Zagadnienie początkowe
Twierdzenie  istnienie rozwiązania
Jeśli dla pewnych ą, � > 0 funkcja f jest ciągła w prostokącie
R:= śąx , yźą:#"x-x0#"ąą�ą ,#"y- y0#"ąą�ą
{ }
to zagadnienie początkowe ma rozwiązanie x(t) dla
�ą
#"x-x0#"ąąmin �ą ,
{ }
M
gdzie
M :=maxR#" f śą x , yźą#"
1
Zagadnienie początkowe
Twierdzenie  jednoznaczność rozwiązania
" f
Jeśli funkcje i są ciągłe w prostokącie
f
" x
R:= śąx , yźą:#"x-x0#"ąą�ą ,#"y- y0#"ąą�ą
{ }
to dla
�ą
#"x-x0#""ąmin �ą ,
{ }
M
zagadnienie początkowe ma jednoznaczne rozwiązanie.
2
Zagadnienie początkowe
Twierdzenie  istnienie i jednoznaczność rozwiązania w przedziale
aąąxąąb , -""ą y"ą"
Jeśli funkcja f jest ciągła dla
i jeśli istnieje stała L taka, że jest tam
#" f śą x , y1źą- f śą x , y2źą#"ąąL#"y1- y2#",
to zagadnienie początkowe
Ź= f śąx , yźą , y śąaźą=�ą
ma w przedziale jednoznaczne rozwiązanie.
* warunek Lipschitza
3
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy każdą funkcję
y=y(x) spełniającą to równanie w pewnym przedziale. Każde
rozwiązanie, które zawiera n dowolnych stałych c1, c2, ... , cn, tak że
możemy na nie nałożyć n dodatkowych warunków początkowych,
nazywamy rozwiązaniem ogólnym. Jeśli ustalimy wartości tych
stałych to otrzymamy rozwiązanie szczególne.
4
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody rozwiązywania równań różniczkowych:
metody analityczne,
rozwiązania ogólne
rozwiązania szczególne
metody numeryczne,
rozwiązania szczególne
metody eksperymentalne
rozwiązania szczególne
5
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Zastosowanie wzoru Taylora
założenie: funkcja jest różniczkowalna i pewne jej pochodne istnieją
1 1
y śąx�ąhźąH" y śąxźą�ąh Ź śą xźą�ą h2 �śą xźą�ą yśą xźą�ą�ą
�ą
2! 3!
1. określamy liczbę członów we wzorze,
2. przyjmujemy x=x0,
3. obliczamy wartość w kolejnych punktach x+h, x+2h, ...
4. potęga ostatniego członu określa rząd metody.
6
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rodzina metod Eulera
metody rzędu pierwszego,
nie trzeba różniczkować funkcji,
bardzo małe h
y śąx�ąhźąH" y śąxźą�ąh�ąśą x , yźą
7
Rozwiązywanie równań różniczkowych
yn�ą1= yn�ą f śą xn , yn
Metoda Eulera
�ąźą�"h , y śąx0źą= y0
�ą
rozwiązanie dokładne
y
y1= y0�ą�ą y1
�ą y1
y2
= f śą x0, y0źą
"y2
�ą x1
y1
"y1
y0 y1= y0�ą f śą x0, y0źą�ą x1
h="x1 h="x2
�ą x1=h
x0 x1 x2
x
y1= y0�ą f śą x0, y0źąh
8
)
y
1
,
x
1
(
f
=
y
)
y
,
0
x
(
0
f
=
y
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Zmodyfikowana metoda Eulera
yn�ą1= yn�ą f śą xn�ąh/2 yn�ą f śą xn , ynźą�"h/2
�ą,�ąźą�"h
xn" yn"
�ą
�ą
rozwiązanie dokładne
y
y1
y1*
y0
h/2 h/2
x0 x0+h/2 x1
x
9
)
y
,
0
x
(
0
f
=
y
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Udoskonalona metoda Eulera
xn" yn"
f śą xn , ynźą�ą f śą�ą,�ąźą
xn�ąh yn�ą f śą xn , ynźą�"h
yn�ą1= yn�ą �"h
2
�ą
�ą
rozwiązanie dokładne
y
y1
y1*
y0
h
x0 x1
x
10
)
y
,
0
x
(
0
f
=
y
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rodzina metod Rungego-Kutty
s
yn�ą1= yn�ą wi K
"
i
i=1
K1=h f śąxn , ynźą
i-1
Ki=h f xn�ąai h , yn�ą bij K , ią1
"
j
śą źą
j=1
wi , ai ,bij - stałe
11
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metoda Rungego-Kutty II rzędu (s=2)*
yn�ą1= yn�ą1 śąK1�ąK2źą
2
K1= f śą xn , ynźą�"h
K = f śąxn�ąh , yn�ąK1źą�"h
2
Metoda Rungego-Kutty dla s=1
zmodyfikowana metoda Eulera
(dla jakich ?)
wi , ai ,bij
* znana jako metoda Heuna
12
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metoda Rungego-Kutty IV rzędu (s=4)
yn�ą1= yn�ą1 śąK1�ą2K2�ą2K3�ąK źą
4
6
K1= f śą xn , ynźą�"h
K = f śąxn�ąh/2, yn�ą1/ 2�"K1źą�"h
2
K3= f śą xn�ąh/ 2, yn�ą1/2�"K źą�"h
2
K = f śąxn�ąh , yn�ąK3źą�"h
4
13
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody wielokrokowe
Szukamy rozwiązania zagadnienia początkowego w punktach
x1, x2, ..., niekoniecznie równoodległych
Ź= f śąx , yźą , y śąx0źą= y0
całkujemy obie strony równania różniczkowego
xn�ą1
y śąxn�ą1źą= yśą xnźą�ą f śą x , y śąxźąźądx
+"
xn
14
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody wielokrokowe  wzór ogólny
k k
yn�ą1= ai yn�ą1-i�ąh bi f śą xn�ą1-i , yn�ą1-iźą , n�ąk -1
" "
i
i=1 i=0
h  krok całkowania
#"ak#"�ą#"bk#"`"0
ai, bi  liczby rzeczywiste, zakładamy że
jeżeli b0=0 to metodę nazywamy jawną (ekstrapolacyjną),
jeżeli b0`"0 to metodę nazywamy niejawną (uwikłaną/interpolacyjną)
15
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rozwiązywanie równania różniczkowego wyższego rzędu
Przykład:
��ąay=bx
podstawienie:
y= y1
Ź= Ź1= y2
�= Ź2
normalna postać równań:
Ź1= y2
{
Ź2=bx-ay1
16
Różniczkowanie numeryczne
f śąxk�ą�ą xźą- f śą xkźą
f ' śąxkźą= lim
�ą x
�ą x Śą0
na osi x wyznaczamy punkty rozłożone równomiernie w odległości
h=xk�ą1-xk
f - f
k�ą1 k
f 'k=
h
wzór dwupunktowy (pochodna prawostronna)
17
Różniczkowanie numeryczne
wzór trójpunktowy (pochodna centralna)
f - f
f - f
k�ą1 k -1
k�ą1 k -1
f 'k=
f 'k=
2 h
2 h
wzór pięciopunktowy
1
f 'k= śą f -8 f �ą8 f - f źą
k-2 k-1 k �ą1 k�ą2
12 h
18
Różniczkowanie numeryczne
wzór trójpunktowy
f -2 f �ą f
k�ą1 k k-1
f ' 'k=
h2
wzór pięciopunktowy
1
f ' 'k= śą- f �ą16 f -30 f �ą16 f - f źą
k-2 k-1 k k�ą1 k �ą2
12 h2
19
Całkowanie numeryczne
b
f śąxźądx
+"
a
dzielimy przedział całkowania [a,b] na n równych części o długości
b-a
h=
n
wyznaczamy w ten sposób punkty x1, x2, ..., xn-1
obliczamy wartości funkcji podcałkowej w wyznaczonych punktach
i na krańcach przedziału
y0= f śąaźą , y1= f śąx1źą ,�ą, yn-1= f śą xn-1źą , yn= f śąbźą
20
Całkowanie numeryczne
Metoda prostokątów
n-1
I =h yi
"
i=0
Metoda trapezów
y0�ą yn n-1
I =h �ą yi
"
śą źą
2
i=1
Metoda parabol (Simpsona)
n-1 n-2
I =h y0�ą yn�ą4 y2 i-1�ą2 y2 i
" "
śą źą
3
i=1 i=1
21