KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI
Próbna Matura z OPERONEM
Wszystkie odpowiedzi
znajdziesz w vademecum
do matematyki
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2012
Na marginesach
fragmenty vademecum
W niniejszym schemacie oceniania zadań otwartych są prezentowane przykładowe poprawne odpowiedzi.
jako podpowiedzi do pytań
W tego typu zadaniach należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej sformułowane, ale ich sens
jest zgodny z podanym schematem, oraz inne poprawne odpowiedzi w nim nieprzewidziane.
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
1. Istotny postęp: 2 pkt (1 pkt, gdy
zakończono na
3 1
Przekształcenie równania do postaci: sin2 x - = -
zastosowaniu wzoru
5.4.2 strona 119
4 2
na sumę i różnicę si-
nusów)
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
1 1
Zapisanie alternatywy równań: sin x = lub sin x = -
2 2
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚p 5p 7p 11püÅ‚
ôÅ‚
Rozwiązanie równania z niewiadomą: x : x " , , ,
òÅ‚
ôÅ‚6 6 6 6 żł
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
2. Istotny postęp: 2 pkt (1 pkt, gdy
zapisano jedno rów-
Å„Å‚-16 + 4n-2m+ 8 = 4 3.6.3 strona 83
ôÅ‚
ôÅ‚
Zapisanie układu równań:
òÅ‚
nanie)
ôÅ‚-2 + n- m+ 8 = 0
ôÅ‚
ół
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚n = 12
Rozwiązanie układu równań:
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚m = 18
ół
Rozwiązanie prawie całkowite: 4 pkt
Zapisanie wielomianu w postaci: W x = x +1 2 x2 +10 x + 8
( ) ( )
()
Rozwiązanie bezbłędne: 5 pkt
Wykazanie, że wielomian ma dokładnie dwa pierwiastki:
x1 =-1, x2 =-4
3. Istotny postęp: 2 pkt (1 pkt, gdy wy-
Narysowanie wykresu funkcji f : konano poprawnie
2.4.3 strona 45
tylko jedno prze-
y
kształcenie)
3
2
1
0
1 1 x
 4  3  2  1 1 2 3 4
  
2 2
1
www.operon.pl
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
Å„Å‚0 dla m "
ôÅ‚
(-",0
)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚2
ôÅ‚
Zapisanie wzoru funkcji: g m = dla m " 0
( ) { }
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚4 dla m " 0,+"
( )
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
Narysowanie wykresu funkcji g:
g (m)
4
2
1
0 1 m
4. Istotny postęp: 2 pkt (1 pkt za zapi-
ńł sanie 1 równania)
ôÅ‚
ôÅ‚a1 + a1 +6r + a1 + 24r = 156
ôÅ‚
Zapisanie układu równań:
òÅ‚
ôÅ‚
a1 +6r = a1 a1 + 24r
( )2 ( )
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
Przekształcenie układu do równania kwadratowego: 13r2 -52r = 0
Rozwiązanie prawie całkowite: 4 pkt
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚r = 4
Rozwiązanie równania i wyznaczenie
òÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚a = 12
ół
Rozwiązanie bezbłędne: 5 pkt
Zapisanie odpowiedzi: SÄ… to liczby 12, 36, 108 .
()
5. Postęp: 1 pkt
Opisanie gałęzi drzewa po pierwszym etapie doświadczenia  wylosowa-
nie kuli białej lub czarnej z prawdopodobieństwami odpowiednio
4 6
równymi: p1 = , p2 =
10 10
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt (2 pkt, gdy
Opisanie gałęzi drzewa po drugim etapie doświadczenia  wylosowanie 2 kul popełniono drobny
błąd rachunkowy)
6
białych, gdy za pierwszym razem wylosowano kulę białą: p12 =
45
oraz w drugiej sytuacji, dwóch kul czarnych, gdy za pierwszym razem
15
wylosowano kulÄ™ czarnÄ…: p22 =
45
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A  wylosowanie 3 kul
19
jednakowego koloru: P A =
( )
75
2
www.operon.pl
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
6. Postęp: 1 pkt
Zapisanie sumy odwrotności pierwiastków funkcji f w postaci:
3.2.1 strona 60
1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2 x1 x2
Istotny postęp: 2 pkt
Zapisanie wzoru funkcji g: g m =-3m+ 2
( )
Rozwiązanie prawie całkowite: 4 pkt (3 pkt za
Å„Å‚"> 0 zapisanie tylko
ôÅ‚
ôÅ‚
Zapisanie założeń: oraz wyznaczenie dziedziny funkcji
òÅ‚
założenia o D)
ôÅ‚
ôÅ‚a `" 0
ół
ëÅ‚
2öÅ‚
ìÅ‚
g: D = , 2,+" \
}
÷Å‚ ( ) {-2
ìÅ‚-"- ÷Å‚*"
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
9÷Å‚
Rozwiązanie bezbłędne: 5 pkt
ëÅ‚8 öÅ‚
Wyznaczenie zbioru wartoÅ›ci funkcji g: D-1 = , *"ìÅ‚ ,+"÷Å‚ \ 8
(-"-4
) { }
ìÅ‚
÷Å‚
÷Å‚
ìÅ‚3 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
7. Postęp: 1 pkt
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych ozna-
czeń:
ó 2
S, S  wierzchołek i spodek wysokości ostrosłupa, SS = 8,
AB = 12, H = 8,
8.6.2 strona 228
BCEF  trapez będący przekrojem,
h  wysokość przekroju,
K, L, M  odpowiednio środki odcinków BC, FE, AD,
"LMK = a
Istotny postęp: 2 pkt
Wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej: SM = 10
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
3
Obliczenie cosinusa kÄ…ta a : cosa =
5
Rozwiązanie prawie całkowite: 5 pkt (4 pkt, gdy
wyznaczono tylko
Wyznaczenie wysokości przekroju h = 97 i krótszej podstawy: EF = 6
jedną długość)
Rozwiązanie bezbłędne: 6 pkt
Obliczenie pola przekroju: P = 9 97
3
www.operon.pl
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
8. Postęp: 1 pkt
Wyznaczenie współrzędnych środka i długości promienia okręgu:
S = 3, -6 , r = 7
( )
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
Zaznaczenie na rysunku figury F
y
1
0 x
1
S
zapisanie, że podana figura jest półkolem
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
49p
Obliczenie pola figury F: P =
2
9. Postęp: 1 pkt
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych ozna-
czeń:
a  długość ramienia trapezu
h  długość wysokości trapezu
Zapisanie zależności: h = 2r
Istotny postęp: 2 pkt
Zapisanie zależności: x + 4 x = 2a
5
oraz wyznaczenie długości ramienia: a = x
2
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
ëÅ‚3 öÅ‚2 ëÅ‚5 öÅ‚2
ìÅ‚
Zapisanie równania: h2 +ìÅ‚ x÷Å‚ = x÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚
÷Å‚ ÷Å‚
÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚2 ÷Å‚ ìÅ‚2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Rozwiązanie prawie całkowite: 4 pkt
Wyznaczenie długości wysokości: h = 2 x
Rozwiązanie bezbłędne: 5 pkt
Zapisanie zależności: r = x
4
www.operon.pl
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów
zadania
10. Postęp: 1 pkt
Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie równania wynikającego z treści zada-

2 2
nia: OS =-3OS, S = x, y
( )
Istotny postęp: 2 pkt
7.6.2 strona 186
Przekształcenie równania do postaci: x -2, y +1 =-3 3-2, -4 +1
[] []
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt
Rozwiązanie równania i zapisanie współrzędnych środka okręgu po
2
przekształceniu: S = 8
(-1, )
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
Zapisanie równania okręgu po przekształceniu: x +1 + y-8 = 225
( )2 ( )2
11. Postęp: 1 pkt
Zapisanie układu w postaci alternatywy:
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚x e" 2 ôÅ‚x < 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
y = x
òÅ‚ -2 lub y =-x + 2
òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2 2
ôÅ‚ -4 x + y2 =-2
ôÅ‚ -4 x + y2 =-2
ôÅ‚x ôÅ‚x
ół ół
Pokonanie zasadniczych trudności: 3 pkt (2 pkt, gdy
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚x e" 2 Å„Å‚ e" 2 Å„Å‚ < 2 Å„Å‚ < 2 popeÅ‚niono bÅ‚Ä…d ra-
ôÅ‚x ôÅ‚x ôÅ‚x
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
chunkowy)
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
Zapisanie alternatywy w: = 1 lub = 3 lub = 1 lub = 3
òÅ‚x òÅ‚x òÅ‚x òÅ‚x
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ y =-1 ôÅ‚ y = 1 ôÅ‚ y = 1 ôÅ‚ y =-1
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół ół ół
Rozwiązanie bezbłędne: 4 pkt
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚x = 3 Å„Å‚ 1
ôÅ‚x =
Zapisanie odpowiedzi: lub
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
y = 1 y = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
5
www.operon.pl