Przykładowy egzamin testowy (i jego zakres)
z przedmiotu  Analiza matematyczna ,
dla studentów WSEI kierunku Informatyka i ekonometria,
w roku akademickim 2008/09
ProwadzÄ…cy  dr Krzysztof Molenda
Test przeprowadzany będzie przy komputerze. Przewidywany czas trwania egzaminu: 40
minut. Pytania testowe mają na celu zweryfikowanie rozumienia fundamentalnych pojęć i
technik obliczeniowych związanych z analizą matematyczną, objętych blokiem wykładowym
oraz ćwiczeniowym. Publikacja tego przykładowego egzaminu ma na celu zapoznanie
studentów ze skalą trudności testu, przykładowymi sformułowaniami zadań oraz zakresem
sprawdzanego materiału.
Pytania testowe to w gruncie rzeczy proste zadania nie wymagające żmudnych obliczeń, ale
weryfikujące rozumienie pojęć, znajomość technik obliczeniowych, wnioskowania i
interpretacji wyników.
Pytania, generalnie, są pytaniami wielokrotnego wyboru (jedna lub więcej odpowiedzi
poprawnych) lub pytaniami wymagającymi wpisania poprawnego wyniku. Na każde pytanie
jest odpowiedz
, jeżeli żadne ze stwierdzeń nie jest prawdziwe, należy wybrać odpowiedz
o
brzmieniu  żadna z podanych odpowiedzi nie jest prawidłowa .
Wszystkie zadania testu sÄ… jednakowo punktowane w zakresie 0..3 pkt. Punkty za pytanie
wielokrotnego wyboru obliczane są na podstawie ilości zaznaczonych poprawnych
odpowiedzi cząstkowych (stwierdzeń) oraz odpowiedzi niepoprawnych. Stąd, końcowa nota
za takie pytanie testu jest z zakresu od 0 do 3 (z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku).
Jeżeli przeważa liczba odpowiedzi niepoprawnych w stosunku do poprawnych, nota wynosi 0
pkt. Jeżeli zaznaczono wyłącznie poprawne odpowiedzi cząstkowe, nota wynosi 3 pkt. Za
pojedyncze zadanie nie ma punktów ujemnych.
W sumie można zdobyć od 0 do 30 pkt. Punkty za test końcowy sumują się z punktami za
ćwiczenia. Na podstawie tej sumy punktów ustalana jest ocena końcowa z przedmiotu.
Podczas testu końcowego można korzystać z notatek własnych. Do egzaminu należy
wyposażyć się w kartkę brudnopisu oraz długopis  zadania wymagają obliczeń cząstkowych
na papierze.
Egzamin jest pracą samodzielną, nie wolno korzystać z żadnych środków komunikacji
(telefony, Internet, & ) oraz odpisywać od innych zdających egzamin.
1
CiÄ…gi i szeregi liczbowe (2 zadania)
Tematyka: podstawowe definicje, sposoby zapisu i wizualizacji ciÄ…gu, ciÄ…gi arytmetyczny i
geometryczny, monotonicznośd, ograniczonośd i zbieżnośd ciągów, granica ciągu, ciągi
rozbieżne, działania na granicach, symbole nieoznaczone, obliczanie granic, twierdzenie o
trzech ciÄ…gach, liczba e, szeregi liczbowe (o wyrazach nieujemnych, o wyrazach dowolnych,
naprzemienne), zbieżnośd szeregów liczbowych (kryteria porównawcze, d Alemberta,
Cauchy ego), bezwzględna i warunkowa zbieżnośd.
Zadanie 1 (ciÄ…gi liczbowe)
Zaznacz poprawnÄ… (poprawne) odpowiedzi.
Ciąg o wyrazie ogólnym
35Ø[Ü - 2
5ØNÜ5Ø[Ü = , dla 5Ø[Ü e" 1
35Ø[Ü + 1
jest:
a) ograniczony od góry
b) ograniczony od dołu
c) nieograniczony
d) zbieżny
e) rozbieżny
f) nie ma granicy
g) malejÄ…cy
h) rosnÄ…cy
i) żadna z podanych odpowiedzi nie jest prawdziwa
Zadanie 2 (tw. o 3 ciÄ…gach)
Oblicz następującą granicę:
5Ø[Ü
lim 85Ø[Ü + 35Ø[Ü
5Ø[Ü"
Zadanie 3 (szeregi liczbowe)
Szereg liczbowy
"
(-1)5Ø[Ü
5Ø[Ü
5Ø[Ü=1
a) nie jest zbieżny
b) jest zbieżny
c) nie jest bezwzględnie zbieżny
d) jest bezwzględnie zbieżny
2
e) nie jest warunkowo zbieżny
f) jest warunkowo zbieżny
g) żadna z podanych odpowiedzi nie jest prawdziwa
Analiza  funkcja, własności (2 zadania)
Tematyka: Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Pojęcie funkcji, funkcje elementarne i ich
wykresy, monotonicznośd funkcji, parzystośd/nieparzystośd funkcji, dziedzina i
przeciwdziedzina funkcji
Zadanie 4
Dla funkcji o podanym wzorze
1
5ØRÜ5ØeÜ-2
5ØSÜ 5ØeÜ =
5ØeÜ2 - 1
Zaznacz prawdziwe stwierdzenia
a) dziedziną funkcji jest przedział (0, +")
b) przeciwdziedziną funkcji jest przedział [0, +")
c) przeciwdziedzinÄ… funkcji jest suma przedziałów [0, 2) Èð (2, +")
d) dziedzinÄ… funkcji jest suma przedziałów (0, 2) Èð (2, +")
e) dziedzinÄ… funkcji jest suma przedziałów (-", -1) Èð (1, +")
f) dziedziną funkcji jest przedział (-1, 1)
g) przeciwdziedziną funkcji jest przedział (-1, 1)
h) żadna z podanych odpowiedzi nie jest prawdziwa
3
Zadanie 5
Na podstawie poniższego rysunku przedstawiającego szkic wykresu pewnej funkcji f, oceń
prawdziwość następujących zdań (zaznacz zdania prawdziwe):
y
1
0 3
-2
x
a) funkcja jest parzysta
b) funkcja nie jest parzysta
c) funkcja jest nieparzysta
d) funkcja nie jest nieparzysta
e) funkcja jest ciągła w przedziale (-2, 3)
f) funkcja jest ciągła na swojej dziedzinie naturalnej
g) funkcja ma asymptotę poziomą lewostronną o równaniu y = 1
h) funkcja ma asymptotę pionową obustronną o równaniu x = -2
i) funkcja ma asymptotę pionową lewostronną o równaniu x = 3
j) funkcja nie ma minimum globalnego
k) funkcja ma dokładnie jedno maksimum lokalne
l) granica lewostronna w punkcie 3 wynosi -"
m) funkcja jest wypukła w przedziale (-", -2)
n) funkcja jest wklęsła w przedziale (0, +")
o) przeciwdziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych
p) dziedzinÄ… funkcji jest zbiór (-", -2) Èð (-2, 3) Èð (3, +")
q) funkcja ma asymptotę ukośną o równaniu y = x
r) żadna z podanych odpowiedzi nie jest prawdziwa
Analiza  granice (1 zadanie)
Tematyka: Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Granica funkcji, symbole nieoznaczone,
asymptoty funkcji, ciągłośd funkcji
4
Zadanie 6
Zaznacz poprawnÄ… (poprawne) odpowiedzi.
Funkcja o wzorze:
5ØeÜ + 2
5ØSÜ 5ØeÜ =
5ØeÜ2 - 1
a) ma asymptotÄ™ pionowÄ… obustronnÄ… o wzorze x = 1
b) ma asymptotÄ™ pionowÄ… obustronnÄ… o wzorze x = -2
c) nie ma asymptot pionowych
d) ma asymptotÄ™ poziomÄ… lewostronnÄ… o wzorze y = -1
e) ma asymptotÄ™ poziomÄ… prawostronnÄ… o wzorze y = 1
f) nie ma asymptot poziomych
g) ma asymptotę ukośną obustronną o wzorze y = x + 1
h) żadna z podanych odpowiedzi nie jest prawdziwa
Analiza  pochodna funkcji jednej zmiennej (2 zadania)
Tematyka: definicja pochodnej, wyznaczanie pochodnej z definicji, interpretacja
geometryczna ilorazu różnicowego i pochodnej funkcji, pochodne funkcji elementarnych,
reguły różniczkowania, reguła de l'Hospitala, badanie monotoniczności funkcji, ekstrema
lokalne, wypukłośd i wklęsłośd, punkty przegięcia, badanie przebiegu zmienności funkcji,
umiejętnośd analizowania wykresu funkcji
Zadanie 7
Pochodna funkcji f(x) = (1  2x)3 wyraża się wzorem (zaznacz prawdziwą/prawdziwe
odpowiedzi):
a) 3(1  2x)2
b) 2(1  2x)3
c) 6(1  2x)2
d) -6(1  2x)2
e) -6(2x  1)2
f) 3  6x2
g) Żadna z podanych odpowiedzi nie jest poprawna
Zadanie 8
Dla funkcji f(x) = x4  x2 + x zaznacz prawdziwe stwierdzenia:
a) Funkcja nie ma ekstremów lokalnych
b) Funkcja ma punkt przegięcia w 0
c) Funkcja jest wypukła w przedziale (-", -1)
d) Funkcja jest nieparzysta
e) Funkcja jest ciągła
5
f) Funkcja nie ma asymptot pionowych
g) Funkcja ma asymptotę ukośną
h) Funkcja nie ma asymptot poziomych
i) Żadne z podanych stwierdzeń nie jest prawdziwe
Zadanie 9
Na poniższym rysunku zaprezentowano wykresy pierwszej pochodnej (kolor czerwony) oraz
drugiej pochodnej (kolor niebieski) pewnej funkcji f.
Zaznacz prawdziwe stwierdzenia odnoszÄ…ce siÄ™ do tej nieznanej funkcji f:
a) Funkcja f ma punkt przegięcia w 0
b) Funkcja f nie ma punktów przegięcia
c) Funkcja f ma dwa punkty przegięcia
d) Funkcja f jest rosnÄ…ca w przedziale (2, +")
e) Funkcja f jest malejÄ…ca w przedziale (-", 0)
f) Funkcja f nie ma ekstremów lokalnych
g) Funkcja f ma minimum lokalne w punkcie -2
h) Funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie -1
i) Funkcja f ma dokładnie dwa ekstrema lokalne
j) Funkcja f jest wypukła w przedziale (-1, 0)
k) Żadne z podanych stwierdzeń nie jest prawdziwe
Analiza  funkcje dwóch zmiennych (1 zadanie)
Tematyka: dziedzina funkcji 2 zmiennych rzeczywistych, pochodne czÄ…stkowe, ekstrema
lokalne i warunkowe
6
Zadanie 10
Funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych f(x, y) = x2 + xy :
a) nie ma ekstremum lokalnego
b) ma dokładnie jedno ekstremum lokalne
c) w punkcie (0, 0) ma minimum lokalne
d) w punkcie (1, 0) ma maksimum lokalne
e) w punkcie (1, 1) ma jednocześnie minimum i maksimum lokalne
f) żadna z podanych odpowiedzi nie jest prawidłowa
Analiza  całka (1 zadanie)
Tematyka: całka oznaczona funkcji jednej zmiennej (interpretacja geometryczna, intuicja),
całka nieoznaczona - wzory dla funkcji elementarnych, całkowanie przez podstawienie i przez
części, całka niewłaściwa, obliczanie pól powierzchni.
Zadanie 11 (całka oznaczona)
Zaznacz poprawnÄ… odpowiedz
.
Wartość całki oznaczonej:
5ØRÜ
5ØeÜ - 1
5ØQÜ5ØeÜ
5ØeÜ
1
wynosi:
a) 0
b) 1
c) e
d) e +1
e) e-1
f) e-2
g) e2
h) żadna z podanych odpowiedzi nie jest prawidłowa
Zadanie 12 (całka nieoznaczona)
Który (które) z podanych wzorów jest (są) wynikiem obliczenia całki nieoznaczonej
5ØeÜ35ØYÜ5Ø[Ü5ØeÜ 5ØQÜ5ØeÜ
5ØeÜ45ØYÜ5Ø[Ü5ØeÜ 5ØeÜ4
a) - + 5Ø6Ü
4 16
5ØeÜ4 1
b) (5ØYÜ5Ø[Ü5ØeÜ - + 5Ø6Ü)
4 4
5ØeÜ4 1
c) (5ØYÜ5Ø[Ü5ØeÜ - ) + 5Ø6Ü
4 4
5ØeÜ45ØYÜ5Ø[Ü5ØeÜ
d) +C
4
7
5ØeÜ4 1
e) " +C
4 5ØeÜ
f) 35ØeÜ2 ln 5ØeÜ + 5Ø6Ü
g) żaden z podanych wzorów
Zadanie 13 (całka niewłaściwa)
Które z podanych całek są całkami niewłaściwymi
1
a) 5ØeÜ - 1 5ØQÜ5ØeÜ
0
1 1
b) 5ØQÜ5ØeÜ
0
5ØeÜ
+"
c) 5ØeÜ 5ØQÜ5ØeÜ
0
1
d) 5ØeÜ5ØRÜ5ØeÜ 5ØQÜ5ØeÜ
-1
1 1
e) 5ØQÜ5ØeÜ
-1
5ØeÜ
f) żadna z podanych całek
Analiza  równania różniczkowe zwyczajne (1 zadanie)
Tematyka: równania różniczkowe zwyczajne, podstawowe metody rozwiązywania r.r. -
rozdzielenie zmiennych
Zadanie 14 (rozdzielenie zmiennych)
Która z podanych funkcji jest rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego
zwyczajnego 5ØQÜ5ØfÜ - 5ØfÜ = 0, przy warunku poczÄ…tkowym 5ØfÜ 0 = 1.
5ØQÜ5ØeÜ
a) 5ØfÜ = 5ØeÜ
b) 5ØfÜ = 5ØeÜ2 + 5Ø6Ü
c) 5ØfÜ = 5ØRÜ5ØeÜ
d) 5ØfÜ = 5Ø6Ü5ØRÜ5ØeÜ
2
e) 5ØfÜ = 5ØRÜ5ØeÜ
f) żadna z podanych funkcji
8