WYKA
AD 3 19-10-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
CAA
KA KRZYWOLINIOWA ZORIENTOWANA
Definicja: A
uk zorientowany
L
A
uk, na którym ustalono początek i koniec. Oznaczamy go symbolem . A
uk o orientacji
L
przeciwnej do orientacji łuku oznaczamy -L . Jeżeli ze wzrostem parametru łuku
zorientowanego poruszamy się po nim w kierunku orientacji, to mówimy że parametryzacja łuku
jest zgodna z orientacją.
Definicja: Całka krzywoliniowa
Śą
Całkę krzywoliniową zorientowaną z funkcji F =śą P ,Q , Rźą ciągłej na łuku gładkim
L : r śątźą t")#�ą , �ą*#
zorientowanym Śą gdzie o parametryzacji zgodnej z orientacją, oznaczamy
symbolem:
Śą
F � d r Pdx�ąQdy�ąRdz śą Pdx�ąQdyźą
Śą
lub
+" +" +"
L L L
oraz określamy wzorem:
�ą
Śą Śą
F śąŚąźą�d Śą= [ F śąŚąśątźąźą�Śą ' śąt źą] dt
r r r r
+" +"
L �ą
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE:
L r śątźą=[ x śątźą , y śąt źą , zśątźą]
1. jeżeli łuk gładki ma parametryzację zgodną z jego orientacją Śą
t")#�ą , �ą*#
dla to:
�ą
P dx�ąQdy�ąRdz= [ P śą x śątźą , y śątźą , zśątźąźą x ' śątźą�ąQ śą x śątźą , y śąt źą , zśątźąźą y ' śątźą�ąR śą x śątźą , y śąt źą , zśątźąźą z ' śąt źą]dt
+" +"
L �ą
L r śątźą=[ x śątźą , y śąt źą]
2. jeżeli łuk gładki ma parametryzację zgodną z jego orientacją Śą oraz
t")#�ą , �ą*#
to:
�ą
P dx�ąQ dy= [P śą x śątźą , y śątźąźą x ' śątźą�ąQ śą xśąt źą , y śątźąźą y' śąt źą]dt
+" +"
L �ą
L y= y śą x źą
3. jeżeli łuk gładki jest wykresem funkcji klasy C1 śą)#�ą , �ą*#źą danej wzorem
x ")#a , b*# L yśąa źą y śąbźą
oraz gdzie orientacja łuku jest od do to:
b
P dx�ąQ dy= [ P śą x , yśą xźąźą�ąQ śąx , yśą xźąźą y' śąxźą]dx
+" +"
L a
WA
ASNOŚCI CAA
KI KRZYWOLINIOWEJ ZORIENTOWANEJ:
Śą Śą Śą Śą
śą F �ąGźą�d r= F � d r�ą G �d r
Śą Śą Śą
1.
+" +" +"
L L L
Śą Śą
śąC�"F źą� d r=C F � d r
Śą Śą
2.
+" +"
L L
Śą Śą
F � d r=- F � d r
Śą Śą
3.
+" +"
- L L
L=L1 *"L2 *"...*"Ln
L
4. jeżeli łuk zorientowany jest kawałkami gładki i , to:
Śą Śą Śą Śą
F � d r = F � d r�ą F �d r�ą...�ą F �d r
Śą Śą Śą Śą
+" +" +" +"
L L1 L2 Ln
1 WYKA
AD 3. 19-10-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
Definicja: Twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi
Śą Śą
Załóżmy, że pole wektorowe jest potencjalne w obszarze D�" R3 śą R2źą i F =grad f
F
wówczas:
Śą
F � d r= f śą Bźą- f śą Aźą
Śą
+"
ęą
AB
ęą
A
gdzie AB jest dowolnie zorientowanym kawałkami gładkim łukiem o początku w i końcu
B , całkowicie zawartym w D
Całki krzywoliniowe w połówkach zamkniętych oznacza się
."...
Definicja: Twierdzenie Greena
Niech L�"R2 będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym. Obszar płaski ograniczony krzywą
L oznaczamy . Mówimy, że orientacja łuku jest dodatnia względem gdy
D L D
L D
poruszając się po łuku , zgodnie z orientacją obszaru mamy po lewej stronie
załóżmy, że:
1. obszar domknięty D�" R2 jest normalny względem obu osi układu
L D
2. brzeg obszaru jest łukiem zorientowanym dodatnio
Śą
3. pole wektorowe F =[ P , Q] jest różniczkowalne w sposób ciągły na D
wówczas:
�Q �P
P dx�ąQ dy= śą - źądx dy
+" ,"
L D
�x �y
2 WYKA
AD 3. 19-10-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska