1 Wielomiany. Równania i nierówności wymierne.
1
Przygotowa Izabela Wardach
la
WIELOMIANY.
Wielomianem stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcj¸
e:
W (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 (1)
gdzie n " N*" {0}, a0, a1,..., an," R, oraz an = 0.

Liczby a0, a1,..., annazywamy wspó
lczynnikami wielomianu ponadto a0 nazywamy wyrazem
wolnym. Jednomiany anxn, an-1xn-1,...,+a1x i a0 s¸ wyrazami wielomianu. Funkcj¸
a e
W (x) a" 0 nazywamy wielomianem zerowym, który to nie ma określonego stopnia.
Pierwiastkiem wielomianu W (x) nazywamy każd¸ liczb¸ a tak¸ że W (a) = 0. Wielomiany
a e a,
A(x) i B(x) s¸ równe, gdy dla każdej liczby a " R mamy A(a) = B(a) Ô! A(a) a" B(a).
a
Uwaga: dwa wielomiany s¸ równe Ô!, gdy s¸ zerowe lub, gdy s¸ tego samego stopnia i maja
a a a ¸
jednakowe wspó egach
lczynniki przy jednakowych pot¸ zmiennej.
Twierdzenie o rozk wielomianu
ladzie
Jeżeli W (x) i P (x) = 0 s¸ wielomianami, to istnieja takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że:
a ¸
W (x) = Q(x)P (x) + R(x) (2)
przy czym R(x) - to reszta dzielenia W (x) przez P (x) i R(x) a" 0 albo stopień R(x) jest
mniejszy niż stopień P (x). Q(x) - to iloraz zupe jeśli R(x) = 0.
lny,
Twierdzenie Bézout
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) Ô!, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez
dwumian x - a.
Twierdzenie o rozk wielomianu na czynniki
ladzie
Każdy wielomian W (x) = 0 jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

Równania algebraiczne:
Niech W (x) oznacza wielomianu stopnia n e" 0 zmiennej x. Równanie:
W (x) = 0 (3)
nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n lub krótko równaniem n-tego stponia.
Pierwiastki wielomianu W (x) s¸ jednoczecznie pierwiastkami równania.
a
Twierdzenie o liczbie pierwiastków
Równanie algebraiczne n-tego stopnia ma co najwyżej n różnych piewiastków.
1
na podstawie:
1. W.Leksiński, B.Macukow, W. Żakowski Matematyka dla maturzystów - definicje, twierdzenia, wzory,
przyk WNT, Warszawa 1994.
lady,
2. W.Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,
Warszawa 1994.
1
Twierdzenie o postaci iloczynowej wielomianu
Jeżeli wielomian n-tego stopnia W (x) ma n pierwiastków: x1, x2,..., xn, to
W (x) = an (x - x1) (x - x2) ... (x - xn) (4)
gdzie ax jest wspó
lczynnikem przy xn.
Liczb¸ a nazywamy nazywamy (pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W (x), jeżeli ten wielo-
e
mian jest podzielny przez (x - a)k i nie jest podzielny przez (x - a)k+1. Liczb¸ k nazywamy
e
krotnościa pierwiastka a.
¸
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
Jeżeli liczba wymierna różna od zera p/q (u nieskracalny) jest pierwiastkiem równania:
lamek
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 (5)
o wspó lkowitych, przy czym a0an = 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego
lczynnikach ca
a0, a q podzielnikiem wspó
lczynnika an.
Nieównaności algebraiczne:
W (x) > 0, W (x) e" 0, W (x) < 0, W (x) d" 0 (6)
nazywanynierównościami algebraicznymi stopnia n.
Funkcja wymierna:
Funkcj¸ postaci:
e
W (x)
y = x " R - P (7)
V (x)
gdzie W (x), V (x) oznaczaja wielomiany (V (x) = 0) zmiennej rzeczywistej, P zaś zbiór pier-
¸
wiastków wielomianu V (x), nazywamy funkcj¸ wymiern¸
a a.
Wykres funkcji:
s
f(x) = (8)
x
gdzie s, x = 0 jest hiperbola, przy czym jeÅ›li s > 0, to wykres znajduje si¸ w I i III ćwiartce
e
uk wspó ednych, a jeÅ›li s < 0, to wykres znajduje si¸ w II i IV ćwiartce uk
ladu lrz¸ e ladu
wspó ednych.
lrz¸
Wykresem funkcji
s
f(x) = + q (9)
x - p
s
gdzie s = 0 i x = p, jest hiperbola, któr¸ otrzymamy przesuwajac wykres funkcji g(x) = o
a ¸
x
wektor = [p, q].
u
Funkcj¸ postaci
e
ax + b
f(x) = (10)
cx + d
gdzie ad - bc = 0 '" c = 0, nazywamy funkcj¸ homograficzn¸ Każd¸ tak¸ funkcj¸ można
a a. a a e
s
zapisać w postaci f(x) = + q, gdzie s = 0.

x-p
2
Rozk funkcji wymiernej na u proste:
lad lamki
ulamek prosty: mianownik jest pot¸ a wielomianu nierozk
eg¸ ladalnego, licznik jest stopnia niszego
niz mianownik
W (x)
A1 A2 Ak
= + + ... + +
(x-x1)k(x2+px+q)l x-x1 (x-x1)2 (x-x1)k
B1x+C1 B2x+C2 Blx+Cl
+ + ... +
x2+px+q (x2+px+q)2 (x2+px+q)l
3