Relacja równoważności
1
Relacja równoważności
Relacja równoważności  zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym
zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne
podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji
równoważności.
Definicja
Niech będzie dowolnym zbiorem. Relację nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko
wtedy, gdy jest ona
" zwrotna, tzn. dla wszystkich mamy, że
" symetryczna, tzn. dla dowolnych
pociąga ,
" przechodnia, tzn. dla wszystkich zachodzi wynikanie
jeżeli oraz , to .
Dwa elementy takie, że nazywa się równoważnymi lub tożsamymi. Relacje równoważności
oznacza się zwykle symbolami , lub podobnymi.
Klasy abstrakcji
Niech będzie zbiorem, na którym określono relację równoważności . Klasą równoważności lub klasą
abstrakcji (także warstwą) elementu nazywa się zbiór
czyli zbiór wszystkich elementów zbioru równoważnych z . Jeżeli relacja równoważności znana jest z
kontekstu, pisze się zwykle po prostu .
Dowolny element ustalonej klasy abstrakcji nazywa się jej reprezentantem, w szczególności reprezentantem klasy
jest element . Każdy element należy do dokładnie jednej klasy abstrakcji, mianowicie . Wynika
stąd, że dwie klasy równoważności odpowiadające elementom i są albo identyczne, co zachodzi, gdy ,
albo rozłączne, gdy , czyli
wtedy i tylko wtedy, gdy .
Przestrzeń ilorazowa
W ten sposób na zbiorze wyznaczony jest podział na klasy abstrakcji. Wspomniany podział, czyli zbiór
wszystkich warstw oznaczany , nazywa się przestrzenią ilorazową lub krótko ilorazem (zbioru) przez
(relację) . Poza tym dowolnemu podziałowi zbioru odpowiada pewna relacja równoważności. Relacji
równoważności w zbiorze odpowiada relacja równości w przestrzeni ilorazowej . Własność ta umożliwia
tworzenie nowych struktur przez utożsamienie niektórych elementów w zbiorze (zob. sekcję tworzenie struktur).
Relacja równoważności
2
Niezależność
Niech będzie pewną własnością elementów taką, że jeśli , to jest prawdziwe, o ile
jest prawdziwe. Wtedy własność nazywa się dobrze określoną lub niezależną od (wyboru reprezentantów)
relacji (niektórzy autorzy piszą też  zgodną z  ). Sytuacja ta ma miejsce np. w teorii charakterów grup
skończonych.
Częstym przypadkiem jest funkcja dowolnych zbiorów; jeżeli z wynika ,
to o mówi się, że jest niezależna od wyboru reprezentantów relacji lub krótko: niezależna od . Przypadek
ten można wyjaśnić za pomocą diagramu przemiennego, zob. niezmiennik.
Rzutowanie
Przekształcenie dane wzorem (każdemu elementowi przypisana jest jego klasa abstrakcji)
nazywa się odwzorowaniem ilorazowym. Jest ono zawsze jest  na . Ponieważ utożsamianie pewnych elementów
zbioru jest podobne do przeprowadzania geometrycznej operacji rzutu (w której utożsamiane są obiekty leżące  pod
rzutowanym obiektem), to przekształcenie to nazywa się również rzutowaniem kanonicznym bądz
naturalnym.
Jeżeli na zbiorze ustalona jest struktura algebraiczna, to wymaga się zwykle, aby rzutowanie ją zachowywało
(tzn. rzut danej algebry jest algebrą tego samego typu). Jeśli tak jest, to odwzorowanie ilorazowe nazywa się wtedy
epimorfizmem kanonicznym (naturalnym).
Warto wspomnieć o klasie równoważności odpowiadającej elementowi relacji opisanej w sekcji niezależność dla
funkcji . Jest nią przeciwobraz . Taką relację nazywa się niekiedy jądrem funkcji . Każdą
relację równoważności można traktować jako jądro przekształcenia .
Dzielenie przez zbiór
Jeżeli relacja równoważności utożsamia ze sobą wszystkie elementy zbioru , tzn.
, to często  zapomina się o niej i zamiast pisze się po prostu . Konstrukcję tę
nazywa się czasami sklejeniem zbioru do punktu.
Uwaga!
W teorii grup to oznaczenie stosuje się dla grup ilorazowych, które są przykładami przestrzeni ilorazowych.
Aby wynikiem  dzielenia grupy pozostała grupa wymaga się, aby dzielnik nie był tylko zwykłą
podgrupą, ale grupą specjalnego rodzaju  tzw. podgrupą normalną (inna nazwa to dzielnik normalny), która
gwarantuje prawidłowość i jednoznaczność konstrukcji grupy ilorazowej.
Odpowiednia relacja równoważności dana jest następująco: jeśli jest podgrupą normalną w , to
jest zbiorem klas abstrakcji relacji zadanej wzorem . Podobnie ma się rzecz z
pierścieniami ilorazowymi i ideałami w teorii pierścieni, w ogólności jednak jednoznaczne struktury ilorazowe
w pozostałych działach algebry powstają już wyłącznie przez wskazanie relacji, nie zaś podstruktury o
specjalnych własnościach.
Relacja równoważności
3
Przykłady
" W zbiorze określona jest relacja: wtedy i tylko wtedy, gdy i dają taką
samą resztę z dzielenia przez 3. Pokazuje się, że jest to relacja równoważności, jej klasami abstrakcji są:
Poszczególne warstwy są rozłączne, a przestrzenią ilorazową jest zbiór:
" W zbiorze wszystkich samolotów istnieje relacja równoważności: dwa samoloty są równoważne, gdy mogą
przewiez
ć tę samą liczbę pasażerów. Klasą abstrakcji danego samolotu zabierającego na pokład równo 50 osób
jest zbiór wszystkich samolotów mogących przewiez
ć dokładnie 50 osób.
" W dowolnym zbiorze zdefiniowana jest relacja:
wtedy i tylko wtedy, gdy .
Jest to istotnie relacja równoważności nazywana równością. Klasami abstrakcji są zbiory jednoelementowe
.
" W geometrii relacjami równoważności są m.in. przystawanie i podobieństwo.
" Każdy izomorfizm wprowadza relację równoważności uznającą struktury danej teorii za nierozróżnialne (mające
te same własności).
" W dowolnym grafie nieskierowanym zdefiniujmy relację na wierzchołkach:
, gdy istnieje ścieżka z do (być może jest to ścieżka pusta, jeżeli ).
Wyznaczony przez tę relację podział nazywa się podziałem grafu na spójne składowe.
" Podobną relację określa się w grafach skierowanych: określamy, że , gdy istnieją ścieżki z do i z
do . Relacja daje w wyniku podział grafu na silnie spójne składowe.
" W zbiorze prostych na płaszczyz
nie określona jest relacja równoległości: proste i są równoważne, gdy są
równoległe. Klasami abstrakcji są tu zbiory prostych równoległych (tzw. kierunki).
Tworzenie struktur
Jeżeli jest homomorfizmem pewnej algebry ogólnej na , to relacja
określona w jest relacją równoważności (i warstwy pokrywają się z klasami abstrakcji w relacji ).
Określając w odpowiedni sposób działania w zbiorze można wprowadzić w nim strukturę algebry 
wspomniana algebra ilorazowa jest izomorficzna z . Konstrukcja ta pojawia się w:
" w teorii grup przy definiowaniu grup ilorazowych,
" w teorii pierścieni przy określaniu pierścieni ilorazowych,
" w algebrze liniowej przy wprowadzaniu przestrzeni ilorazowych.
Przykłady:
" arytmetyka modularna,
" konstrukcja Grassmana liczb całkowitych,
" ciało liczb wymiernych (powstałe z liczb całkowitych) lub ogólniej ciało ułamków dowolnego pierścienia
całkowitego.
" konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy'ego (poprzez utożsamienie ciągów Cauchy'ego
liczb wymiernych o różnicy dążącej do zera).
Relacja równoważności
4
" klasy równoważności relacji równoliczności zbiorów można utożsamić z liczbami kardynalnymi, a klasy
równoważności relacji izomorfizmu zbiorów dobrze uporządkowanych to liczby porządkowe, o ile rozszerzymy
pojęcie klasy abstrakcji na klasy,
" redukcja praporządku do porządku.
" konstrukcja topologii ilorazowej.
Zobacz też
" przegląd zagadnień z zakresu matematyki
y
ródła i autorzy artykułu
5
y
ródła i autorzy artykułu
Relacja równoważności y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=23771191 Autorzy: Alef, Chymatioq, Danielew, Ejdzej, Googl, Konradek, Loxley, Maciek pazur, Micpol, Mpfiz,
Msyslo, Myrrh, Olaf, Petryk, Raq0, Rosomak, Stepa, Stotr, Taw, Ymar, Youandme, conversion script, 10 anonimowych edycji
Licencja
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/