Metody Modelowania Matematycznego 
projekt
Mariusz Domżalski
Katedra Systemów Decyzyjnych
13 luty 2012
Zasady zaliczenia projektu.
¸%
Celem projektu jest napisanie programu w wybranym języku
programowania (tak: Java, C++, Python, itp., nie:
Matlab/Simulink), który dokona obliczeń symulacyjnych dla modelu
układu dynamicznego podanego w zadanym projekcie.
¸%
Projekty wykonuje siÄ™ w grupach jedno lub dwuosobowych.
¸%
Zaliczenie projektu polega na przedstawieniu programu i wyników
jego działania oraz oddaniu sprawozdania, które musi zawierać:
¸%
opis projektu (treść zadania),
¸%
model matematyczny w postaci równania różniczkowego lub układu
równań różniczkowych,
¸%
krótki opis przyjętej metody rozwiązania zadania symulacji (metoda
Eulera, metoda Rungego-Kutty, itp.),
¸%
przykładowe wyniki oraz wnioski.
¸%
W ramach projektu wymagane są przynajmniej trzy obecności.
Niespełnienie tego wymogu obniża ocenę końcową o jeden za każdą
nieobecność (z 5.0 na 4.0, itd.).
¸%
Projekt należy oddać osobiście w najpóz
niej w sesji podstawowej
(w trakcie specjalnie wyznaczonych terminów). Oddanie projektu
w terminie póz
niejszym wiąże się z obniżeniem oceny.
Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych
Jesteśmy zainteresowanie znalezieniem rozwiązania (funkcji y(t))
równania różniczkowego zwyczajnego postaci:
dy
= f (t, y)
dt
Przykładowa numeryczna metoda rozwiązania tego równania to:
nowa wartość y = stara wartość y + nachylenie × krok
co można zapisać równaniem matematycznym jako:
yi+1 = yi + Ćh
Zgodnie z powyższym równaniem oszacowanie nachylenia Ć jest użyte do
ekstrapolacji starej wartości yi do nowej wartości yi+1 na odcinku
o długości h. Procedura ta może być stosowana w sposób iteracyjny
w celu wyznaczenia trajektorii rozwiÄ…zania. Metody tego typu sÄ…
nazywane jednokrokowymi, gdyż wartość przyrostu funkcji jest
wyznaczana w oparciu o informacjÄ™ z jednego (i-tego) kroku. Wszystkie
metody jednokrokowe można opisać powyższym równaniem. Różnice
w metodach polegają na tym, w jaki sposób szacowane jest nachylenie Ć.
Metoda Eulera
Najprostszą metodą wyznaczenia nachylenia Ć jest przyjęcie, że na całej
długości segmentu h nachylenie jest takie samo jak w punkcie i, czyli:
Ć = f (ti, yi)
Postępowanie takie nazywamy metodą Eulera. Prowadzi ona do
następującego wzoru:
yi+1 = yi + f (ti, yi)h
Graficzną interpretację metody Eulera przedstawiono na poniższym
rysunku:
y
oszacowanie
w. prawdziwa
ti ti+1
t
Metoda Eulera  przykład
Korzystając z metody Eulera wyznaczyć rozwiązanie numeryczne
następującego równania różniczkowego:
dy
= 4e0.8t - 0.5y
dt
dla t = 0 do t = 4, z krokiem h = 1. Przyjąć warunek początkowy dla
t = 0, y = 2. Rozwiązanie analityczne ma postać:
4
y = (e0.8t - e-0.5t) + 2e-0.5t
1.3
RozwiÄ…zanie numeryczne zgodnie z metodÄ… Eulera:
y(1) = y(0) + f (0, 2) Å" 1
gdzie f (0, 2) = 4e0 - 0.5 Å" 2 = 3
Zatem
y(1) = 2 + 3 Å" 1 = 5.
Metoda Eulera  przykład
Prawdziwa wartość rozwiązania dla t = 1 to:
4
y = (e0.8Å"1 - e-0.5Å"1) + 2e-0.5Å"1 = 6.19463
1.3
Zatem procentowy błąd względny wynosi:
6.19463 - 5
= × 100% = 19.28%
6.19463
Wyniki dla wszystkich kroków zebrano w tabeli:
t yp yEuler (%)
0 2.00000 2.00000
1 6.19463 5.00000 19.28
2 14.84392 11.40216 23.19
3 33.67717 25.51321 24.24
4 75.33896 56.84931 24.54
Metoda Eulera  przykład
Oba rozwiązania przedstawiono na poniższym rysunku: