaczynając (dla
n=0):
1
5�8�0 = 5�U�5��
2
Ze wzrostem wartości n oscylator kwantowy zbliża się swoim zachowaniem do oscylatora
klasycznego.