Studia magisterskie ENERGETYKA
Jan A. Szantyr
Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów
Ćwiczenia 2
Ćwiczenia 2
Wyznaczanie reakcji hydrodynamicznych I
Przykład 1
Z dyszy o średnicach D=80 [mm] i d=20 [mm] wypływa woda ze
średnią prędkością c=15 [m/s]. Pomijając różnicę ciśnień
średnią prędkością c=15 [m/s]. Pomijając różnicę ciśnień
obliczyć reakcję hydrodynamiczną wywieraną przez strumień
wody na dyszÄ™.
Reakcja R w ruchu ustalonym wynosi:
R = Á Å"Q Å"(c - c1)
Natężenie przepływu Q oraz prędkość c1 obliczamy z równania
ciągłości:
2
Ä„ Å"d Ä„ Å" D2
Q = c Å" = c1 Å"
4 4
Wobec tego mamy:
2
2 2 2
Ä„ Å" d ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ Å" d ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ Å"d d
Ä„ Å"d d
d
d
Q = c Å" ìÅ‚ ÷Å‚
Q = c Å" ìÅ‚ ÷Å‚
R = Á Å"c2 Å" Å" 1-
R = Á Å"c2 Å" Å"ìÅ‚1-
c = c Å"
c1 = c Å"
4
4 D2 ÷Å‚
D2
íÅ‚ Å‚Å‚
Po wstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ Å"0,022 0,022
ìÅ‚ ÷Å‚
R = 1000Å"152 Å" Å"ìÅ‚1- = 66,25[N]
4 0,082 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład 2
StrumieÅ„ cieczy doskonaÅ‚ej o gÄ™stoÅ›ci Á
wypływa z dyszy i uderza w idealnie
gładką płytę o ciężarze G i długości l.
Płyta może obracać się wokół łożyska A
oddalonego o b od osi dyszy. WiedzÄ…c,
że natężenie wypływającego strumienia
wynosi Q, a średnica dyszy D,
wynosi Q, a średnica dyszy D,
wyznaczyć składowe reakcji w łożysku
oraz kąt Ć o jaki wychyli się płyta w
stanie równowagi.
Napór hydrodynamiczny R rozkładamy na składową normalną
i składową styczną do płaszczyzny płyty:
R = Rn + RÄ
W cieczy doskonałej składowa styczna jest równa zero, wobec
czego całkowity napór reprezentuje tylko składowa normalna:
R = R Å"cosÕ
Rn = R Å"cosÕ
Dalej mamy: R = Á Å"c Å"Q
4Å" Á Å"Q2
4Å"Q
Rn = Å"cosÕ
c =
Ä„ Å" D2
Ä„ Å" D2
Składowe reakcji w łożysku wyznaczamy z równań rzutów sił
na osie x i y:
"P = Rn Å"cosÕ - RAx = 0
ix
"P = RAy - G - Rn Å"sinÕ = 0
iy
SkÄ…d otrzymujemy:
4Å" Á Å"Q2
4Å" Á Å"Q2
RAx = Å"cos2 Õ
Ä„ Å" D2
4Å" Á Å"Q2 2Å" Á Å"Q2
RAy = G + Å"cosÕ Å"sinÕ = G + Å"sin 2Õ
Ä„ Å" D2 Ä„ Å" D2
Kąt nachylenia płyty w stanie równowagi wyznaczamy z
równania momentów względem punktu A:
l
- G Å" Å"sinÕ = 0
"M = Rn Å" b
A
cosÕ 2
Otrzymujemy:
2Å" Rn Å"b
sinÕ =
G Å"l Å"cosÕ
G Å"l Å"cosÕ
Po podstawieniu zależności na reakcję mamy ostatecznie:
8Å" Á Å"Q2 Å"b
Õ = arcsin
Ä„ Å"G Å"l Å" D2
Przykład 3
Przez krzywak o średnicy D=80
[mm] przepływa woda z
natężeniem Q=0,08 [m**3/s].
Pomijając straty obliczyć napór
strumienia wody na krzywak.
Część dopływowa krzywaka
usytuowana jest pod kÄ…tem Ä…=Ä„/6
usytuowana jest pod kÄ…tem Ä…=Ä„/6
do poziomu, a część odpływowa
pod kÄ…tem Ä„/3. W przekroju
dopływowym i odpływowym
panuje jednakowe ciśnienie
otoczenia pb.
Składowe naporu hydrodynamicznego wynoszą odpowiednio:
Rx = Á Å"Q Å"(c1x - c2x)
( )
Ry = Á Å"Q Å" c1y - c2 y
Gdzie:
c2x = -c Å"cos ²
c1x = cÅ"cosÄ…
2x
1x
c2 y = c Å"sin ²
c1y = c Å"sinÄ…
Co daje:
Rx = Á Å"Q Å"c Å"(cosÄ… + cos ² )
Ry = Á Å"Q Å"c Å"(sinÄ… - sin ² )
4Å"Q
Po podstawieniu:
c =
Ä„ Å" D2
Otrzymujemy:
4Å" Á Å"Q2
Rx = Å"(cosÄ… + cos ² )
Ä„ Å" D2
4Å" Á Å"Q2
Ry = Å"(sinÄ… - sin ² )
y
Ä„ Å" D2
Ä„ Å" D2
Napór wypadkowy wynosi:
4Å" Á Å"Q2
2 2
R = Rx + Ry = Å" 2Å"[1+ cos(Ä… + ² )]
Ä„ Å" D2
Ä„ Ä„ Ä„
Suma kÄ…tów wynosi: Ä… + ² = + =
6 3 2
Wobec czego mamy:
4Å" 2 Å" Á Å"Q2
R =
Ä„ Å" D2
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
4Å" 2 Å"1000Å"0,082
R = =1802[N]
3,1415Å"0,082
Przykład 4
Strumień wody o natężeniu q=0,01
[m**3/s] wypływa z dyszy i uderza w
płaskie łopatki koła wodnego o
promieniu podziałowym r=1,0 [m].
Pomijając straty, obliczyć moc
użyteczną oraz sprawność koła, jeżeli
jego prÄ™dkość kÄ…towa wynosi É=5,0
[1/s], a pole przekroju poprzecznego
dyszy A=500 [mm**2]. Dla jakiej
prÄ™dkoÅ›ci obrotowej É koÅ‚o osiÄ…gnie
moc maksymalnÄ…?
Moc użyteczną koła wodnego określa zależność:
Nu = M Å"É
Gdzie moment M wynika z zasady krętu:
M = Á Å"Q Å"(c - u)Å" r
Czyli:
Czyli:
Nu = Á Å"Q Å"(c - u)Å"É Å" r
Nu = Á Å"Q Å"(c - u)Å"É Å" r
Q
Gdzie z kolei mamy:
c =
u = É Å" r
A
Q
öÅ‚
Co daje:
Nu = Á Å"Q Å"ëÅ‚ -É Å" r Å"É Å" r
ìÅ‚ ÷Å‚
A
íÅ‚ Å‚Å‚
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:
0,01
ëÅ‚ öÅ‚
Nu =1000Å"0,01Å" - 5Å"1 Å"5Å"1 = 750[W]
ìÅ‚ ÷Å‚
0,0005
íÅ‚ Å‚Å‚
Z kolei moc doprowadzona do koła wyraża się wzorem:
Nd = Á Å" g Å"Q Å" H
c
c2
Gdzie wysokość rozporządzalna H wynosi:
H =
H =
2Å" g
Q
A ponadto:
c =
A
Co daje:
Á Å"Q3 1000Å"0,013
Nd = = = 2000[W]
2Å" A2 2Å"0,00052
Nu 750
Sprawność koła wynosi więc:
· = = = 0,375
Nd 2000
W celu wyznaczenia prędkości kątowej odpowiadającej
maksymalnej mocy koła należy równanie na moc użyteczną
przekształcić i zróżniczkować względem prędkości kątowej
Nu = Á Å"c Å" AÅ"(c -É Å"r)Å"É Å" r = Á Å" AÅ"r Å"(c2 Å"É - c Å"É2 Å"r)
"Nu
"Nu
Warunek ekstremum
Warunek ekstremum
= Á Å" AÅ" r Å"(c2 - 2Å"c Å"É Å" r)= 0
= Á Å" AÅ" r Å"(c2 - 2Å"c Å"É Å" r)= 0
"É
Po wstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:
c Q 0,01
É = = = =10[1 ]
s
2Å" r 2Å" r Å" A 2Å"1Å"0,0005
Przykład 5
Do koła Segnera o średnicy D
doprowadzona jest woda, której
natężenie przepływu wynosi Q.
PomijajÄ…c opory tarcia oraz straty
przepływu wyznaczyć prędkość
kÄ…towÄ… wirowania É. Przyjąć
średnicę dysz wylotowych równą d.
średnicę dysz wylotowych równą d.
Założyć, że wypadkowy moment na
kole jest równy zero.
Koło Segnera obraca się w kierunku przeciwnym do wypływu
wody, wobec czego absolutna prędkość wypływu c wynosi:
c = w - u
D 0,5Å"Q Å" 4 2Å"Q
Gdzie:
u = É Å" w = =
2 2
2 Ä„ Å" d Ä„ Å" d
Moment reakcji hydrodynamicznej z zasady krętu wynosi:
D D
D D
( )
M = Á Å"Q Å" Å"c = Á Å"Q Å" Å"(w - u)
2 2
Ponieważ pomijamy opory tarcia musi być M=0, co daje:
w - u = 0 w = u
Po podstawieniu do powyższego zależności na prędkości w i u
otrzymujemy:
2Å"Q D 4Å"Q
= É Å" É =
2 2
Ä„ Å"d 2 Ä„ Å" d Å" D