Bank i Kredyt 40 (3), 2009, 93 118
www.bankikredyt.nbp.pl
www.bankandcredit.nbp.pl
Kosztowna weryfikacja jako element relacji
bank-kredytobiorca
Andrzej Paliński*
Nadesłany: 3 listopada 2008 r. Zaakceptowany: 20 maja 2009 r.
Streszczenie
W artykule dokonano próby wyjaśnienia przyczyn tego, że standardowa umowa kredytowa jest tak
powszechnie spotykanym kontraktem dłużnym. Rozumowanie oparto na kilku ważniejszych mode-
lach finansowych zaliczanych do grupy modeli kosztownej weryfikacji. W rozważanych modelach
wykazuje się  za pośrednictwem formalnego  dowodu, że kredyt jest optymalną umową dłużną
w warunkach kosztownej weryfikacji przez kredytodawcę rzeczywistych wyników przedsięwzięcia
inwestycyjnego. Szczegółowej analizie poddano cztery modele opisujące relację kredytodawca
 kredytobiorca: model pełnej symetrii informacyjnej, model kosztownej weryfikacji w warunkach
asymetrii informacji, model kosztownego wymuszenia płatności oraz model heterogenicznych ocen
zwrotu z przedsięwzięcia.
Okazuje się, że standardowa umowa kredytowa jest efektywna zarówno ex ante, jak i ex post
w warunkach asymetrii informacji, kosztownej weryfikacji wyników przedsięwzięcia oraz kosztow-
nego wymuszenia sądowego. Muszą być jednak spełnione określone warunki, aby była to optymal-
na umowa dłużna.
SÅ‚owa kluczowe: umowa kredytowa, kosztowna weryfikacja, asymetria informacji
JEL: D82, G33
*
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie, Wydział Zarządzania; e-mail: [e-mail].
A. Paliński
94
1. Wstęp
W mikroekonomicznej teorii bankowości relacja kredytodawca  kredytobiorca (lender-borrower
relationship) stanowi jeden z kilku głównych obszarów badawczych, m.in. oprócz między innymi:
pośrednictwa finansowego, równowagi i racjonowania na rynku kredytowym, zarządzania ryzy-
kiem bankowym czy regulacji i nadzoru bankowego (Freixas, Rochet 1997).
Teoria relacji kredytodawca  kredytobiorca obejmuje z kolei takie zagadnienia jak:
1) modele kosztownej weryfikacji,
2) umowy jedno lub wielookresowe,
3) umowy niepełne,
4) modele selekcji heterogenicznych dłużników.
Modele kosztownej weryfikacji (Costly State Verification  CSV) zapoczÄ…tkowane przez Towsen-
da (1979) są zastosowaniem teorii kontraktu do umów kredytowych w warunkach niedoskonałego
rynku i asymetrii informacji. Teoria kontraktu obejmuje zagadnienia kosztów transakcji (ich konse-
kwencją są modele CSV) oraz teorię umów niepełnych (incomplete contracts). Z kolei zagadnienia
kontraktowania wynikają z ogólniejszej teorii przedstawicielstwa (lub inaczej teorii agencji  agency
theory).
Relacja przedstawicielstwa (agency relationship) powstaje wówczas, gdy jeden podmiot  moco-
dawca (principal) zleca do wykonania pewne działanie drugiemu podmiotowi  przedstawicielowi
(agent), przekazując mu równocześnie uprawnienia decyzyjne niezbędne do wykonania tego dzia-
łania. Podejmowanie decyzji zostaje więc oddzielone od ich kontrolowania. Strony kierują się przy
tym własnym interesem, co powoduje, że ich cele nie są w pełni zbieżne.
Problem przedstawicielstwa, czyli występowanie konfliktów wynikających z teorii agencji,
związany jest z istnieniem asymetrii informacji pomiędzy przedstawicielem a mocodawcą. Drugą
przyczyną powstawania problemu przedstawicielstwa, związaną pośrednio z asymetrią informacji,
jest konieczność ponoszenia kosztów związanych z przygotowaniem, monitorowaniem i realizacją
kontraktów pomiędzy stronami relacji przedstawicielstwa.
Asymetria informacji może dotyczyć (por. Mesjasz 1999; Stradomski 2004; Varian 2002):
" Ukrytego działania przedstawiciela (hidden action)  przedstawiciel podejmuje działania
(wysiłek), które ze względu na koszty uzyskania informacji nie mogą być obserwowane przez
mocodawcę (np. poziom starań przy realizacji przedsięwzięcia inwestycyjnego). W związku z tym
mocodawca nie potrafi określić związku pomiędzy wysiłkiem przedstawiciela a wynikiem. W tym
przypadku w problemie przedstawicielstwa występuje pokusa nadużycia (moral hazard) w literatu-
rze wręcz utożsamiana z pojęciem ukrytego działania.
" Ukrytej informacji (hidden information) czy ukrytej wiedzy (hidden knowledge) posiadanej
przez przedstawiciela  przedstawiciel ma wiedzę o zmiennych środowiskowych niedostępną dla
mocodawcy. Zmienne opisujące środowisko mogą mieć przy tym charakter losowy, niezależny od
wpływu przedstawiciela (np. stopa zwrotu z projektu inwestycyjnego). W problemie przedstawi-
cielstwa w sytuacji ukrytej informacji pojawia siÄ™ negatywna selekcja (adverse selection), prowa-
dząca np. do podejmowania zbyt ryzykownych projektów, których niepowodzenie w przypadku
ograniczonej odpowiedzialności dłużnika przerzuca zbyt dużą część ryzyka na wierzyciela. Ko-
nieczne jest zatem określenie właściwych bodz
ców, aby przedstawiciel nie mógł odnosić korzyści
z nierzetelnego ujawniania lub wykorzystania swych prywatnych informacji.
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
95
W zależności od siły przetargowej obydwu stron mocodawca i przedstawiciel starają się uzgod-
nić kontrakt spełniający następujące warunki (Mesjasz 2000; Watson 2005):
 warunek racjonalności podmiotu (individual rationality constraint  IR) albo warunek uczest-
nictwa (participation condition  PC), oznaczający, że podmiot nie może podejmować działań
zmniejszających własne korzyści, co przejawia się w tym, że każda ze stron ma pewną graniczną
wartość użyteczności (reservation utility) lub inaczej indywidualny poziom użyteczności (indivi-
dual rationality level), albo po prostu poziom odniesienia będący użytecznością podjęcia zupełnie
innego działania;
 warunek zachowania zgodności bodz
ców (incentive compatibility constraint  IC) albo inaczej
warunek motywacyjny (incentive condition), według którego przedstawiciel powinien być motywo-
wany w taki sposób, aby działał zgodnie z interesem mocodawcy nawet wtedy, gdy ten nie może
obserwować działania agenta.
Głównym celem artykułu jest wykazanie, że na gruncie teorii agencji, w warunkach asymetrii
informacyjnej i kosztów realizacji kontraktów standardowa umowa kredytowa jest optymalną for-
mą umowy dłużnej. Nie jest to oczywiste, gdyż umowa kredytowa mogłaby zostać skonstruowana
np. według zasady spłaty proporcjonalnej do wyników przedsięwzięcia finansowanego kredytem.
W praktyce gospodarczej nie spotyka się jednak powszechnie umów dłużnych uzależniających wy-
sokość spłaty zadłużenia od stanów natury, czyli wyników przedsięwzięcia. Standardowa umowa
kredytowa jest natomiast najczęściej zawieranym kontraktem dłużnym.
Dodatkowym celem artykułu jest przedstawienie rozwoju modelowania relacji kredytodawca
 kredytobiorca w powiązaniu z postępem teorii gier i ekonomii informacji, począwszy od symetrii
informacji, przez statycznÄ… grÄ™ bayesowskÄ… po dynamicznÄ… grÄ™ bayesowskÄ… i grÄ™ sygnalizacyjnÄ….
Dalsza część artykułu jest zorganizowana następująco. W części drugiej przedstawiono klasycz-
ny model kredytowania w warunkach pełnej symetrii informacyjnej. Okazuje się, że w takich wa-
runkach optymalna umowa dłużna wiąże wysokość spłaty zadłużenia z wynikami przedsięwzięcia
i umowa ta nie przypomina standardowej umowy kredytowej. W części trzeciej poddano analizie
model kosztownej weryfikacji Gale a i Hellwiga (1985), w którym istnienie asymetrii informacyj-
nej i kosztów weryfikacji wyników kredytobiorcy powoduje, że standardowa umowa kredytowa
staje się optymalnym kontraktem dłużnym. Wpływ kosztów sądowych egzekwowania umowy na
kształt optymalnej umowy dłużnej jest rozważany w części czwartej. Stosując model kosztownego
wymuszenia Krasy i Villamila (2000), wykazano, że w sytuacji kosztownego wymuszenia spłaty
zadłużenia standardowa umowa kredytowa jest również optymalną umowa długu. W części piątej,
korzystając z modelu Carliera i Renou (2005), znaleziono warunki, w których standardowa umowa
kredytowa jest optymalnym kontraktem dłużnym, w sytuacji gdy oceny kredytodawcy i kredyto-
biorcy na temat zwrotu z przedsięwzięcia są różne. Artykuł kończy się podsumowaniem.
2. Optymalny kontrakt w warunkach symetrycznej informacji
Ważnym zagadnieniem dotyczącym teorii finansów jest określenie optymalnego kształtu umowy
kredytowej. Jej warunki mogą być dowolnie precyzowane przez kredytodawcę i kredytobiorcę
w zależności od siły przetargowej obydwu stron. Wydawać by się mogło, że najlepszym rozwiąza-
niem byłoby szczegółowe zdefiniowanie wszystkich stanów natury i przypisanie do nich zachowań
A. Paliński
96
wymaganych od obydwu stron kontraktu, w tym wysokości spłaty kredytu. Byłby to tak zwany kon-
trakt zależny od stanów natury (state contingent). Najczęściej spotykaną formą umowy dłużnej jest
jednak standardowa umowa kredytowa. Jest to kontrakt (standard debt contract  SDC), w którym
dłużnik zobowiązuje się spłacić określoną w umowie stałą kwotę R1, a niemożność jej spłaty po-
zwala bankowi przejąć całe przepływy pieniężne wygenerowane przez przedsięwzięcie. W dalszej
części pracy spróbujemy wyjaśnić, dlaczego standardowa umowa kredytowa jest powszechnie
używana.
Rozważmy gospodarkę o dwóch okresach t = 0, 1, w której wytwarzane jest jedno dobro
(Freixas, Rochet 1997). W okresie t = 0 kredytobiorca może uzyskać kredyt, który w całości zainwe-
stuje w technologię wytwarzającą w okresie t = 1 wielkość dobra będącą zmienną losową Y = f(L).
Zakładamy, że kredytobiorca w okresie t = 0 nie posiada własnych środków finansowych i całość
środków L musi pożyczyć od kredytodawcy. Preferencje kredytobiorcy uB i kredytodawcy uL scha-
rakteryzowane funkcjami użyteczności von Neumana-Morgensterna są klasy C2, wklęsłe i ściśle
rosnÄ…ce.
Zakładamy także, iż wymuszenie realizacji kontraktu (enforcement) jest w pełni skuteczne
i pozbawione kosztu. Kredytodawca, w sytuacji niewywiÄ…zania siÄ™ z umowy przez kredytobiorcÄ™,
może zatem bez jakichkolwiek dodatkowych warunków (np. zgody sądu) i bez ponoszenia kosztów
przejęcia aktywów kredytobiorcy egzekwować swoje należności. Wyniki przedsięwzięcia są obser-
wowalne dla wszystkich stron bez żadnego kosztu.
W sytuacji pełnej symetrii informacyjnej kredytodawca i kredytobiorca obserwują realizację
przedsięwzięcia ex post. Możliwe jest zatem podpisanie umowy określającej ex ante podział pomię-
dzy strony kontraktu wielkości dobra y, będącego realizacją zmiennej losowej Y w okresie t = 1.
Umowa kredytowa R = R(y) jest funkcją określającą płatność kredytobiorcy na rzecz kredyto-
dawcy w zależności od stanu natury stanowiącego wynik podjętej inwestycji. Umowa kredytowa
określa zatem podział dobra y będącego realizacją zmiennej losowej pomiędzy strony umowy.
Niech R(·) bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… i różniczkowalnÄ… klasy C1. CharakterystykÄ™ optymalnej umowy
kredytowej R(·) można znalez
ć, rozwiązując następujące zadanie optymalizacji:
(1)
max E[uB (Y R(Y )] 1
R
max E (Y R )] 1 1
0
przy następujących ograniczeniach: max[u[B))]( uLR(Y )]
E[R (
uLR(REYuB Y (Y 1.1
E u[Lu(R)R ))]))] uLu 0 1.1 (1.1)
[ER( y 0
0 y((Y(Y L(IR) 1.2
1.1
L
0 R(R()y y yI (y R( y)) 1.2
y
(LL) (1.2)
) 1.2
B
R'0y) 2
(
IB (y R(y)) I (R(y))
IBI(y( R(RL))))
y
y y
R'(y()y 2 2
Przy tak skonstruowanym zadaniu cała siła przetargowa (zostaje umieszczona po stronie
B
R' )
I R y
0
I(y y R(y)) I (R(y))
L(R( y), y,B B) uB((y)) RILy()LR( ))uL (R(y) uL ] 3
y ( [
kredytobiorcy, dla którego funkcja użytecznoÅ›ci jest (malejÄ…ca wzglÄ™dem R(·), gdyż otrzymuje on
w wyniku spłaty dochód równy y  R(y). Rozwiązanie powyższego programu jest określone przez
0
L(RR( yy, ) uBu( y R(R [ (R(y()y uLu]0 ] 3
y ) y)y
0
LL((R(),), ,
(
) uB((yyna (monotoniczność R(Ly))R'( y 0 4

graniczną wartość użyteczności kredytodawcy yu),yy, względu ) u[L
ze
B'
L
y)(R (
R(y))R'(uL u)' warunku )indy-3
L
y
widualnej racjonalności (IR). Oczekiwana użyteczność kredytodawcy, która jest rosnąca względem
L(L((0y(), y
R
' ' '
y),,y,) )
R(R())R'( y ( 0 0
y
'
R(·), jest sprowadzana do wartoÅ›ci granicznej uR, co odpowiada w peÅ‚ni konkurencyjnemu rynkowi 4
L y y))Ry()y uLu('R((R())R ' )
) y))Ry()y
y (y)) uBu('y( L
B
'
uB ( y Ry
finansowemu.
5
u' (R( y))
'
uBu(Ly( R y
'
y (R())))
y
5 5
'
uB('R((R()))) ''
''
uL y y
uB (Ly R( y)) uL (R( y))
[1 R(y)] R'( y) 0 6
' '
uB' (y R( y)) uL' (R( y))
'
uBu(''y( R(R()))) u' y
y
y y u('R((R())))
y
[1[1R(R()])] L ' R'( 0 6 6
y
'
B L
y Ry()y 0
)
u' ( y R( y)) u' (R( y))
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
97
max E[uB (Y R(Y )] 1
R
0
Lemat 1. W warunkach doskonałego rynku kredytowego optymalna umowa dłużna jest funkcją
E[uL (R(Y ))] uL 1.1
o nachyleniu określonym przez indeksy bezwzględnej awersji względem ryzyka kredytobiorcy IB
max E0uBR( y)R(Y )] 1
[ (Y
y 1.2
i kredytodawcy IL, której pochodna jest wyznaczona wzorem:
R
(y))
E[uL (R('Yy) uL
))] 0 IB (y R1.1 2
R (
(2)
IB (y R(y)) IL (R(y))
max E[uB (Y R(Y )] 1
R
0 R( y) y 1.2
0
L(R( y, y y [ (
0
Dowód. Pomińmy [dla R(Y ))] uL y),warunek (ograniczonej uL (R1 y) uL ] kredytobiorcy
uproszczenia
max)E[u1.1 R((Y))] odpowiedzialności 3
uB (Y R
E uL (
R
(LL  limited liability). Funkcja ) IB (y R(By))
R'(yLagrange a przyjmuje wówczas następującą postać dla każdego y
2
I
'
0 R( y) y L(B (( ), y, y ) IL
Y:
będącego realizacją zmiennej losowej Ryy R( )) 1.2 (' (
))]Ryu ))R(y))R'( y)1.1 uL (R( y))R'( y) 0 4
uB (y0
u R
yE[R(LY()](Y L
max E[uB (Y 1
R
0
(3)
L(R( y), u(B y R( y) [uL (R(y) uL ] 3
Iy, ) R y())(
(y
B
0 R y) y 1.2
R'(y ) ' 2
( R(
IB IL 1.1 5
E[u(y(uB(Ry))]
R Y(y)) uy0))(R( y))
L
'
L(RL( y),
uy,( )( y))
R
' '
L
( R)]y))(R'( ) ( ))uL (R( ))R'(y) 0 4
( y yR1 y

Warunek konieczny istnienia ekstremum Bwymaga Bmiędzy
max E[ ( )]I 1 innymi yspełnienia następującego
uByY yR(Y
max ERu'( (u) R(Y
[ Y
B
2
R
0 R(y) y
y
L(R( y), y, ) uR ( y R( y) ( ( ) u0 3
R(yy'
kryterium: B IB[(uyL R1.2 ')) LI]L (R(y ))
''
uB (y R( y)) uL (R( y))
[1 y R'( y) 0 6
0
' 0
' '
u),( E[y Y 1.1
uR([u))(([RI((By())] L
yE' R( R ))] R((Yy )] 5 uLy( 1 1.1 ) 2 yL (R0 uL ] 3
L(R(yR'yy )maxL RRy)) 0
B ,y E(uL R(Y uR()))] (
B '
y ))y uL ( ( [ (y)
L
uB (Yy R
y)) ) y B 4 (4)
R
u(' () ( yI ( R(y)) IL (R(y)) uL (R(yy))R'(u)
R ))uB (R(), y,R'( )u
y L (y
0 BR( y) 1.2
''
0 R(y)u (y) 1.2 ( )
y u''
LLR(y), y, )
(
' '
I u'
(
'' ''
E[uL)))
' L ( (
y( IR( ) RB ) (1.1 BR( y ))0R'( y) uL ( R3 y))R7 y ) 0 4
uB ( y uL((R))ydoyy R(YuLR( u0 u
R(y ),( ( ' y
B (
B yILR(yy)( ((y[))B (yR 'y)
[1 (uB
y)( )0u L 6
co po przekształceniach prowadzi , u))] ()y)]5 (uL R(y))LR' ( ]
R y))
IB (y y))
' '
'
( R y))
R (y)
uL (Ruy))y R(''(y) B uL (R( 1.2 2
( 2
B
0 IB
IBy( yI y
L(R(y y( y) (y R(y)) IL (R(y))
),R, ) '
(R()))) ())R(R(y))
'
B
uB y Ryy RRy )) '( y) uL5 R( y))R'( y) 0 4
(y yIL
( u ' ( ( (
R'(y'')
B
''
(5)
''
y
uL ( ) I y ((R((y(y))R I y))

uB (y u'' ))
u(' R(y) R ( y) (
IR( y))[
( )
'
L(R( ), y, LI uB ( y R))y) [uL (R(y) 2 0 ] 3
y ) B uL
1 R(y)]B L ( 6
(R)( y), uB yu(BR ()0 0 7
L L(uy' ( y, ()R Iy)) ( y ('RL(' ) [uL (R(y) u L ] 3
B y(
' '
uB (y R( y))R ) IB (uL (R( y)) IL ()y))
L
y R(y)) u(BR
'
uB ( y R(y))
y '' 2 y 2 y
5 R( '''
L(R,(u),(yy, R(,y))''[1 0 '
0 y , ) 0
L(R( y B y )
), , u s) yi R y uL uL y
Różniczkując powyższe równanie względem y2 otrzymujemyy()]))R' ((R( y)) '' (R( y))R''( y) 0 6 4
'
u''' y)) I uB (y ) ))0
B
(()R( yIB((y R (yu))' ( R(y))R y) uR((R()y R (y) 0 4
L )) u'(yR
B
R'uyL) (R( y),uB', iy) R( yy ( R( y) [uLL((R((yy))) uL0 ]7 3
( Li y ) uB (
y
IL ( )
' '
y c (c) L
B L
uL ( ) cI (0, RB(2(y)) Iu(R(y))

B
0, 0
''
2
uB ( y L'((R()) u)''
R' y
i
uB (2y [1yiR) ' ( Ls(R( y)) R'( ' 0 u''
uB ( yy),R (,) )) '
y )]y ( I5 ) B (R ( y))R'(6 ) 0 (6) 7 4
(y u '
(
Ry))y u(' ) y
u' ( y B yy R( y)) 2 L B L
y '
u '
( y( B

, uB ( )
u' ))RIR0, u0yR(R))y))5 ( ( '
y))
uL ( R yy
R'(y) iB 0 IR((y' ( y((L()))) uL ( )L
2
L
(y
i* E[y(s,i) (1 r)i] 8
IB (y R iy)) IL (Rs i))
(
arg max
''
c ' 2''c( ) c

'
,uuB'uL i (0yy) uB'''(RR( ))
B y
u'' (y RR()))) awersji B
I ( )0 ( yy 20( I ( ) y L
( R
Po wprowadzeniu indeksów bezwzględnej [[1 I ( u'L () y))ryzyka 0 np. Jajuga,
R (y)]względem RR''( y) 0 7 6
iL 2 B i' 2 RR'(,y)) s1 B0 u ' (5 ((yy)) y
' Ry R u))((( Ry())) (zob. 6 Jajuga
(y )]
y y )
'
( (y
uBu Ry I B uL )RILy()) (
(y( y))y))
0, u'0,(LR( 0 (
uBL( postaci:
2001) dla kredytodawcy i kredytobiorcy R )) uB'' R(y))
L
i i2 maxyEW ((iy
s
i,Ci , R, B
2
''
i* E[y))s,)i) (1 r)u] ( 2 (yy))''' 8
y( i
c ' arg max I( ( R(y)) ''
y '
R (yc
)u ( cyu''y( 2
B
0, I00y R B 0 ) (
,
L , 0c(( L) R uB 0 )'
i 2
(B s u('' I
(RL y ))( i y IIBu(') is yus')(( ))(
' I (y y(is i([1 i ( ) y 0
I L((y)s 7

i i2 maxB ) R ,)))0 1R(Lr())]( yB,))s(,R)(Bi(u BR h( s,)i)ds 12 6 7 (7)
orazR ))B
L
'
iuCi R, y
,
B, u'' ( ) L uB
uL ( )
L
c 2c c
2
2
max EW
0 0
'' ''
i,Ci , B
i* yR, E[y(sy,i (( 1, Ir((iy] 0, 8 Bi
) )
R h(u,0, ) I (1 R uC() ) 12.1
s i)ds yi
arg max s i y2 0)( s
rR (iy))) 0
uzyskujemy ostatecznie zależność0,R( (((s)2
B
IR((y)) 7

y
i0 I LR'') ) L sB i
i
y) B
i ' '
uIL ((( )y R(y)) I (R(y))( )
B
B
max y(s i2) *(I1B y i cys,i B(Ls()Rh(s,i)ds 12
, r) ()) (yu
c 0c cR( IL ))
i,Ci , R, B
i gdy y R1 E) (1 r )i] 8
[y(s,i)
arg max

max EWi s0, i2 0, '0
B' 13


i,Ci , R, B y
2 y s 0' R(2yy))
'
y 2 y B y
gdy yIi (01 2
R (yy 1
)
R 0
0,
2
(ii 0 ( i2
i 0, 1
rR(i, sIL i
s iCR)0y))
s*R(s)h s, )ds,I ( yi )( y))R i ( ( 12.1
0
B
i E[ y(cs,i) (1 r)i]
max y(s,i) r)max2(cEWB(s) c s,i)ds 12
argc cB
max
s c i,Ci 2 s,i) h( 8
, R, c
i,Ci , R, B (1 i
0, 0, 0
i 0 0, 0, 0
2
'

0 yi 0,y ii2 2
i y s
gdy R12 sy 0
która stanowi dowodzoną równość (2). *
B'
2
0,s,i)) (1 B(s) (s,
R1 i
s R(s)h(s,i)1 gdy yi, )(ii' 0 C s i r)i c(s,i)12.1 h13 i)ds 12
Ci , R, B
maxdsi r
EW(1 max sRy(
2
i,Ci , R, B
c* c
i E[y(s,i (1 r)i] 8
)
i* arg 0, s, (1 r)i] 8
maxE[y( ci)
arg max
0, 0
i

s 12.1
0 gdy yi R' 02
ii R0( )rh)(is,i) s (1 )( R
0
max y(s1i) (1 cds, )B( )r h(is i)ds C ) 12
(s i s ,
B' s ', s 13 i

i,Ci , R, B

1 gdy y* R1 EW
max
max
'
i E[y(s,i) ( r)i] 8
R1
argEW gdy y
max0
Ci,,R,,B
ii,,Ci R B
R(s)h(s,i)i B (1 r)(i R 1 ) 12.1 13
ds' C
0

A. Paliński
98
Wykres 1
Standardowa umowa kredytowa (SDC) i kontrakt finansowy zależny od stanu natury (SCC)
w warunkach pełnej symetrii informacyjnej
R(y)
SCC
SDC
R1
y
y1
Bank mający zdywersyfikowany portfel kredytowy charakteryzuje się neutralnością względem
ryzyka i tym samym liniową zależnością użyteczności od dochodu. Stąd druga pochodna funkcji
użytecznoÅ›ci uL''(·) = 0, co prowadzi do IL(·) = 0. PrzedsiÄ™biorca zwykle charakteryzuje siÄ™ awersjÄ…
wzglÄ™dem ryzyka, zatem uB''(·) `" 0 i IB(·) `" 0, a stÄ…d R'(y) = IB(·)/IB(·) = 1.
Wniosek 1. W sytuacji pełnej symetrii informacyjnej pomiędzy agentami optymalną umową
finansową nie jest standardowa umowa kredytowa, ale kontrakt uwzględniający płatności dla
wszystkich stanów natury (state contingent contract  SCC), o funkcji liniowej względem y i kącie
nachylenia Ä„/2, co obrazuje wykres 1.
W warunkach doskonałego rynku, na którym nie byłoby asymetrii informacyjnej oraz nie
występowałyby koszty transakcyjne, dług przypominałby kapitał własny, a spłata dla dostar-
czyciela kapitału zależałaby od obserwowanych wyników przedsięwzięcia. Wynik inwestycji
byłby dzielony między strony umowy zgodnie z awersją do ryzyka. W praktyce rynkowej nie
obserwujemy jednak takiej sytuacji  umowy dłużne przybierają zwykle formę standardowej
umowy kredytowej. Przedstawiony model nie tłumaczy zatem powszechności występowania
standardowej umowy kredytowej. Niemniej jednak spotyka siÄ™ w praktyce bankowej umowy,
które zawierają element podziału ryzyka, np. ryzyka stopy procentowej  przez wprowadzenie
zmiennego oprocentowania  lub ryzyka walutowego przez wprowadzenie do umowy różno-
rodnych instrumentów pochodnych. Spotykane są również obligacje zamienne na akcje lub
akcje uprzywilejowane zamienne na obligacje. Nie zmienia to jednak znaczenia wniosku 1,
gdyż ryzyko wyniku przedsięwzięcia w większości umów dłużnych nie jest dzielone pomiędzy
strony umowy kredytowej.
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
99
3. Optymalny kontrakt kredytowy w warunkach asymetrii informacyjnej
 model kosztownej weryfikacji
W sytuacji asymetrii informacyjnej, gdy stan natury po zawarciu kontraktu jest znany tylko jed-
nemu z agentów, nie można uwzględnić w kontrakcie warunków płatności w uzależnieniu od
nieobserwowalnych dla wszystkich stron umowy stanów natury. Zgodne z intuicją i praktyką
gospodarczą jest przyjęcie założenia, że można poznać stan natury dzięki zastosowaniu kosz-
townego mechanizmu weryfikacji wyników przedsięwzięcia. Koszty weryfikacji mogą obejmo-
wać koszty zatrudnienia firmy audytorskiej, koszty związane z postępowaniem układowym
bÄ…dz
upadłościowym lub inne. Możliwe jest zatem pośrednie powiązanie płatności z wynikami
przedsięwzięcia za pośrednictwem procesu weryfikacji. Pierwszym modelem, za pomocą
którego dokonano próby kompleksowego wyjaśnienia wpływu kosztów weryfikacji na kształt
optymalnej umowy był model Towsenda (1979). Model ten wykazał optymalność standardowej
umowy kredytowej dla kontraktu deterministycznego, tzn. takiego, w którym kosztowny audyt
jest podejmowany na pewno, ale tylko w warunkach określonych w umowie. W pozostałych
warunkach audyt nie jest podejmowany w ogóle. Model Towsenda wskazał również na to, że
kontrakt stochastyczny, w którym audyt jest podejmowany losowo, dominuje w sensie Pareto
standardowÄ… umowÄ™ kredytowÄ….
Rozwinięciem ogólnego modelu finansowego Towsenda w odniesieniu do instytucji kredyto-
wo-depozytowych jest model Gale a i Hellwiga (1985), którego główne wyniki zostały następnie
potwierdzone przez Williamsona (1986; 1987). Model Gale a-Hellwiga przedstawia się następująco.
Przedsiębiorca i kredytodawca w okresie t = 0 zamierzają zawrzeć kontrakt dotyczący finanso-
wania przedsięwzięcia, którego wynik będący zmienną losową nastąpi w okresie t = 1. Nakłady
inwestycyjne przewyższają wartość majątku netto przedsiębiorcy, zatem w celu realizacji projektu
przedsiębiorca musi pozyskać zewnętrzne z
ródło finansowania pochodzące od jednego kredyto-
dawcy (inwestora). Kredytodawca może pozyskiwać na konkurencyjnym rynku środki finansowe
o stopie procentowej wolnej od ryzyka równej r, gdzie r > 0.
Początkowy majątek netto przedsiębiorcy wynosi W0 = A0  R0, gdzie A0 oznacza aktywa począt-
kowe, a R0  początkowe zadłużenie. Do poniesienia nakładów inwestycyjnych w wysokości i wy-
magane są wkład (kapitał) własny przedsiębiorcy Ci oraz kredyt L = i + R0  Ci, gdzie 0 d" Ci d" A0, oraz
A0  R0 < i. Przedsiębiorca maksymalizuje wartość oczekiwaną swojego majątku w okresie t = 1.
Kredytodawca i kredytobiorca charakteryzują się neutralnością względem ryzyka. Dzięki temu
problem podziału ryzyka staje się mało istotny, a cała uwaga może być skoncentrowana na przychodach
i kosztach przedsięwzięcia. W momencie podpisywania kontraktu obaj agenci mają w pełni symetrycz-
ną informację. Zwrot z projektu inwestycyjnego realizowany jest już w warunkach asymetrii informa-
cyjnej  przedsiębiorca obserwuje realizację projektu bez żadnych kosztów, podczas gdy kredytodawca
musi ponieść koszt audytu c = c(s,i), dzięki któremu uzyskuje pełną informację o zwrocie z projektu,
gdzie s oznacza stan natury s"S = !+. Koszt audytu jest faktycznie funkcją aktywów kredytobiorcy, gdyż
i = L + Ci  R0 d" A0 + L  P0. Inwestycja w okresie t = 0, o nakładzie i przynosi w okresie t = 1 przy stanie
natury s zwrot y = y(s, i), będący zmienną losową o gęstości h(s, i).
Założenie 1. y: !+ x !+ !+ jest klasy C2 oraz c: !+ x !+ !+ jest klasy C2, ponadto y(0, i) =
= y(s, 0) = 0,
 y
'
uB (y R(y))
5
'
uL (R(y))
'' ''
uB ( y R(y)) uL (R(y))
[1 R(y)] R'( y) 0 6
' '
uB ( y R(y)) uL (R(y))
'' ''
uL ( ) uB ( )
IL ( ) IB ( ) 7
' '
uL ( ) uB ( )
A. Paliński
100
IB (y R(y))
R'(y)
IB (y R( y)) IL (R(y))
y 2 y 2 y
0, 0, 0
i i2 s i
c 2c c
0, 0, 0
i i2 s
i* E[y(s,i)oraz r)i] 8
(1
arg max
co w uproszczeniu oznacza wklęsłość funkcji 0
przychodu wypukłość funkcji kosztu audytu
i
 obydwie względem wielkości inwestycji.
Przedsiębiorca, dążąc do maksymalizacji wartości oczekiwanej swojego majątku, stara się
max EW
i,Ci , R, B
zapewnić warunek uczestnictwa (PC) kredytodawcy. Zadanie można zdefiniować jako grę sygnali-
zacyjnÄ… (signaling game) a"(i, Ci, R, W, maxB (Y s, r)i c(s,i B(s) hJeden 12
M, B) (por. YAttar, Campioni )2003). (s,i)dsz graczy  kredyto-
max E[u 1
y(R(i))] (1
s
R
i
biorca  kontroluje w niej informacjÄ™ i,C , R, B
i wysyła sygnał na temat zwrotu z przedsięwzięcia, podczas
0
gdy drugi gracz  kredytodawca  obserwuje sygnał, ocenia rzeczywisty zwrot z projektu za pomocą
E[uL (R(Y ))]
(u )(i
s R(s h s,Li ) (1 r1.1 R C ) 12.1
0 i
reguły Bayesa i na tej podstawie podejmuje )akcję dsprzeprowadza audyt lub nie. W oryginale Gale

0 R( y) y 1.2
i Hellwig nie stosowali koncepcji gry sygnalizacyjnej, lecz jedynie oznaczali zgłaszany przez przed-
'

0 gdy y Sposób modelowania finansowego jako gry
siębiorcę stan natury jako s dla rzeczywistego stanu. R1
B' 13

IB (y R( ))
'
R'(y) pod koniec ylat 90. ubiegłego wieku, mimo ważnej pub-
sygnalizacyjnej stał się bowiem popularny 1 gdy y R1 (R(y)) 2
(y
IB R(y)) IL
likacji Spence a z 1973 r. dotyczącej rynku pracy. Ostateczny kształt grom sygnalizacyjnym nadali
0
dopiero Cho i Kreps w 1987 r.
L(R( y), y, ) uB ( y R( y) [uL (R(y) uL ] 3
W grze kredytobiorcy i kredytodawcy W oznacza wartość majątku przedsiębiorcy w okresie
L(R(y), y, )
' '
t = 1, M stanowi przestrzeń sygnałów kredytobiorcy, czyli zgłaszany przez kredytobiorcę przychód
uB (y R(y))R'( y) uL (R( y))R'( y) 0 4
wygenerowany przez przedsięwzięcie, y
R = R(m) określa funkcję spłaty kredytu, będącą funkcją
zgłoszonego przez kredytobiorcę stanu natury m. Przy raportowaniu zgodnym z rzeczywistością
'
uB ( y R(y))
5
'
zachodzi m = s. Funkcja określająca uobszar audytu B = B(m) przyjmuje dwie wartości  B = {0, 1},
(R( y))
L
przy czym B = 1 wyznacza zbiór, w którym kredytodawca podejmuje audyt. Ze względu na wysokie
'' ''
koszty audytu, którymi w przypadku(fałszywej R(y)] uL (R( y)) zostanie obciążony kredytobior-
uB y R( y)) sprawozdawczości y) 0 6
[1 R'(
' '
uB ( uL (R y))
ca, zbiór ten może być utożsamiany y R( y))
z obszarem upadłości ((B  bankruptcy). B = 0 oznacza brak
audytu  zbiór ten stanowi dopełnienie zbioru B i zwykle oznaczany jest Bc.
'' ''
uB ( )
W warunkach symetrii informacyjnej uL ( )
możliwe byłoby uzyskanie pierwszego najlepszego (first-
IL ( ) IB ( ) 7
' '
uL ( ) uB ( )
best) poziomu inwestycji w drodze maksymalizacji wartości oczekiwanej przychodu z inwestycji.
Pominięcie wartości oczekiwanej użyteczności Bobydwu ))
agentów i zastąpienie jej wartością oczeki-
I (y R(y
R'(y)
waną przychodu jest możliwe dzięki założeniu o neutralności względem ryzyka (liniowa funkcja
IB ( y R(y)) IL (R(y))
użyteczności względem przychodu).
y 2 y 2 y
W warunkach symetrii informacji lub braku kosztu monitoringu zadanie optymalizacji, którego
0, 0, 0
i i2 s i
celem jest maksymalizacja wartości oczekiwanej zwrotu z przedsięwzięcia ponad alternatywny
c 2c c
0, 0,
koszt inwestycji, przedstawiałoby się następująco: 0
i i2 s
i* E[y(s,i) (1 r)i] 8
arg max
(8)
i 0
max EW
i,Ci , B
Zadanie to ma dokładnie jedno , Rrozwiązanie ze względu na założenie 1 o wklęsłości funkcji
przychodu względem wartości inwestycji i. Wartość, ta zgodnie z przyjętym wcześniejszym warun-
max y(s,i) (1
s
i,Ci , R, B
kiem, musi być większa od wartości początkowej r)i c(s i)B(s) h(s,i)ds 12
majątku ,przedsiębiorcy W0.
s R(s)h(s,i)ds (1 r)(i R C ) 12.1
0 i
'

0 gdy y R1
B' 13

'

1 gdy y R1
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
101
W przypadku asymetrii informacji mamy jednak do czynienia z grÄ… z niekompletnÄ… informacjÄ…,
w przypadku której problem kontraktu można sprowadzić do znalezienia równowagi Nasha w grze
max E[uB (Y R(Y )] 1
R
bayesowskiej. Uzyskany wynik będzie jedynie drugim najlepszym (second-best) rozwiązaniem
problemu.
0
E[uL (R(Y ))] uL 1.1
Wartość majątku przedsiębiorcy dla stanu natury s w sytuacji raportowania przez niego stanu
m, ale takiego, dla którego B(m) = 0, czyli nie występuje audyt, wynosi:
0 R(y) y 1.2
W(s,m) = y(s,i) y) I ( C )  R(m). (9)
+ (1 + r)(A0B  y R(y))
R'( 2
i
IB (y R(y)) IL (R(y))
0
Zgłoszenie stanu natury m jest możliwe wtedy, gdy W(s,m) e" 0.
L(R( y), y, ) uB (y R( y) [uL (R(y) uL ] 3
L(R(y), y, )
Lemat 2. Warunek zgodności bodz
ców (IC) zachodzi, jeżeli: '
'
uB (y R(y))R'( y) uL (R( y))R'( y) 0
y
1) istnieje stała R1 taka, że R(m) = R1, jeżeli tylko B(m) = 0,
2) dla każdego (s, m) takiego, że B(s) = 0, B(m) = 1 i W(s, m) e" 0, zachodzi R1  R(m) e" c(m, i).
'
uB ( y R( ))
Szkic dowodu. Sposób dowodzenia warunku (1) yjest względnie oczywisty  jeżeli spłata nie
5
'
uL (R( y))
jest stała, a przychód z projektu jest wysoki w obszarze bez audytu, to kredytobiorca może zawsze
zgłosić niższy przychód i nadal unikać audytu. Warunek (2) nakłada wymóg, aby zwrot dla kredy-
'' ''
uB (y R(y)) uL (R(y))
todawcy był wyższy niż koszt audytu, gdyż w przeciwnym wypadku przedsiębiorcy opłacałoby się
[1 R(y)] R'( y) 0 6
' '
uB (y uL (R(y))
zapłacić wyższe R1 dla uniknięcia kosztu audytu. *R(y))
Zasada ujawnienia  revelation principle (Mayerson 1979) zastosowana do umów dłużnych sta-
'' ''
uL ( ) uB ( )
nowi, że dla kontraktów bez możliwości renegocjacji każda bayesowska równowaga Nasha w grze
IL ( ) IB ( ) 7
' '
uL ( ) uB ( )
sygnalizacyjnej jest słabo dominowana przez równowagę, w której agenci zgłaszają prawdziwy stan
natury (Dewatripont, Maskin 1990). W rozważanym zadaniu, przy założeniu braku renegocjacji,
IB (y R(y))
przestrzeń sygnałów jest zatem równa przestrzeni stanów natury m = s. Przyjęcie założenia o braku
R'(y)
IB (y R(y)) IL (R(y))
renegocjacji jest możliwe, gdyż to przedsiębiorca jest projektantem kontraktu (mechanism designer)
i w umowie uwzględniona już jest wartość ewentualnej restrukturyzacji finansowej. Przy takich
y 2 y 2 y
założeniach rozwiązaniem zadania będzie bayesowska równowaga Nasha w grze statycznej.
0, 0, 0
i i2 s i
Kontrakt zostaje zatem zdefiniowany jako wektor (i, Ci, R, W, B), a celem optymalizacji jest obec-
c 2c
nie znalezienie umowy maksymalizującej wartość oczekiwaną cmajątku przedsiębiorcy EW przy
0, 0, 0
i i2 s
zapewnieniu nieujemnej wartości oczekiwanej przychodu kredytodawcy (warunek indywidualnej
racjonalności kredytodawcy  IR) oraz zgodności bodz
ców (IC). Dodatkowo bierzemy pod uwagę
i* E[y(s,i) (1 r)i] 8
arg max
jedynie zbiór strategii czystych kredytodawcy (B = 0 albo B = 1). Optymalny kontrakt jest określony
i 0
przez następujące zadanie
max EW
(10)
i,Ci , R, B
max y(s,i) (1 r)i c(s,i)B(s) h(s,i)ds 12
s
przy warunkach
i,Ci , R, B
R( h s i 12.1
ER e" (1+r)(i s+ Rs) (C,) )ds (1 r)(i R C i ) (10.1)

0
0 i
R + W d" y  cB + (1+r)(A0  Ci) (10.2)
'
i e" 0, A0 e" Ci e" 0, W e" 0 y R1 (10.3)

0 gdy 13
B'

'
(i, Ci, R, W, B) spełnia warunek zgodności bodz
ców (IC) (10.4)

1 gdy y R1
 uB (y R(y))R ( y) uL (R(y))R ( y) 0 4

uB ((y R y))
u'' yy
R((y))
B
5
5
uL' ((R((y))
u' R y))
L
'
uB ( y R(y))
5
'
uL (R( ))
u''' y yR((y)) u'' R y))
uB'((y R y)) uL''((R((y))
B L
[[1 R y)] R''((y)) 0 6
1 R((y)] R y 0 6
uB ((y R((y)) uL' ((R((y))
u'' y R y)) u' R y))
'' ''
uB (By R( y)) uL (L y))
R(
[1 R(y)] R'( y) 0 6
' '
uB ( y R( yu))(( )) uL (R( y))
''
uL'' uB'(( ))
u'''
L B
IIL (( )) IIB (( )) 7
7
L B
uL' (( )) uB (( ))
u' u''
'' ''
uL ( L) uB ( B)
IL ( ) IB ( ) 7
' '
uL ( ) uB ( )
IIB ((y R((y))
y R y))
B
A. P ki
R y
102 R''((y))
max E[alBi(Å„s R(Y )] 1
u Y
R
IIB ((y R((y)) IIL((R((y))
y R y)) R y))
B
IB (y R(y))L
R'(y)
IB ( y
yR([y))( (2Yy())]( u0
y 22 E uL RIL R y))L 1.1
y y 2 y
0 0 0
0,, 0,, 0
Po uzyskaniu z (10.2) ze znakiem 2równości wartości majątku przedsiębiorcy W oraz wzięciu
ii ii2 ss ii

2
y c ze 2 0 R( yy
(10.1) jako wyrażenia na ER ctakże y2znakiem c) y 1.2
c 00 2 c
,0,, c równości, a następnie podstawieniu do (10) funkcja
0 0
i ii 0 2 ,0,, 0
celu przyjmuje następującą postać: i ii22 s ssi 0

IB (y R(y))
c 2c
R'(y )c 2
0, 0,
I0 (y R(y)) IL (R(y))
i* E[y  B
i2
ii* E[[y( ss,,ii)) 1 rr))ii]] 8
E y(s ((1 8
arg max
argmax(1+r)i  cB]  (1 + r)W0 (11)
ii 0
0
0
i* E[L((R(i)), (0 jest stała, R( y)
y s,y W1 )u] (y 8 można (ją )pominąć w zadaniu
r i
arg max
Wartość początkowa majątku kredytobiorcy y, ) B zatem [uL (R y uL ] 3
0
max EW
maxiEW
optymalizacyjnym. Ostatecznie Bzadanie można przedstawić następująco:
ii,Ci,,R,,B
,Ci R
L(R(y), y, )
' '
uB (y R(y))R'( y) uL (R( y))R'( y) 0 4
max EW y
i,Ci , R, B
(12)
max y ((1 c((ss,,ii))B((ss)) h((ss,,ii))ds 12
max ss y((ss,,ii)) 1 rr))ii c B h ds 12
iiCi R,, B
,,Ci,, R B
'
Rc(ys))i)B(s)
(
max y (s,i) (uB (r) , h(s,i)ds 12
1 'y i

5
przy warunkach
i,Ci , R, B
R( h ds u((1 )(ii R ii 12.1
C
R( y
ssR(sss))h((ss,,ii))ds 1( rr)()) R C)) 12.1
00
L
(IR)
s R(s)h(s,i)ds (''1 r)(i R C ) uL (R( y)) 12.1 (12.1)
''
0 gdyyu Ry''

0 gdy y B (R1 R(y))0 i
[1 R(y)] R'( y) 0 6
B 13
R(s) d" y(s,i) + (1+r)(A1  Ci)  c(s,i)B(s) 13 (12.2)
B'' (LL)


' '
uL (R( y))
gdy0 u (y0
'
1 gdy y BR'' R(y))
i e" 0, A 1e" Ci e" y R11 (12.3)

0 gdy y R1
0
B'
'
(i, (IC)
Ci, R, B) spełnia warunek zgodności bodz
ców 13 (12.4)
''

1 gdy y R1 '' uB ( )
uL ( )
IL ( ) IB ( ) 7
' '
uL ( ) uB ( )
Warunek ograniczonej odpowiedzialności (LL) zastąpił warunek W e" 0, a następnie W zostało
I (y R(y))
R'(y)
wyeliminowane z warunku zgodności bodz
ców (IC  B
10.4), gdyż (R(y))
IB (y R(y)) IL nie występuje w lemacie 2.
Definicja 1. Kontrakt (i, Ci, R, B) jest standardowÄ… umowÄ… kredytowÄ… (SDC) wtedy i tylko
wtedy, gdy:
y 2 y 2 y
0, 0, 0
i i2 s i
) = 0 (stała c
1) dla pewnego R1 zachodzi (1  B(s))(R(s)  R1 2
c c spłata),
0, 0, 0
2) B(s) = 1 Ô! y(s) < R1 (decyzja o upadÅ‚oÅ›ci),
i i2 s
3) B(s)R(s) = B(s))[y(s,i)  c(s,i)] (maksymalna spłata w warunkach niewypłacalności).
i* E[y(s,i) (1 r)i] 8
arg max
Definicja 2. Kontrakt (i, Ci, R, B) jest kontraktem o maksymalnym udziale kapitałowym (maxi-
i 0
mum equity participation  MEP) wtedy i tylko wtedy, gdy Ci = A0.
max EW
i,Ci , R, B
Lemat 3. Dowolny optymalny kontrakt jest słabo dominowany przez kontrakt o maksymalnym
udziale kapitałowym (MEP).
max y(s,i) (1 r)i c(s,i)B(s) h(s,i)ds 12
s
i,Ci , R, B
Dowód. Niech (i, Ci, R, B) będzie optymalnym kontraktem z MEP. Zdefiniujmy nowy kontrakt
R(s)h(s,i)ds (1 r)(i R C ) 12.1

0 i
(i, Ci, R', B'), który jest kontraktem z MEP stakim, że
'

0 gdy y R1
B' 13 (13)

'

1 gdy y R1
oraz
'


R gdy B' 0
1
R' 14
(14)

1.
y c gdy B'

R1 y R1c dH 0
0
(y)E , ( y,v, e)

max
I
E I
, ,v,l y
E I
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
103
103
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
103
Załóżmy, żeże R1' = R1, gdy R jest stałe dla B = 0. Gdy B'= B, wtedy mocy warunku ograniczonej
Załóżmy, R11' = R1, gdy R jest stałe dla B = 0. Gdy B'= B, wtedy na mocy warunku ograniczonej
Załóżmy, że R' = R1, gdy R jest stałe dla B = 0. Gdy B'= B, wtedy nana mocy warunku ograniczonej
odpowiedzialności (12.2) i konstrukcji zachodzi R d" R', gdyż (i, Ci, R, B)jest z założenia opty-
odpowiedzialności(12.2) i konstrukcji
odpowiedzialności (12.2) i konstrukcji R' R' opty-
R' zachodzi R d" R', gdyż (i, Ci, R, B) jest z założenia opty-
zachodzi R d" R', gdyż (i, Ci, R, B) jest z założenia
malnym zatem
malnym kontraktem.Jeżeli B' B' d" B,to zgodnie z lematem
malnym kontraktem. Jeżeli d" B, zgodnie z lematem (warunekIC) R d" R1 1 1 d" R',zatem B' B' d" B
kontraktem. Jeżeli Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorcaR d" R
B' d" B, totozgodnie z lematem 2 2(warunek IC) d" R', 103 B' d" B
2 (warunek IC) R d" Rd" R', zatem d" B
i R d" R' dla kontraktu, w którym R11' ' = R1. Możemy teraz wybrać najmniejsze możliwe R1', spełniające
i R d" R' dla kontraktu, w którym R1= R1. Możemy teraz wybrać najmniejsze możliwe R1', spełniające
i R d" R' dla kontraktu, w którym R' = R1. Możemy teraz wybrać najmniejsze możliwe R1', spełniające
warunek indywidualnejracjonalności kredytodawcy (12.1) z zerowąwartością oczekiwaną.
warunekindywidualnej racjonalności
warunek indywidualnej racjonalności kredytodawcy(12.1) z zerową wartością oczekiwaną. ak
kredytodawcy (12.1) z zerową wartością oczekiwaną. Takak
TT
Załóżmy, że R1' = R1, gdy R jest stałe dla B = 0. Gdy B'= B, wtedy na mocy warunku ograniczonej
skonstruowany kontrakt (i, Ci i, R', B') jest optymalny, gdyż B' d" B, co zapewnia najmniejszy możliwy
skonstruowany kontrakt (i, Ci, R', B') jest optymalny,R d" R', gdyż (i, Ci, R, B) jest z założenia opty- możliwy
gdyż B' d" B, zapewnia najmniejszy
skonstruowany kontrakt (i, C, R', B') jest optymalny, gdyż B' d" B, coco zapewnia najmniejszy możliwy
odpowiedzialności (12.2) i konstrukcji R' zachodzi
obszar audytu i i zwiÄ…zane z tym minimalne koszty weryfikacji.
obszar audytuzwiÄ…zane z tym minimalne koszty weryfikacji.
malnym kontraktem. Jeżeli B' d" B, to zgodnie z lematem 2 (warunek IC) R d" R1 d" R', zatem B' d" B
obszar audytu i zwiÄ…zane z tym minimalne koszty weryfikacji.
i R d" R' dla kontraktu, w którym R1' = R1. Możemy teraz wybrać najmniejsze możliwe R1', spełniające
Rozważmy terazkontrakt (i, Ci'', R'', B'') bez MEP,skonstruowany tak jakkontrakt (i, Ci, R', B').
Rozważmyteraz kontrakt
Rozważmy teraz kontrakt (i, Ci'', R'', B'') bezMEP, skonstruowany takjak kontrakt (i, Ci, R', B').
(i, Ci'', R'', B'') bez MEP, skonstruowanytak jak kontrakt (i, Ci, R', B').
warunek indywidualnej racjonalności kredytodawcy (12.1) z zerową wartością oczekiwaną. T
Dla spełnienia warunku IR z zerową wartością oczekiwaną musi być R ' d" R1Warunekak ograniczo-
Dla spełnienia warunku IR z zerową wartością oczekiwaną musi być 1' ograniczo-
Dla spełnienia warunku IR z zerową wartością oczekiwaną musi być RR'd" R1''. ''. Warunek
d" R1''. Warunek ograniczo-

1 1
skonstruowany kontrakt (i, Ci, R', B') jest optymalny, gdyż B' d" B, co zapewnia najmniejszy możliwy
nej odpowiedzialności oraz konstrukcja kontraktu powodują,że skoro ' d" R musi byćB' d" B.
nej odpowiedzialności orazkonstrukcja kontraktu powodują, żeżeskoro RRR'd" R1, 1, być B'B' B. B.
skoro 1'
nej odpowiedzialności oraz konstrukcja kontraktu powodują, d" R1,totomusi być d" d"
to musi
obszar audytu i zwiÄ…zane z tym minimalne koszty weryfikacji.

1 1
Rozważmy teraz kontrakt (i, Ci'', R'', B'') bez MEP, skonstruowany tak jak kontrakt (i, Ci, R', B').
Obszar audytu dla kontraktu z MEP jest zatem mniejszy lub równy obszarowi audytu dla kontraktu
Obszar audytu dla kontraktu z MEP jest zatem mniejszy lub równy obszarowi audytu dla kontraktu
Obszar audytu dla kontraktu z MEP jest zatem mniejszy lub równy obszarowi audytu dla kontraktu
Dla

bez MEP, a więcspełnienia warunku IR z zerową wartością (Wykres 2). **
bez MEPa więc kontrakt z MEP jest optymalny (Wykres 2).
kontrakt z MEP jest optymalny (Wykres 2). *
bez MEP, , a więckontrakt z MEP jest optymalny oczekiwaną musi być R1' d" R1''. Warunek ograniczo-
nej odpowiedzialności oraz konstrukcja kontraktu powodują, że skoro R1' d" R1, to musi być B' d" B.

Z Z lematu wynika, żeże niezależnie tego, jaką formę przyjmie umowa długu, to spośród dwóch
lematuObszar audytu dla kontraktu z MEP jest zatem mniejszy lub równy obszarowi audytu dla kontraktu dwóch
3 3 wynika, niezależnie odod tego, jaką formę przyjmie umowa długu, to spośród
Z lematu 3 wynika, że niezależnie od tego, jaką formę przyjmie umowa długu, to spośród dwóch
umów optymalna będzie ta, która zakłada udział przedsiębiorcy w przedsięwzięciu inwestycyjnym
umów optymalna będzie ta, która zakłada udział przedsiębiorcy w przedsięwzięciu inwestycyjnym
bez MEP, a więc kontrakt z MEP jest optymalny (Wykres 2). *
umów optymalna będzie ta, która zakłada udział przedsiębiorcy w przedsięwzięciu inwestycyjnym
Z lematu 3 wynika,
o wartości równej wszystkim jego aktywom.
o wartości równej wszystkim jegoaktywom.
aktywom.
o wartości równej wszystkim że niezależnie od tego, jaką formę przyjmie umowa długu, to spośród dwóch
jego
umów optymalna będzie ta, która zakłada udział przedsiębiorcy w przedsięwzięciu inwestycyjnym
o wartości równej wszystkim jego aktywom.
'


Lemat 4. Niech(i, Ci, R, B) będzie kontraktem o maksymalnym udziale kapitałowym(MEP)
Lemat 4.Niech (i, Ci, R, B) będzie kontraktem o maksymalnym udziale kapitałowym (MEP)
o maksymalnymudziale kapitałowym (MEP)
R
1
Lemat 4. Niech (i, Ci, R, B) będzie kontraktem gdy B' 0
R' 14

i R1 = R(s), gdy B(s) = 0. Załóżmy, dla dowolniemałej zmiany w kontrakcie koszty audytusą
i R1 = R(s),

i R1 = R(s), gdy Lemat 4. Niech (i, Ci, R, B) będzie kontraktem o maksymalnym udziale kapitałowym (MEP) audytu sąsą
gdy B(s) = 0. Załóżmy że dla dowolnie małej zmiany w kontrakcie koszty audytu
B(s) = 0. Załóżmy, , żeże y c gdy B' 1.
dla dowolnie małej zmianyw kontrakcie koszty
i R1 = R(s),
większe ododzera, tzn. B(s) = 0. Załóżmy, że dla dowolnie małej zmiany w kontrakcie koszty audytu są
większe zera, tzn.gdy
zera, tzn.
większe od większe od zera, tzn.
00 RRRR y yyyRRcRdHRdH 000
0 R yy R RRccdH 0 0
00 R R R R R0yR cdHcdHR1

01 RRR1 cdH00
R1 0y1 R1
0001 R y
11 y c dH
00 0001RR1 y0yRR11111y 1
R1 yy 1
0 0 R1 1 y R1
1 11

1
Wtedy (i, (i, iCR, R, B) jest standardowÄ…umowÄ… kredytowÄ… (SDC).( y,v,e)
Wtedy C , B) jest R, B) jest standardowÄ… umowÄ… kredytowÄ… E (SDC).
umowÄ… kredytowÄ…
(SDC).
Wtedy (i, C, Wtedy (i, Ci, standardowÄ… umowÄ… kredytowÄ… (SDC).
, iR, B) jest standardowÄ…
i (y)) będą

max
Dowód. Niech kontrakt (i, Ci, R, B) , , I
oraz l(i, C optymalnymi kontraktami z MEP opi-
E I

Dowód. Niech kontrakt (i, (i, iCR, B) oraz (i, Ci i, R' B' będą optymalnymi kontraktami z MEP opi-
Dowód. Niech kontrakt C orazv,(i, Ci, R' B' )) )będą optymalnymi kontraktami z MEP opi-
E I , R' optymalnymi
Dowód. Niech kontrakt (i, C, , i, R, B)oraz ,(i, Cy, R' B' B' będąE B  B' )c = 0. kontraktami z MEP opi-
R, B)
i
sanymi wcześniej. Ponieważ obydwa są optymalne, zachodzi
i
sanymi wcześniej. Ponieważhipoteza w lemacie 4 zakłada, zachodzi E B  B' )c = 0.
sanymi wcześniej.B' d" B, to obydwa sąsą optymalne, zachodzi E B  B' )c = 0.
Ponieważ obydwa optymalne,
Jeżeli zachodzi E(B  B' )c = 0.
sanymi wcześniej. Ponieważ obydwa są optymalne, że R1' = R1. W przeciwnym razie koszt audytu
byłby w obu przypadkach różny i c 0. Jeżeli B'
,
Jeżeli d" B, E I ' = R1
Jeżeli
Jeżeli B' B' d" B,to hipoteza w lemacie 4(zakłada,że RRR' = R. . WW przeciwnymrazie koszt audytu
B' d" B, toto hipotezaw lemacie 4 zakłada, żeże 1y,v,obydwa przeciwnym razie koszt audytu
hipoteza w lemacie y)E ( ' = R11 .W przeciwnym razie koszt audytu
4 zakłada, `" B, Ewtedy e) u kontrakty muszą różnić się
1
y
1
byłby w obu przypadkachróżny i c 0. Jeżeli `" B, wtedy obydwa kontraktymuszą różnić się
byłbyw obu przypadkach różny i c 0.Jeżeli B' B' `" B,wtedy obydwa
Jeżeli
byłby w obu przypadkach różny i c > 0. B' `" B, wtedy obydwa kontrakty musząróżnić się
kontrakty muszą różnić się
(y | v)E ' ' ( y,v,e)

max
I
I
' ,v',l ' y
Wykres 2
I
Optymalny kontrakt z maksymalnym udziałem kapitałowym (MEP) oraz bez maksymalnego udziału
kapitałowego (bez MEP)
E ' ' (y,v,e) u '
Wykres 222
Wykres
Wykres
E y
I
Optymalny kontrakt z maksymalnym udziałem kapitałowym (MEP) oraz bez maksymalnego udziału
Optymalny kontrakt z maksymalnym udziałem kapitałowym (MEP) oraz bez maksymalnego udziału
Optymalny kontrakt z maksymalnym udziałem kapitałowym (MEP) oraz bez maksymalnego udziału
R(y)
kapitałowego (bez MEP)
kapitałowego (bez MEP)
kapitałowego (bez MEP)
u '
y
R(y)
R(y)
R(y)
0 x cE y 19.1
bez MEP
R1 ''
MEP
R1 '
y ( y cI cE ) (y | yk ) 19.2

y yk
R(y' (x cE )) cE dla y B
MEP
c bezbez MEP
bez MEP y
B y' y'' B
R1 '' ''
R1R'' R'(y')
1

MEP
MEP
R(y' (x cE )) dla y Bc.
MEP
R1 ' '
R1R'1
y
y (y)dy r 20

0
c c
yy y
BB B y' y' y''
B B
Ć Ć
y'
y''y'' B c R( y) R( y')
y [0,y] y' B
[y R(y)] (y)dy (y R ) (y)dy

R R1 R R1 1
21
y y
y (y)dy min(R(y), R ) (y)dy,

0 0 1
[R(y) c] (y)dy R (y)dy

A. Paliński
104
niepustym zbiorem stanów, dla których y e" R1, ale wtedy E(B  B' )c > 0, co stanowi sprzeczność.
B'= B i na mocy warunku (10.1) oraz warunku zerowej wartości oczekiwanej zwrotu dla inwestora
mamy R1' = R1. *
Lemat 4 stanowi w uproszczeniu, że jeżeli jakakolwiek zmiana w umowie kwoty spłaty w ob-
szarze audytu wiąże się ze zmianą kosztów audytu, to optymalną umową o maksymalnym udziale
kapitałowym jest standardowa umowa kredytowa. Lemat 4 prowadzi natychmiast do twierdzenia 1.
Twierdzenie 1. Dowolny optymalny kontrakt dłużny jest słabo dominowany przez standardową
umowę kredytową (SDC) o maksymalnym udziale kapitałowym (MEP).
Z twierdzenia 1 wynika, że standardowa umowa kredytowa, w której kredytobiorca angażuje
w przedsięwzięcie inwestycyjne cały swój majątek, jest optymalną umową dłużną. Twierdzenie
to jest zgodne z intuicją, gdyż w praktyce bankowej przy udzielaniu kredytu zwykle stosowany
jest wymóg minimalnego granicznego udziału środków własnych przedsiębiorcy inwestowanych
w przedsięwzięcie. Realizacja tego twierdzenia nie jest jednak możliwa w praktyce z powodu trud-
ności z wyceną wszystkich aktywów przedsiębiorcy, braku ich płynności bądz
prowadzenia przez
podmioty działalności w wielu obszarach gospodarki równocześnie; stąd jedynie określenie a priori
wymaganego udziału własnego.
Wniosek 2. W warunkach neutralności względem ryzyka agentów problem podziału ryzyka nie
odgrywa roli, a zagadnienie sprowadza się do minimalizacji wartości oczekiwanej kosztów weryfi-
kacji, czyli minimalizacji zbioru upadłości.
Asymetria informacyjna i zwiÄ…zane z niÄ… koszty weryfikacji rzeczywistego stanu natury powo-
dują, że problem kontraktowy dotyczący umowy dłużnej staje się zagadnieniem znajdowania rów-
nowagi w grze bayesowskiej. Dążenie obu stron umowy do minimalizacji kosztów utraconych i tym
samym zwiększenia dochodu do podziału pomiędzy nich powoduje zawarcie umowy kredytowej
o stałej kwocie spłaty. Dopiero brak spłaty wywołuje reakcję kredytodawcy związaną z weryfikacją
rzeczywistych wyników przedsięwzięcia. Dążenie kredytobiorcy do uniknięcia kosztów weryfikacji
i groz
ba upadłości skłaniają go do spłaty określonej w umowie kwoty, jeżeli tylko zwrot z przedsię-
wzięcia mu to umożliwia. Analizowany model wykazuje więc, że to koszty weryfikacji wyników
przedsięwzięcia są przyczyną powszechnego stosowania w gospodarce standardowych umów kre-
dytowych w gospodarce jako formy umów dłużnych.
4. Optymalny kontrakt kredytowy w warunkach niedoskonałego systemu
sÄ…downiczego  model kosztownego wymuszenia
Model Gale a-Hellwiga zakłada stosowanie jedynie strategii czystych. W szczególności dotyczy to
kredytodawcy, który może albo nie podejmować decyzji o przeprowadzeniu audytu, albo ją podjąć
w określonych warunkach, bez stosowania losowości. Przy takim założeniu uzyskuje się kontrakt
deterministyczny o charakterze standardowej umowy kredytowej. Inne modele, takie jak model
Towsenda (1979), Bordera-Sobela (1987) i Mookherjee-Pnga (1989), wykazały jednak możliwość
istnienia równowagi w strategiach mieszanych. Taka równowaga wyznacza kontrakt stochastyczny,
w którym wierzyciel może losowo podejmować decyzję o przeprowadzeniu audytu. Kontrakt sto-
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
105
chastyczny dominuje dług w sensie Pareto, jednakże nie jest on spotykany w umowach dłużnych,
lecz jedynie w podatkach i ubezpieczeniach. Przyczyną takiej sytuacji jest brak możliwości renego-
cjacji kontraktów podatkowych i ubezpieczeniowych, a także często ich obligatoryjność, co rodzi
pokusę losowego pozorowania niskiego zwrotu przez dłużnika i powoduje losowy audyt wyników
przedsięwzięcia przez wierzyciela (tzw. równowaga hybrydowa).
W przypadku umowy dłużnej kredytobiorca będzie spychał dochód kredytodawcy do zerowej
wartości oczekiwanej, wymuszając na nim renegocjację. W takiej grze istnieje zatem jedyna rów-
nowaga (tzw. łącząca), w której kredytobiorca niezależnie od wysokości zwrotu z przedsięwzięcia
płaci jednakową kwotę zapewniającą minimalną (zerową) stopę zwrotu dla kredytodawcy. Zawarta
umowa dłużna uwzględnia już wynik potencjalnej restrukturyzacji. Oczywiście kwestia determini-
styczności lub stochastyczności audytu także może być elementem umowy dłużnej.
W kontekście powyższych rozważań zainteresowanie budzi możliwość zastosowania stra-
tegii mieszanej w jednym modelu, zapewniającym obydwa typy rozwiązań w zależności od
rodzaju umowy zadłużenia. Słabością typowych modeli kosztownej weryfikacji, w tym funda-
mentalnego modelu Gale a-Hellwiga, jest założenie (często przyjmowane w sposób niejawny),
że egzekwowanie warunków umowy jest pełne i pozbawione kosztów. Dopóki zatem dochód
z przedsięwzięcia przewyższa ustaloną kwotę spłaty, dopóty jest ona spłacana. Poniżej tej war-
tości kredytodawca bez przeszkód i kosztów przejmuje całkowite przepływy pieniężne wyge-
nerowane przez przedsięwzięcie.
Rozwiązanie obydwu wątpliwości dotyczących współistnienia stochastycznych i determini-
stycznych kontraktów oraz istnienia trudności i kosztów związanych z egzekwowaniem umowy
przyniósł model Krasy i Villamila (2000). Stanowi on uogólnienie modelu kosztownej weryfikacji
przez wprowadzenie możliwości swobodnego niedotrzymania umowy przez kredytobiorcę oraz
dobrowolnej decyzji kredytodawcy dotyczÄ…cej wykorzystania przymusu w celu wyegzekwowania
umowy. System przymusu, którym może być sąd, jest jednak niedoskonały i kosztowny. Z jednej
strony sąd może nie być zdolny do przejęcia wszystkich aktywów dłużnika, gdyż część z nich mo-
że zostać ukryta. Z drugiej strony system prawny nie pozwala zwykle na przejęcie całości majątku
dłużnika, aby nie pozbawić go środków do życia. Poza tym postępowanie sądowe wymaga ponie-
sienia opłat i kosztów przez obydwie strony postępowania.
Rozważmy gospodarkę z dwoma neutralnymi względem ryzyka agentami oraz początkowy
okres planowania i trzy następujące po nim kolejne okresy. Konsumpcja następuje dopiero w ostat-
nim okresie. Jeden z agentów  przedsiębiorca  pozbawiony kapitału dysponuje technologią po-
zwalającą zamienić jedną jednostkę nakładu w y jednostek wyniku. Wynik y jest zmienną losową

dyskretnÄ… ze skoÅ„czonÄ… liczbÄ… realizacji y " Y = {y,& , y}‚" !+. Inwestor  kredytodawca dysponuje
_
natomiast jedną jednostką kapitału. Obydwaj agenci mają powszechną początkową wiedzę na te-
mat ocen (beliefs) ²(·) na zbiorze możliwych realizacji Y, gdzie ²(y) > 0, i obydwaj wiedzÄ…, że wynik
przedsięwzięcia będzie obserwowany jedynie przez przedsiębiorcę.
Aby doszło do rozpoczęcia działalności, przedsiębiorca musi pożyczyć kapitał od inwesto-
ra i obydwie strony muszą zawrzeć kontrakt w początkowym okresie t = 0. Sekwencja gry jest
następująca.
1. W pierwszym okresie t = 1 natura wybiera zwrot z przedsięwzięcia.
2. W następnym okresie t = 2 przedsiębiorca, obserwując wynik przedsięwzięcia, decyduje
o tym, jaką kwotę płatności dokonać na rzecz inwestora, biorąc pod uwagę możliwość niedokonania
A. Paliński
106

płatności w ogóle. Dobrowolna początkowa płatność v " V = {v,& , v}, gdzie vi d" vi+1, nie może być
póz
niej zwrócona i nie może być wymuszona przez sąd.
3. W ostatnim okresie t = 3 inwestor, znając kwotę płatności, ale nie stan natury, decyduje
o ewentualnym wymuszeniu płatności przy wykorzystaniu kosztownej technologii zwanej
sÄ…dem. Inwestor podejmuje dziaÅ‚anie e, za pomocÄ… którego może wymusić pÅ‚atność l(·). Jeżeli
e = 1, wtedy płatność l jest wymuszana, w przeciwnym wypadku e = 0 i nie dochodzi do wymu-
szenia płatności.
Aktywa przedsiębiorcy przed podjęciem decyzji o skierowaniu sprawy do sądu wynoszą y  v.
Ze względu na możliwość ukrycia przez przedsiębiorcę części aktywów lub inne przyczyny prawne

sąd nie jest w stanie przejąć środków o wartości x. Maksymalny transfer wymuszony na przedsię-

biorcy wynosi zatem x = max{y  v  x, 0}. Zakłada się, że decyzję o wymuszeniu płatności podejmu-
je inwestor kredytodawca, a dodatnie koszty sądowe wynoszą dla inwestora cI i przedsiębiorcy cE.
Są to koszty utracone. Sąd określa prawdziwy stan natury y i wymusza płatność l(x, v).
Funkcje wypłaty dla obydwu agentów Ąi (gdzie i = E, I) są następujące
Ä„E (y, v, e) = y  v  e[l(x, v) + cE] oraz (15)

Ä„I (y, v, e) = v + e[l(x, v)  cI], gdzie x = max{y  v  x, 0} (16)
Zamiast pary (R, B), jak w przypadku modelu kosztownej weryfikacji, mamy wektor (v, l, ÃE,
ÃI, ²(y|v)), gdzie pÅ‚atnoÅ›ci v, l oraz uaktualniona ocena ²(y|v) definiujÄ… niekooperacyjnÄ… grÄ™ z nie-
kompletnÄ… informacjÄ… ze strategiami mieszanymi ÃE i ÃI. Strategia ÃE jest prawdopodobieÅ„stwem,
które przedsiÄ™biorca przypisuje poszczególnym dobrowolnym pÅ‚atnoÅ›ciom v, podczas gdy ÃI jest
prawdopodobieÅ„stwem, z jakim inwestor wybiera e w celu wymuszenia pÅ‚atnoÅ›ci l. Ocena ²(y|v)
jest uaktualnioną oceną rzeczywistego stanu natury, której inwestor kredytodawca dokonał po
zaobserwowaniu płatności v. Przebieg gry wraz ze strategiami i ocenami obydwu agentów przed-
stawiony jest na wykresie 3.
Wykres 3. Przebieg gry w modelu kosztownego wymuszenia
y v e
t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
Ocena: (y) (y|v)
² ²
Strategia: Ã Ã
(y; v) (v; e)
E I
y
ródło: Krasa, Villamil (2000).
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
107
Zasada ujawnienia (revelation principle) nie może być zastosowana w tej grze, gdyż istnieje
możliwość póz
niejszej renegocjacji zawartego kontraktu. Strategie ÃE i ÃI, sÅ‚użące optymalnemu
wyborowi v i e, będące rozwiązaniem gry, wyznaczają zatem doskonałą równowagę bayesowską
(perfect Bayesian equilibrium  zob. np.: Watson 2005, s. 312 331 lub Gibbons 1992, s. 173 244;
sposób znajdowania punktów równowagi dla tego modelu można znalez
ć w pracy: Paliński
2008).
Definicja 3. Zbiór strategii ÃE, ÃI oraz ocen ²(y), ²(y|v) stanowi bayesowskÄ… równowagÄ™ dosko-
nałą wtedy i tylko wtedy, gdy:
1) ÃE " SE maksymalizuje EÃE,ÃI Ä„E(y, v, e) dla każdego y,
2) ÃI " SI maksymalizuje S ²(y|v)EÃI Ä„I(y, v, e) dla każdego v,
y"Y
3) ²(y|v) jest otrzymywane z reguÅ‚y Bayesa wtedy, kiedy tylko jest to możliwe.
Warunki (1) oraz (2) oznaczają, że każda ze strategii musi stanowić doskonałą równowagę bay-
esowską dla każdej podgry przy danych ocenach. Warunek (3) określa sposób uaktualnienia ocen
po zaobserwowaniu dobrowolnej płatności v.
Bayesowska równowaga zapewnia sekwencyjną racjonalność strategii obydwu graczy. Znaczy
to, że strategia przedsiębiorcy jest 'dla niego optymalna przy uwzględnieniu z góry ocen kredyto-
'

gdy B 0
dawcy, jakie ten R' R1
sformułuje po zaobserwowaniu płatności przedsiębiorcy.
14

R1 gdy B' 0
c gdy B' 1.

y '
W sytuacji możliwości renegocjacji kontraktu w okresie t = 2 (co jest możliwe w odniesieniu do

R' 14

umowy kredytowej) optymalny kontrakt określony jest przez następujące zadanie dla początkowego

B'
y c gdy dH 1.

R1 y R1c 0
okresu t = 0, wyznaczone z punktu widzenia inwestora kredytodawcy:
0

R1 y R1c dH 0
0

(y)E , (y, v,e) (17)
max
I
E I
, ,v,l y
E I
(y)E , (y,v, e)

max
I
E I
,v,l y
E I
przy warunkach , (y)E (y,v,e) u


, E
E I
y
(IR) (17.1)
(y)E , (y,v,e) u

E
E I
y
(y | v)E ' ' (y, v e)

max
0 d" v d" y oraz 0 d" l(x, Iv) d" y ,dla każdego y, v, (17.2)
I
' ,v',l ' y
I
ÃE, ÃI, ²(y), ²(y|v) stanowiÄ… bayesowskÄ… równowagÄ™ doskonaÅ‚Ä… dla t = 1, (17.3)
(y | v)E ' ' ( y,v, e)

max
I
I
v', ' y
I
v'
, ,l, lÃIEsÄ… spójne w czasie (time consistent). (17.4)
E ' ' (y,v,e) u '
y
I
E ' ' (y,v,e) u '
E y
I
Maksymalizację wartości oczekiwanej użyteczności inwestora ograniczają cztery warunki. Wa-
u '
y
runek indywidualnej racjonalności (IR) służy zapewnieniu przedsiębiorcy co najmniej granicznej
u '
y

wartości oczekiwanej użyteczności (poziomu rezerwacji) równej u dla każdego stanu natury. Na-
0 x cE y 19.1
stępny jest warunek xwykonalności  aby płatność przedsiębiorcy oraz kara wymuszona przez sąd
0 cE y 19.1
były nie większe niż wynik przedsięwzięcia, a także by nie były konieczne dodatkowe płatności ze
y (y cI cE ) (y | yk ) 19.2

y yk
strony inwestora. Doskonała równowaga bayesowska zastępuje warunek zgodności bodz
ców (IC).
y ( y cI cE ) (y | yk ) 19.2

y yk
Spójność w czasie oznacza (y' (x cE )) cE dla y B
Rutrzymanie strategii wybranej we wcześniejszym etapie gry jako opty-

R'(y')
malnej w kolejnym etapie gry.

c
Rmożliwości cE dla y B .
(y' (x cE )) dla y B
R(y' (x cE ))zmiany strategii w okresie t = 2, ale warunek spójności

Obydwaj agenci 'majÄ…
R'(y )

w czasie zapewnia, że optymalna strategia w kolejnym etapie bÄ™dzie v' = v, l' = l oraz Ã' = ÃI, gdzie
R(y' (x cE )) dla y Bc.
y
I
y (y)dy 20

0
v', l', Ã' stanowiÄ… optymalny rplan dla t = 2, bÄ™dÄ…cy rozwiÄ…zaniem zadania optymalizacji przed-
I
y
y y)dy r 20
stawionego w dalszej (kolejności. Agenci nie będą planować renegocjacji w drugim okresie, gdyż

0
Ć Ć
y [0,y] y' B R( y) R(y')
Ć Ć
y [0,y] y' B R(y) R( y')
[y R(y)] (y)dy (y R ) (y)dy

R R1 R R1 1
21
y y
[y R(0yy ((yy)dy ( R 1 y
)]
)dy min(yR
(y),)R()y)(dy)dy,

R R1 R R1 1
0
21
y y
y (y)dy min(R(y), R ) (y)dy,

'


R gdy B' 0
1
R' 14


c gdy B' 1.
y '


R gdy B' 0
1 A. Paliński
108
R' 14

'

y c gdy 1.0
cB
R1 dH
y R1
0

R1 przewidziana y, v,e)

możliwość ta zostanie już y R1c dH 0
0 w strategiach wybranych w poczÄ…tkowym okresie i stanowi
(y)E , (

max
I
E I
, ,v,l y
E I
równocześnie ograniczenie pierwotnego kontraktu.
(y)E , (y,v, e)

Optymalny kontrakt w okresie t = 2, będący kontynuacją pierwotnego kontraktu, jest wyznaczo-
max
I
E I
, y
E I
(v,l
,
E I
ny przez następujące y)E , E (y,v,e) u
zadanie:
y
(y)E , (y,v,e) u

E
E I
y
(y | v)E ' ' (y, v, e)
(18)
max
I
I
' ,v',l' y
I
(y | v)E I ' R'

max
I
przy warunkach: E' 'y (y,v,e) u' ' ( y,v, e) 1 B'gdy B' 0
R1'
,v',l '

R gdy 0 14
I '
' E y
I
R' 14


y c gdy B' 1.

1.
y c gdy B'
E' ' (y,v,e) u ' dla każdego y, dla którego ²(y|v) > 0 (IR) (18.1)
E y
u 'I
y
c dH 0
v d" v' d" y dla których ²(y|v) > 0 oraz 0 d" l' (y) d" y dla każdego y (18.2)

c dH
R1 0 R y R1 0
y 1
R
uI' spełnia y definicji 3 1 19.1 (18.3)
à x cE warunek (2) 0
y
0
(

max(y)E (y)E y, ,v,e)y,v, e)
E I
,
E I
E I
0 x cE ) max ,v,l y , I (19.1 I
(cyE cy
Warunek racjonalności podmiotu ,(IR) zapewnia przedsiębiorcy co najmniej graniczną wartość
, ,
E I
y ( |vyl )y 19.2
y
I k

y yk
oczekiwanÄ… użytecznoÅ›ci równÄ… u' dla tych stanów natury, dla których ocena inwestora ²(y|v) po
y
(y)E (y,v,e) u

E I
(yky (y ,v,E) u
E E
y ( y cI cE ) (y | y ) , 19.2

zaobserwowaniu dobrowolnej płatności v )jest ,dodatnia. eWarunkiem tym jest wymóg, aby strategia

E I
y
y yk
R(y' (x cE )) cE dla y B

przedsiębiorcy była najlepszą odpowiedzią na strategię inwestora przyjętą po otrzymaniu płatności
R'(y')

(y
R(y' (x cE ))
max
v i aktualizacji oceny do ²(y|v). NastÄ™pny c v(,lydla y | taki, ,by dobrowolna pÅ‚atność oraz pÅ‚atność
jest B' .
R(y' (x max warunek y v)cE y' ' ( y,v,e)
I
|yv)E ( v,Ie)
cE )) ' , ' ' dla BI

I '
E
I
' ,v',l y
R'(y') I
wymuszona przez sąd były wykonalne. 'Trzeci warunek cto wymóg optymalności decyzji o wymu-

y
(
R yr' (x cE )) dla y B . 20
y (
szeniu płatności przez y)dy E ' ' (y, v,e) u '
inwestora.

0
y
I
E ' ' (y,v,E u '
e)
E y
I
y
) r 20
Dla (y dy R( y) roęwiązania zadania należy przyjąć dodatkowo następujące za-
0
Założenie 2. yy zapewnięnia R ( y')
[0,y] y' B u '
y
u '
y
łożenia:
Ć Ć
y [[0,y] y(y)] (y) R y')
R' B R(y) (
y dy
0(y x cE y dy 19.1

x R ) ( )y
(19.1)
R R1 R R1 1
0 cE y 19.1
21
y y
min(R(y), R dy,
[y R(yy ((yy))dy (y R()y dy
)] dy
0 0 1

R R1 R R1 1
y ()yc)(y) ) (y | yk ) 19.2
c
21
y ( y cE )I (yE| y k ) 19.2 (19.2)
cyI

y
y y k
y yk
y] y dy min( (y)dy1) (y)dy,
0 0
[R(y ) c ((y))dy RR(y), R

R R1 R R1 1
22
R(y' (x cE )) c dla y B
y R1
Ry ' cE )) cE dlaE y B
(ydy(0x
gdzie k jest liczbą stanów w obszarze R ) Ry dy)) c (y)dy.
min(y)(y),upadłości (zob. Sharma 2003; Krasa, Villami 2003).
Rdy 1 (R(
y('
)
'

[R(y) c] (
0

R R1 R R1 1
R'(y')
x cE )) dla Bc.

Założenia te służą określeniu minimalnego ' (R(y' ()) po 22 cy przedsiębiorcy, jak
x cE dla B .
y R1
R(y zwrotu zarówno ystronie
y min(R(y sądowego zwrot z przedsięwzięcia 23

0 1
i inwestora. W wyniku min(R( y), R ) y) ( c (y)dy. dla przedsiębiorcy dzięki
wymuszenia ),(R )dyy)dy 0
min
y
0 1
R, R1
y y (y)dy r 20

pierwszemu założeniu będzie niewielki, ale dodatni. Drugie założenie ma zapewnić, że oczekiwany
y (y0)dy r 20
y
0
min(R( y), R ) (y)dyR 23
min
zwrot inwestora w przypadku upadłości po pokryciu kosztów sądowych będzie większy niż najniż-
0 1
y
1
R, R1
min(R(y), R ) (y dy c (y) rR(natury(.y' ) 23.1
dy
Ć Ć

0 1 0 y)
szy pewny zwrot z przedsięwzięcia )w najgorszym (stanie ( y') R
y' B
Ć Ć
y [0,y] y [0,y]R y) R
y' B
y R1
(y)dy r 23.1
1 min(R(y), R ) (y)dy c
0 1 0
) (y)dy
Lemat 5. Niech dla danych V, l strategie mieszane I(, ÃE stanowiÄ… Rdy
y c r [y R(y)]Ã y )dy(y R(y y24

R R1 R R1
[y R(y)] ( y)dy ) (doskonałą równowagę bay-
)1

2 R R1 R R1 1
21
y y
esowską. Załóżmy, że kontrakt jest spójny w czasie (17.4) i spełnia założenie (19.1). Wtedy strategia
21
1
)dy
y y (yy min(R(y), ) ( y)dy ,

0 0
y c r min(R( y), R ) (y)1dy,
24 R
y (y)dy
ÃI jest deterministyczna.
0 0 1
2
Szkic dowodu. Należy wykazać, że strategia yÃI jest (deterministyczna, czyli stanowi strategiÄ™
R (y)dy
y [R( ) c] y)dyR R R)dy Przy
(
R1 1
1
czystÄ…. ProwadzÄ…c dowód nie wprost, [R( R ) ] (y)dy że 0 < ÃyI < 1. stosowaniu strategii
należy cwykazać,

22
R R1 R R1 1
y R1
y R(y), R
mieszanej inwestorowi jest obojętne, czy zastosuje Rmin(R ) ( y)dy y)dy c (y)dy . 22
wymuszenie ) ( R1 y)dy.
czy cnie. (Jednakże przedsiębiorca

0 1 0
min( (y),

0 1 0
w wyniku wymuszenia ponosi koszty utracone cE, a z powodu niedoskonałości systemu sądowego
y

uzyskuje jedynie x  cE. Te fakty powodują, że przedsiębiorca woli odwieść inwestora od wymusze-
y min(R( y), R ) (y)dy 23
min
0
min(R( y), R ) (y)1dy 23
R, R1 1
min
0
R, R1
y R1
y min(R(y), R ) (y)dy c (y)dy r 23.1
R1

0 1 0
min(R(y), R ) (y)dy c (y)dy r 23.1

0 1 0
1
1 y c r 24
y c2 r 24
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
109
nia, zmieniajÄ…c pierwotny kontrakt na v' > 0, l' = 0 i ÃI = 0. Kontrakt nie jest zatem spójny w czasie,
co stanowi sprzeczność. *
Lemat 5 stwierdza, że ze spójności w czasie przyjętych strategii wynika, że w równowadze
kredytodawca stosuje jedynie strategie czyste  albo podejmuje decyzjÄ™ o wykorzystaniu drogi
sÄ…dowej, albo z niej rezygnuje, nie stosujÄ…c strategii mieszanych. Jest to bardzo istotny wniosek
z modelu Krasy-Villamil, gdyż modele: Towsenda (1979), Gale a-Hellwiga (1985) i Williamsona
(1986) nie wskazywały jednoznacznie na konieczność stosowania strategii deterministycznej i do
pewnego stopnia traktowały tę kwestię jako element umowy.
Lemat 6. Rozważmy poczÄ…tkowy kontrakt, dla którego strategia ÃI jest deterministyczna oraz
spełnione są ograniczenia (17.1) i (17.2) pierwotnego zadania optymalizacji w okresie t = 0 oraz
punkt (1) definicji 3. Powyższy kontrakt jest dominowany przez standardową umowę kredytową
spełniającą takie same założenia.
Dowód. Załóżmy bez utraty ogólnoÅ›ci, że ÃE jest deterministyczny, gdyż dla danego zwrotu
z przedsięwzięcia y wszystkie strategie mieszane na zbiorze płatności v powodują taki sam ocze-
kiwany zwrot dla przedsiębiorcy. Spośród takich v należy wybrać te, które maksymalizują dochód
inwestora. Oznaczmy je ÃE(y; v) = 1. Ponieważ strategie ÃI, ÃE sÄ… deterministyczne, wystÄ…pienie
wymuszenia jest przewidywane w t = 0 w zależności od wartości y, zatem wymuszenie jest jedynie
funkcjÄ… y.
'

R gdy B'
Niech B = {y|ÃI(y; v) = 1, 1 ÃE(y; v) = 1} 0 zbiór stanów, dla których wystÄ™puje wy-
oznacza
R' gdzie 14

1.
muszenie. Niech R(y) oznacza y c gdy B'
płatność dla inwestora. Dla deterministycznych v, e zachodzi zatem

R(y) = v + e l(y; v). Wykazujemy kolejno:

1. Stała spłata: R(y) = R 1 dla 1y " Bc. 1c dH 0
R y RJeżeli istnieją y, y' " Bc, dla których R(y) d" R(y'), wtedy dla
0
przedsiębiorcy jest korzystniejsze dokonanie stałej spłaty v w obydwu stanach y, y'.
2. Graniczna wartość płatności w obszarze (audytu względem kwoty stałej spłaty: R(y) d" R1  cE
(y)E , y,v,e)

max
I
E I

E I
na zbiorze B. Załóżmy, że , ,v,l y
R(y) > R1  cE; wtedy dla przedsiębiorcy korzystniejsze jest dokonanie
niższej spłaty odpowiadającej y " B. Ponieważ przyjęte założenie stanowi sprzeczność, spełnione
(y)E , E (y,v,e) u

E I
zostaje założenie (1) z definicji 3.
y

3. Graniczna wartość płatności w obszarze audytu: 0 d" R(y) d" y  x dla y " B. Przedsiębiorca

y,v,e)
max
jest w stanie zawsze uzyskać y | v)E x', (dokonujÄ…c spÅ‚aty v = 0. Skoro ÃE jest optymalna,
co (najmniej
' I
I
' ,v',l ' y
I

R(y) d" y  x.

4. Graniczna wartość E ' ' (y, ,e) u '
płatności vw obszarze bez audytu: 0 d" R1 d" y  ( x  cE) dla każdego y " Bc.
E y
I
 
Dowód nie wprost  załóżmy, że R1 e" y  ( x  cE) dla każdego y " Bc. Wtedy y  R1 < x  cE. Dokonu-

jąc płatności ze zbioru B, u '
przedsiębiorca może uzyskać co najmniej x  cE, co daje mu ściśle więcej
y
niż spłata R1, a to stanowi sprzeczność.

Zdefiniujmy nowy zbiór stanów Y' = {y  ( x  cE)|y " Y} o wartościach powiększonych o koszty
0 x cE y 19.1
utracone przedsiębiorcy i pomniejszonych o wartość aktywów wolnych od przejęcia sądowego oraz
nowy kontrakt (por. Krasa, Villamil 2003):
y ( y cI cE ) (y | yk ) 19.2

y yk
R(y' (x cE )) cE dla y B

R'(y')

R(y' (x cE )) dla y Bc.
y
y (y)dy r 20

0
Ć Ć
y [0,y] y' B R( y) R( y')
[y R(y)] (y)dy (y R ) (y)dy

R R R R 1
A. Paliński
110
R(y), B spełniają zatem (1) (4) wtedy i tylko wtedy, gdy R'(y), B spełniają:
1. R'(y) = R1' na obszarze Bc (stała spłata). Dowód jest natychmiastowy i analogiczny do (1).
2. 0 d" R'(y') d" y' dla każdego y' " Y'. Niech y " B. Wtedy uwzględniając (3):
  
R'(y') = R(y'+ ( x  cE)) + cE d" (y' + x  cE)  x + cE = y'.
Jeżeli y " Bc, wtedy biorąc pod uwagę (4):
  
R'(y') = R(y'+ ( x  cE)) d" (y' + ( x  cE))  ( x  cE) = y'.
3. 0 d" R'(y') d" R1' dla każdego y' " B. Wtedy uwzględniając (2):

R' (y') = R(y' + ( x  cE)) + cE = R(y) + cE d" R1 = R1'.
Rozważmy standardową umowę kredytową z y' " Y', w której inwestor płaci wszystkie koszty
c = cI +cE. Wykazano, że dowolny kontrakt V, l, ÃI, ÃE może być odwzorowany w kontrakt kredyto-
wy Gale a-Hellwiga (R'(y), B), który ma taką samą płatność w każdym stanie y. Niech V = {0, R1'},
l(x, 0) = x, l(x, R1') = 0. Wtedy ÃE(y; 0) = 1 dla y " B oraz ÃE(y; R1) = 1 dla pozostaÅ‚ych y; inwestor sto-
 
suje wymuszenie, gdy v = 0. Niech y " B, wtedy przedsiębiorca otrzymuje y  l(y  x, v)  cE = x  cE.
 
Inwestor uzyskuje y  (x  cE) i pÅ‚aci wszystkie koszty cI + cE, czyli y  x  cI. Ostatecznie ÃE speÅ‚nia
punkt (1) definicji 3. *
Lemat 6 stanowi, że standardowa umowa kredytowa dominuje dowolny zawarty przed reali-
zacją przedsięwzięcia deterministyczny kontrakt dłużny, w którym przedsiębiorca ma zapewniony
poziom rezerwacji, jest zachowany warunek ograniczonej odpowiedzialności kredytobiorcy oraz
kontrakt jest optymalny dla przedsiębiorcy.
Lemat 7. Rozważmy standardową umowę kredytową spełniającą założenia (19.1), (19.2) oraz
V = {0, R1}. Wtedy taki kontrakt spełnia punkt (2) z definicji 3 oraz ograniczenie (17.4) pierwotnego
zadania optymalizacji.
Szkic dowodu. Najpierw należy wykazać, że standardowa umowa kredytowa jest strategią
optymalną także dla inwestora. Dla v = R1 zachodzi l(x, v) = 0, zatem e = 0 jest optymalne. Dla v = 0

inwestor na podstawie warunku (19.2) uzyskuje y  x > 0, czyli więcej niż zero, które otrzymałby bez
_
wymuszenia. Punkt (2) definicji jest zatem spełniony.
Dowodząc następnie nie wprost spójność w czasie (17.4), załóżmy, że istnieje kontrakt v', l',
ÃI' w czasie t = 1, który przyniesie wyższÄ… pÅ‚atność niż pierwotna umowa kredytowa. General-
nie, aby mogło dojść do poprawy dochodów przedsiębiorcy w wyniku renegocjacji kontraktu,
muszą pojawić się dodatkowe stany, dla których prawdopodobieństwo wymuszenia jest mniej-
sze od jeden ÃI(v; 1) < 1. Po uwzglÄ™dnieniu warunku (19.2) powoduje to ostatecznie, że wartość
oczekiwana dochodu inwestora dla nowego kontraktu jest mniejsza niż dla pierwotnego, co
stanowi sprzeczność. *
Z lematu 7 wynika, że przy spełnieniu założeń zapewniających istnienie rozwiązania problemu
standardowa umowa kredytowa, w której kredytobiorca spłaca stałą kwotę R1 albo nie dokonuje
spłaty w ogóle, jest optymalną umową dla kredytodawcy i jest spójna w czasie.
Skoro zatem standardowa umowa kredytowa jest optymalna zarówno dla kredytobiorcy, jak
i kredytodawcy oraz dominuje dowolną umowę dłużną i jest spójna w czasie, to lematy 5 7 natych-
miastowo prowadzÄ… do twierdzenia 2.
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
111
Twierdzenie 2. Załóżmy, że istnieje standardowa umowa kredytowa spełniająca założenia

(19.1), (19.2) oraz zapewniająca przedsiębiorcy poziom rezerwacji u. Wtedy taka umowa stanowi
rozwiÄ…zanie pierwotnego zadania optymalizacji (17 17.4).
Z twierdzenia 2 wynika, że przy spełnieniu założeń zapewniających istnienie rozwiązania, standar-
dowa umowa kredytowa jest kontraktem optymalnym i spójnym w czasie. Spójność w czasie oznacza,
że strony umowy nie dążą do jej zmiany po zaobserwowaniu wyników przedsięwzięcia, mimo że umo-
wa jest podpisywana w chwili, w której wynik przedsięwzięcia nie jest jeszcze znany.
Wniosek 3. W warunkach niedoskonałego i kosztownego systemu sądowniczego standardowa
umowa kredytowa jest efektywna ex post, gdyż strony umowy nie mają zamiaru jej zmieniać po
zaobserwowaniu wyników przedsięwzięcia.
Model Krasy-Villamila wykazał, że nawet w warunkach kosztownego egzekwowania realizacji
kontraktu dłużnego optymalną umową jest standardowa umowa kredytowa. Ponadto okazuje się
standardowa umowa kredytowa jest efektywna ex post i strony kontraktu nie będą skłonne dążyć
do jej renegocjacji po zaobserwowaniu wyników przedsięwzięcia.
Dodatkowo model ten umożliwił wykazanie optymalności kontraktów stochastycznych typo-
wych dla podatków i ubezpieczeń, jednak nie zostało to przedstawione w niniejszym artykule, gdyż
'

R11 gdy B 0

gdyBdłużnych.
wykracza poza jego zakres tematyczny, dotyczący kontraktów B''' 0
R''
R gdy 0
R 14
R''' 14
R 1 14




c gdy B 1.

1..
y c gdyB'''
y c gdy B 1
y
5. Optymalny kontrakt w warunkach heterogenicznych ocen zwrotu

cdH 0

R1 y R1c dH 0
R1 yy R1c dH 0
R1 R1
0
0
0
z przedsięwzięcia
((y))E , III y v e
y E , ((y,,v,,e))
(y)E III( y,v, e)
max
max
max
,
E
EE
, III v,l
, ,,v,,l yy
EE, v l y
W modelach kosztownej weryfikacji zakłada się ,niejawnie, że przedsiębiorca i kredytodawca mają
E
jednakowe oceny stóp zwrotu z przedsięwzięcia inwestycyjnego. Nie zawsze musi to być praw-
((y y v e u
E , E((y,,v,,e)) u

(y)E E
EE,, III
dziwe  może się np. okazać, że przedsiębiorca y))E E (y,v,e) u
bardziej optymistycznie zapatruje siÄ™ na wyniki
E
y
yy
planowanego przedsięwzięcia niż kredytodawca. Biorąc to pod uwagę, w modelu Carliera i Renou
(2005) przyjęto założenie, że kredytobiorca i kredytodawca E ' ((y,,v,,e))
((y v '' y v e
y||v))Emają Iodmienne oceny rozkładu praw-
(y | v)E ''' II ( y,v,e)
max
max
max

III
' ,v ,
,,v,, yy
'' v
III
dopodobieństwa stóp zwrotu z przedsięwzięcia.'''lll''' y
Podobnie jak we wcześniejszych modelach przedsiębiorca ma dostęp do przedsięwzięcia
E '' ' (y,v,e) u '
E ((y,,v,,e)) u''
E '' y v e u
E y
E yy
E
III
inwestycyjnego wymagającego jednej jednostki ' kapitału, ale nie posiada majątku. Inwestor kredy-
todawca ma natomiast jedną jednostkę kapitału. Obydwaj są neutralni względem ryzyka. Przedsię-
u '
u
u''
y
biorca i kredytodawca mogą zawrzeć kontrakt yy
na finansowanie przedsięwzięcia, którego zwrot jest

zmiennÄ… losowÄ… y " Y = [0, y] ‚" !+. Zwrot z przedsiÄ™wziÄ™cia jest obserwowany przez przedsiÄ™biorcÄ™
0 x cE y 19.1
0 x cE y 19.1
0 x cE y 19.1
bez jakiegokolwiek kosztu, podczas gdy koszt obserwacji wyników przedsięwzięcia ze strony kre-
dytodawcy wynosi c. Koszt alternatywny wynosi r.
y y c cE ) (y | yk ) 19.2
y ((y cIII cE)) y|| ykk)) 19.2
y y c cE ((y y 19.2

(
y yk
Przedsiębiorca i kredytodawca różnie oceniają zwrot z projektu. Kredytobiorca zakłada, że
yy
yykk
zmienna losowa Y ma gęstość prawdopodobieństwa ź(y), podczas gdy kredytodawca sądzi, że Y ma
R y' x cE)) cE dlay B
R((y' ((x cE )) cE dla y B

R(y' (x cE )) cE dla y B
funkcjÄ™ gÄ™stoÅ›ci ½(y). Obydwie funkcje gÄ™stoÅ›ci stanowiÄ… powszechnÄ… wiedzÄ™ oraz sÄ… ciÄ…gÅ‚e. Dodat-
R'( y')
R''((y''))
R y


kowo przedsiębiorca zakłada, iż projekt jest zyskowny, tzn. że: cE )) dla y Bc.
R(y (x cE)) dlay Bcc..
R((y'' ((x cE )) dla y B
R y' x
y
yy
(20)
y (y)dy r 20
y ((y))dy rr 20
y y dy 20


0
00
Ć Ć
Ć Ć
y [ 0, y y' B R( y) R( y')
yy [[00,,yy]]] yy' B RĆ((y)) R y
R y RĆ((y''))
' B
[y R(y)] (y)dy (y R ) (y)dy
[[y R((y)] ((y))dy ((y R1)) ((y))dy
y R y)] y dy y R y dy


R R1 R R1
R R1 R R1 11
R R1 R R1
21
21
21
y y
yy yy
y (y)dy min(R(y), R ) (y)dy,
y ((y))dy min(R((y), R y dy
y y dy min(R y),R1)) ((y))dy,,


0 0
00 00 11



R gdy B 0
R gdyBy 00
R gdyB
R gdy
gdyB
R gdy B 0
RR gdy,lBB 000
E I
R'' 11 14
RR'' 11111 , ,v 14
R' ' 14
R 14
R 14
14
R' 14


c

gdyB'' ' .
gdyB'
gdyB
gdyB'B'' 111..
1.
yy cc gdy
yyy cc gdy 1...
yy cc gdy BB 11
( )
'

E I




gdyB' 00
R111 gdyBB''''' 0
R'''''' gdyB 0 (y,v,e) u
R11 gdy B 0
gdy
R gdy B , E
R gdyyB'E 00
RR''''' 11 y 14
R 14
R' ' RR 14
R 14
R 14
R 14






1 gdycBdH 11.00
1 c y RR B''''dH1 14
R RR
R
0 0 c gdycB'dH1...00


0 gdydH 1
0
0 c gdyccdH 0

gdycdH
B''
0RR1 y RR11
yyR 1 y 11
0yyRR11 yyyyR1
yy cc gdyBB 11...
y c c gdy1ccBdH 00
1
1
(y | v)E ' ' ( y,v,e)

max
I
I
'
' ,v',l y
'
I
' '''



RdH 'gdy B' 0
gdy B 0
0

max R1'y R c RdH II gdyvB''' 0
( dH Iy
R y 11 , , I 0
R ccEE I 0
E c EE,E,I II 0B
maxR yy ))R
maxR RdH
maxRR R y'( y)EEgdy IB(((yyy,vvv,eee))
max' (y )ER1 (gdy
maxR y'('yy)RE 11 y, , ,e
maxR 1
14
14
14
14
11 (y yR EcdH ((0y,,,,v,,,,e))))
R R(y()R)EcdH 00(
I
I
Rl , 14
I0II v,11 y R11 EE,, I I
00I 1yy R1 cdH I00yvv,ee)
0I0v, 1
0
0

,E ,,
EEEE,,I vv,,l,ll
E I,
, ,,,,v,v,lvl,lyyyyy 1
,,
E 1 1



1.
1

R c B 0
RE c gdy B 00
R
y y' cB'gdy B''''
Ec y'gdy gdy B'
y' (c e)1 B 1...
y'' u
y,v,gdy.B''' 1
gdy 0
gdyB
gdyB'
gdy
y
I
R''' R11 14
R' ' 1 14
R 14
R 1 14
)E (y E ( , u e
y EE yy) E v e vuB 1 0
E E ( yy v IIe()))gdy,,udH 110
Eyy y y u
E v u


R,y c gdy dH 1..0
( , IIIc, gdy,e
u


max y) ,,, , E Ey,,, v IeI((((yy,,vv,c,edH ..
max(((yy)))E ( y)))EE (((,,( ,y,v,vv,Ie(ey) , ,c,ee))))''
max((yyy)E ((( yy ))EE ((yy,,, ,,,e,eyy,, vvuee))''
max
max
max()E ((y, ) E Ey , ,cII)))ygdyB) 0
max
E ,vv dH
,, III
EE
E
EE I I EEE I
EEE,,, IIII,Ivv,,,,,l,ll yyy
E,, ,I,,vvvlll yyy
EEE ,,vl, y R1 c cB
y, , ,v
I EEEEE IIII I E
yyy
yyy
R1 y R1
y R1

R1u 1R1c dHR1c0B
0 yR1 yy R1
0
0
0
'
0
y
Ey,1,v ,e yy REuc
)yy1 ee (yu,,,ee))
yR1 ' u
(((y E (( vvE)((EE,,v'v e(I')y( R1
(( ( y |00 E , Iy )yEv,dH
( |||| E,' , e yu e) ( y v e
E y ( yu ,)
y ,
112 ( v) ( )RvcedH 0
y |
, II A.' Paliń1ski 0
maxE 1 ' ' y, , )



maxy))E (,yyy vE)v)(yR v ,e'))')y' ( yu,,,vcdH) )y,v,e)
maxyy)))E , (y vE)(()((R v e(Iyy (Ey,cvvdH) 00
maxy E ( | EvER,,vv, ')))( Ruvv,,eee (y v e)
max
max
max
E y I 0E IIIII I 1
max(yy))EE EEE,,,, III
EEE I I
E
max
max
E
,,vl 0 E(lx) 'cE((IIyI))E1( ,
II,v',,'' ''l'lyyyyy E
' , 0 ,,
yyyyI' ',I,v'v,',l',l'l,'' 'yy , III
yy' EE,,, III I
y ','v'v'lv,max max y ' ' I yI y,v e(( y,,,v,,,e)) 19.1
I I I E I
,
E I
EE,,, III,,,vv,,,ll y

Ey, v,l y
E I
, ,v,l ,v yy
E I
EE III
E I
E
|e
E ( ,,y,v| vv)evy Ey'' y
EE ( y y,maxE uu ) , e
E ' ,yv| ,e))),y)'u'u'
E y ,,e), ) u
E v,v,v)
EEE e( Eu''u '
E , yIyIII I I E,v((,,ee)v,,,e)) uy




E ' ,yy|,|,vv((), l) ) , u|
max' ' E yy v v,e()v)y,l) ( ''' (yy)Ev ,y,c I y, v e
max''' ''' y(( maxEl ) y '(((y((yyE v,y,e, )v y
max ' E( (((( |,| v)),vEE E'' ''''(((yy ,E ee) ))v III(((yy,,vv,,ee))
max E'' ((y(yy,vmaxE E' yyIIII(y)y,,,E
max v e
max ' ((y max))E ' ( yIvv(,,ye))v )(( y,v,,e)))
max
'
I E I
I I EE III III
E
,vv( ,,,u,e) u
e
''''',',,vvvvIl,,l,I''l'''I yyyy E l E yyyI ,
IIIII,,,v,',,'l'llI' yy E , E
v'''',l E
I' ,v ' (y) ,,y , vy, yĘyy(yy c, y,E )e u k 19.2
y E
I E I
E I k
y
yy para (R, B) vtaka, że:
y
Definicja 4. Kontrakt kredytowy to , y EE,,, III ,e)
y

Ć Ć uuuyyyy yu E((('y,,v, u
1) R:[0, y] !+, gdzie Ru(y) ''''' (((yy,,,, ,, ((( yuuE ,, III E(y v e u
u y
e u y
E
E
EE ''' E' ((yy,vv,,ee)( )uE'' (,, R EREyy(,vv,ee)
Eu'' (płatnością yy(y ||
E uy' jest (yy,, ,,,e ))) u'' ' w stanie ,y,,,e))) uu
E 'y''' yvv e E E ' ((y v e
E y ' vvee))y)))E'
E ''' EE y ) '
v u y v')IE( y''' (y, v e)
E
E
II' E yyEE I
E
IIII
I
( yodpowiedzialności (LL),
Ć max(y') yy(( y'||v())yE I cy,v,'
max 1
max
max
'(' | )R ,xv' egdyv,,,ecE0
E v '' )E )
,'

y R'lly v ' v)E ' III
2) R(y) < y dla każdego y oznacza yywarunek yograniczonej ,,))Be)) dla y B
max
III
I
I 14
''' ,v,,, ' y
' ,,,v'',ll''' yy

vv y

III
I
' ,v',l ' y
I

( cE ))B' dla y
y c 1.
3) B ‚" [0, y] stanowi obszar x c y R y' (x gdy 19.1 Bc.
0 cE y 19.1
y 19.1
19.1
19.1
19.1
19.1
0'
uu''''' monitoringu. (y | v)E ' I
uu00 xx cEEmaxy y ' III
u00 xxx ccEEmax (((yy |||v )))E '' ' '' (y,,v ,, e))
u0' v E y v e
uyyy x cEcE yy y v E ' (((yy,,vv , ,e e))



max
max
yyy
y
III
I
'' ,l y
II,I,,v',',',l''
l
I
E( vvv' l'''''yE((y,,,v,,,'e)) u '
E ''' y v e u
E ,y' ( u e) u
y v
E ' ' E'' , ,'yy)(y,v,e) u'''
v e y
E y
E yy
E
I
y
III
E
I
dyy
)
Definicja 5. Kontrakt kredytowy Ć yy skłania | do k)prawdomówności (truthtelling) wtedy i tylko
y x c 19.2
19.2
19.2
19.2
19.2
19.2
c y y (y) 0y||ry )k) c dH 019.2 20

00y y xy ((yy(R y0y ccEE))) ( ((yyy||y|ykyk) ') ' ' y R1 19.1
0y xyy c(c(yyy c, B) 'cE(cE) y(y|R1kk ) ) 19.1
00y x cyy( c 19.1
0yy x ((cEy ccIcI I cE)E) (((y yk 19.1
0 xx ccEEE cIIII ccE yy 19.1
y 19.1
19.1
yyy kkEE
yk
ykk kE
k
y y yyy E
E' y '' y v e u
E' E
wtedy, gdy: E y
u '' ' EE y,,v v,ee) u yyy
uE ''' ' (((yy,,v , ,,e))) uu'
u
u
u ' yyIII
y
yI
y
Ć Ć
y R( y) R( y')
yy ((((yy ccIIIIy [cc,xE)) (c((' yB))|yy ))) E cEEy)dlaE I B 19.2
yy ((yy ccII c0(cE)) ) (y(cEE))))k ) E( dla y ( 19.2
yy (yy c( cEE]) ((yyE|| yyk Edlayy BBy19.2)
c cE y
y y Rc(((yy'y' (xxx cEE))y ccEE dla B 19.2
RR(yy'' (E(xx cEyv|||lyykyk)) E 19.2
R
u max|)) k)cc v,e


R( ( (y() cccE))k c dla, B 19.2
R y' '(Ex )) c dla yyI BB,19.2
R c yy dlayy
'
E I
yyy yykkk
yk
y ykkk
R''((0y')) '
RR'('yy'y')') u0c I
R'((y')) y
R' ( ' u x cE , , , k
R y
R'(yy ' y x u'''
yy )yy yy
0 19.1
0 x cE y 19.1
0 y y
x cE y 19.1 19.1
x c y 19.1
)) dla
dlayy (BBcc..
dlay Bc.
R((y(''' cE)) (y)dydla ) (
R(R(yyy' (xxx c(EEE
R y y( E ccEy)))) dla B
R ' '( c )] dla B . y)dy
RR(E(yy ' (((xx cc))))Ć musi być stałe na [0, y]\B. Zastępując kontrakt
[(yxx
REE)) dlayyy Bcccc...R
Jeżeli kontrakt skłania do prawdomówności, to R yB
y
R R1 R R1
y
21
R((( x (xx ccEc(y)) ccE)), dla(yy B) u1 19.1
R y x(( c y) E dla y e 19.1
R(yyx ( x(c c E)) yE v B
R y ( x Ec)) cEE y B
R
0R(( y'' xxc y E I dlayy, ,BB 19.1
0 y '' ( B
0 (
y


Ć
(R, B) kontraktem skÅ‚aniajÄ…cym ''))) R0( y'''x xc cc )))) c c(R(·), R1yy )gdzie wartość 19.1
yy cE min( cc 19.2
19.2
19.2
I E
y y yE I E k
RR'''(y((yy 'do )))prawdomówności EE)) k((y ||| yykk)) 20 1 progowa R1 oznacza
R''('(yyy ) y ) y( I((yEy EcEy (c(yE)y ( dlay), B
R '((yy'y)()( )y)dy rrrr c ( E cE)II)) yc|E dla| yk
Ry yyy''')((yy dy yr y cEy cE )dla ) 20 19.2
Ry yyyy dydy yEc c)) cc (dlayy
R y


))y dla0yy ),
y 20 ) (
y (yyy )dy(((yy''''y r((nierówność nieostra) BBR(y20R19.2 y)dy,
y dy r ((yk E 20
dy ''y ykk 20
k

y ( R(((yy' ((xx ccEE )) dyy y Bcccc... 20
00 dla
dla Bc..
00000 k )) dlayy
obszar audytu, uzyskujemy słabą (poprawę y y E0 w sensie Pareto, gdyż nie zwiększa
RR(yy ((xx ccEE
R y xx c E )) dla B
yR x ccE )))) dla B..
R )) dlayy B
R
yy (((yy ccII c E())) |((yy|Eyykk) ' I ( y,v, e ) 19.2
y (ymaxII c y || yk' )) 19.2
y y c cEE)y ((vy) | yk ) 19.2
c cE 19.2




to kosztu audytu.
I
w
kkk
w
w

k
yI )x,(y ) ) c )) (y y
yy
yyy
y
R [y ,R' y]' x cE cEy1 dlay B
rĆw
R w
yyR ' R (yc' x cE )) cE dla y B
B
y yR (BrrR()(y ( RRlyy'y (())y dyE)) cER dla)dy B
R(('yy' ((x cE)) cE dla y B
y [ [0] ]] B
yyy 000yyy] ''B
y[0, , ]
y[ [, ,

[
W przypadku kontraktu y 0 (((yy ) rrRRR(yy))) (oczekiwana zwrotu 20
y [ ,0('yy)ydy' ' rR ( y(y)' R((Ć cE dla z przedsięwzięcia dla przedsię-
yy ))dy 20
R (, y' ''B(ry Ć Ćv 20
dyB'B 1 20
20
dy 20
yyy y,y]y]y) yyyyy ĆĆ R R1 20
R R )
' y
y (((yy)))dyR ( R(''()y )) RR(yy'y')')
(R(·), RdyRwartość RR((y(''))E)
y dy ' y (yy RĆĆĆ( c'' )(x
')' B(Ry''))
1
000 22
000
0
R(yyc x cE )) dlacy Bc
R dla y B
R y ((x c )) dla y Bc.
dla 1
dla B
R(0y (((x cyE)) c dla .c B(y)dy.
R(((yy''' (((xx cE)) cE dy y RBcc...
biorcy wynosi R(y' R'((( '''' E
R yE x ccE))R ) cEy) dlayy 0B
x )) dla y
x cE )) B
R yy'' ()) cE )) cE(Ey dla y B
y v, 1



E(x min(,R(eE)), u '
Î
()]y RR RR R R1 E y )dydy
[ R) ((y)dy
[[ ( )] )dy y R ) dy
R


R R R R
R 1 1
RR 1 RRR1 11
RR1 RR1
R RRR11 yRR(yyĆR)]'y()( dw
((( '
yyyy [00,[y]y RRRyy(R )())() dw
((((yyyR)') ((x((y(y RR y(y)))dydla y Bccc..
y [[0,y[yy RRy'('(R)]((yy(y ))) dy '' ))R1R11 111
y [000,,yyyy yyy' (' Ry(w
R('')(y))) ) ĆR(((yy'')) (((((yyy R))))))((((yyy))dy
[,0,,y[ RR')]w
(y('y( y ) R ')
y' ( )](( yy R x(y R) y dydla y B 21
' Byy')]w
yy dw

R dw
R(yy
yR1 R1 yyR(( RĆĆw
))y)y dw
y''
R
[ yyy]] ' B By
[[R y]]] ' By
B
] 'BB R x ccE )) dlayy B
y
R 21
21
21
21
21
y ((y)ydyR yryy' cE )) dla Bc.. 20
y y) R yr yx 20
y (y)min(yr' y ), cEE1))1 20
y y dyR
dy
y yy
y ( y00 yyy (((yr)dyy Rmin(RR)(yy),),R)1) (yyy))dy, 20
y0yyy (21)
)dy (((yy)))dy ry(min( ( ),RR y dy, 20 21 23
0y y

0
yy y)dy min(R( y ),y ) dy
y dy min(R( ),R dy
)dy y min(
dy
yR, )0dy' 1 ), ,
R(
min(R(R(yyy(R)dy((y))dydy
miny( yy)udy min(RR(y ),RR)))) (( (y (y)))dy,,,,
00 00 11
00000 1 00000 1111
y
[[[[yy RR(((yy y)]y (((yy))dy ((yy R ) y dy
[[yy R(((y y)])] ((((yy)))dy rrrR R((((yy RR)1) ((((yy))dy
[yy R(yyy)] ((yy))))dy (yy R) ((yy))))dy
y R y)dy RR R1111 y R))) dy
R dy
R


RR R1111 y dy r dy 20
RR RR1 dy Ć 20
RR R11 RR 11 20
R
R
R R R 1 20
y)] y dy ĆĆ 11
)] dy R (Ryy R (yy)dy
)] (yyĆ)dy Ć 1
yyy (y dy) R Ć ĆĆR dy
00
0
R Ry) RĆ((11y'''))
(R R(po
y) R y )
y
21
21
21
21
21
21
[R (((0yyy] y]y ] ((yR))0dy inu
estora (y)))dyuwzględnieniu kosztu audytu c wy-
podczas gdy wartość oczekiwana ([y(,y))) 0 (y'' B RR((RRy))' R(1y')
y '00,,,yy]
[[[0By
0,
yyy y
y
1
[ R y) ) yy ] ](]yy]]](dy)' B dy (dy 21
[[[RR(yy)yyy yc ][ yy(y)dyydy y R)R( (y )R
[R y)R' B
R )dy
dyB
dy yyy RR R R R y
[Ry(płatności dyyyy ( yxyyR(c)RR (1(yydyR ))) (0((yy))dy,,,,dy r 19.1 23.1
) E

min(R )
RR R1 R RR1
RR1 R1 RR R1 11
R 1 R 1
RR1 R1
R
yy ](( ()))dy R ),dy
yy0c((
y R RRR11 111

yc (((y))ydy min(R (y),y)R dy
R RRR11 y y))dy min(1R( (), ) R y dy
ydla min(R((yy),R R
1
cccmin(dy ),min(R (yyy),dydy (((yy))))dy),
min(R(Ry()y),Rdy)) (yy)dy,,
c (yyyy)dydy min(R( (yyy),dy))c dy
1
000 000 111
000 000 111
0 0 1
nosi:
22
22
22
22
22
22
ĆĆĆ ĆĆ
Ć
R1
yyyyy[[min(R((y' yBy)]RR())( () yRĆĆ( y')ccc((111
y [y ),)]1 (dyR((y' R1 ((y)11)dy.(y)dy 22
y [y R 1( dydy( c RRR1 y1y .
R
yymin( Ry(y ),)]R)( )yy))y )dydy '')cR(R ) )) dy
1

[00,yy]]]
[0,
min( R''( B),R 1 )y) R dy
min( R Bydy11yy dydyy y yy)R)dy.
y y )
y
min(R((yyy),R(( y) (yyc)dyy ))c ((((yy)|dydy
min(RR R y dy
R [[0,y,yy)]RRy(('y),),R) )y()ydy(I c yRdy ((y)dy
0 0R1 (y] yy R y y)Ry (yRdy y
00R0 ((By)]1 ( ((
0
0 R R1100
R R R11000
R R1 y(), 1 ) y )
R R R
R R1 R R10
R [y yymin( RR( yy)R )(( y() )))dy cR0)() (( yR))1dy..).(.y))dy 19.2
R 1
k
1 1
21
21
21
21
[[[RR(((yy))) cc]] (((yy))dy RR R((((yy))dy
[[[R(((yy))) cc y((yy)))cdy RR ((yy))))dyE
R y c1] ((yy))dy R y dy
dyy R dy
dyyr RRR1111y 111 yydy
[R R(yy) c]]] y dy R (yy)dy
R c] dy R dy
y R R y
y y
21


RR R1 y kR1
RRR111 y
RR R111
R
RR
R R
y 11
yRR RR 1
y RR RRy))111 (y)dy, 24
22
22
y y ( ))0dy
yy)] (yy)dy min(R(y), R()y )(y dy 22
yyyyy y y 2R y (y0)] )(yy)dy min(yR yR), ())y dy ))dy,,, 22
[y ), )] y0 dy min(R(R),R ) y dy 22
)]
yRy R 0 (ymin( ( y R y 22
yR min(R((y),))Rdy),((dy) 22 (22)
R
R
11
1
Ry 1 1
min(min(y ((R()), ( y (((dy))dy R( RRR( (yR ))))R(1)y 11(yy))dy 23
min(min(R RRy(),R((y)) )()dy)) )dy 00R yR),y((1 dy. . (1 dy 23
min(RR1([y(y ),R(),yRy dy))dydy 0RR RRR(y((( R ) 23
min(min(R((RR),0) R) (dy)dy 0 11111 23
min(R[[(0y), 111 23
R1 ),
R1Ry R(R1 yy (((yydy R11 ydy .)1
min(yR R( y
min
min
min min(RR( ((yy),RR)))) (((y(y)))dy R ( y' x cE dla y B23 21
min
min
min
min min(),RR1y11),R )y y dy (cyy)))dy...
min(yR((y1y),Ry (yy)dy Rc yy)dy 23 21
Ry1), R y dy ccR dy
dy dy
00 min(), 1y )dydy dy cc (yy))dy .
min(yRRyy R))) (((yy) )dy cc 21
21
RRRRR1 0 111 0
RRR1 00000 000 111 000
, 1
RR,,R1,11 000
,, ,R
R1R1
yyy dy 000
y yyy(
y
E
R)
y min( R ) y dy,

y (min(R((yy))),R dy
[ R y) c] y dy RR((y),dy1)) ( y ))dy
[R(y( ' y ((yy)) dy R (y),dy
y) 0yy ((((yy)))dy 00min(R(((yy),dy111 (((yy))dy,,,
c] yy))dy( RR R
[R y R R(]y)) 00c') (ydy Rmin( y)
( R )R[[Rc(( Ry0()c]] ( dy '00 (yR)R y dla y Bc.
dy
R R1 R R11 1
R R R1
R R1 R R1 1
)dyR dy
R y x 11 )))dy
cE
11
Ryyy RR 1
y
y y
Umowa optymalna z punktu widzenia przedsiębiorcy jest rozwiązaniem następującego zadania
yy yyy yyyR1
11
1111
min(),),Ry)1),)(Ry dyy 23
min(R 23
R
min(RR y c R1 R1 23
min( R dy cc
min(min(R),(yy),),R(yy dyy dy dy R 23.1
minmin(RR(yR),),yyy),) 1(1)1)y)))dyy)))dyccR ) )dy 23.1
minmin(R(((yy),((((R), R(1y) ))dyy)))dy 00 0 0 ((yy)))dy rrrrR R11 23.1
minmin(R( y R))) (11)y (( )cdy RR R dy R1 23.1
minmin(R ) R ydy dy R (y(yy)dy rr 2323.1 22
min min( R ), R y dy ) (y))dy dy0 (y)dy. 2323.1 22
min y R1 23.1
R(y
0
000
min(min((yRRyR),R(y()) ((((yy dyR ( ),yyRdy )rdy ( c y dy 23 22
min min(y),((Ry1 R)))dy(y c R( (((yRdy (R (0(y y ( y)dy 23 22 22
1
00R 000 111 1
1
R0R,,R10
RR,R0R1
R,00,R1
R, ,111
RRR1
min(y))dy ))dy ((Rc dy ) dy)
y
y c
(por. Williamson 1987): min( Rmin(R000(y(),R y c
(y), y 11R R 111 c
[[[R1(((yy)) c]]] (((yR)dy), ) Ry) (y)
R y c (
R min(y)1dy
c]

1 0
0 1R RR 1 0
0
[R(y)) cmin(yR)(dy),R y (y))dy
)) R dyy dy dy.((y))dy...

R R11 0 R
RR R11 y 00 R R11
R 0
R R
11
22
22
22
y (y)dy r 20 22

0 yyy R111
R
y R1
R
RR1
yy R11
yyyy R1111
R
y R
R
11
111
1
),Rdy y

min(RR(yy),RR)) yy(min(Rmin(RR(y)y y)Rdy)dy(ry) dy c y dy. 23.1
min(R y),R y(yy),dy cc),00R y), )y)) dy cc 23.1
min(R ),R y dymin( (), dy 23.1
min(R ), R dy c
min( 111 min(R(( y 0 0 ), ((
min(R dy 111 24
yyy cc yrrrr 111 y (y 11 24
y cc min( )(y 1 y) 24
rr 00 1 24
c 0 24
24
y c r), R min(0R yc),0 ( 1) ( dy)dy 000 dy 23.1 23
24 23
1min( Rc(( (yymin)) R(((yy))dymin( ( R y(( yy)Rdy yrr)))dy c (((yy))dy... 23.123 (23)
222yymin(((yy),),R (y)dymin(R((dyy(R)) (y dy (y))dy 23.1
000 1 23
000
0
min min(R c),yR )( ( y (()dy)dy rrr 0
min)) R y 23.1 23
min) ((yy))))dy R cc),00R) ( )(yy)))ydydy r
0
00
0
22 0
2
2
R R1 1
R R
R,R1
R, R1 R,,,R11
Ć Ć
y [0,y] y' B R( y) R( y')
yyy
y
min(R(y), R (y))dy 23
min(R ),R))) (((yy))dyR R 23
min(R y), R dyR 23
11
11
1
1
1
min
min min(R(((yy),R ) y dyR 24 23
min
min
0 111
przy warunkach: yR 000
y
y
yy cc rrr R Ry,R111 1 R1 24
yy ycc rrr R,,,R1 11 24
yy c r R 1 24 23.1
y cc R 1 24
24
min(R(y ), R)) ( y)dy c ((yr) dy rr 24 23.1
min(R)(y),yR ) y ))dy c (y) dy r 23.1
R y), R (y y 0 (y
min( Rmin(R )1 ) ((yc)dy (c )0dy dy(y R ) (y)dy 23.1 23.1
(y),
min(R(( y ( ),Rdy R(y)] (y)dy y) )dy r
22 00 1 0
22 0 0
2 0
2
2
dy c
0 1 0
[y11

R R1 R R1 1
y R1 21
y yy R111
R
R
y
min(R ),R dy dy 23.1
23.1
23.1
(IR) (23.1)
1 min(R(y), R) (y))dy c
1 min(R y),R))) (((yyy)dy ccdy (((yymin( rrr y), R 1) (y) dy, 23.1

000 111 000
0 1 0
1min(R(((yy),R y)dy ) (y)))dy Rr(
1 y (yc dy
1 y)dy
0 0
y c r 24
y c 24
y c rr 24
24
y c2 yr c r 24
2
2
2 2

0 d" R(y) d" y, dla każdego y " [0,y]. (LL) (23.2)
11
1
1
R (y)dy
yy cc rrr R 1 24
y c 24
24
y c 24
r [R(y) c] (y)dy
R R R1
1
22
2
2
22
y R1
min(R(y), R ) ( y)dy c (y)dy.
Konkurencyjny rynek finansowy sprowadza warunek (IR) kredytodawcy do równości. Z kolei

0 1 0
optymalny kontrakt w sytuacji, kiedy ź = ½, przyjmuje postać (id, R1), gdzie id jest operatorem iden-
y
tycznościowym, czyli postać standardowej umowy kredytowej 1w sensie Gale a-Helwiga (R1, B).
min(R( y), R ) (y)dy 23
min
0
R, R1

Dla ułatwienia załóżmy, że ocena inwestora jest zgodna z rozkładem jednostajnym na [0, y],

zatem v(y) = 1/y. Wartość oczekiwana zwrotu z inwestycji po uwzględnieniu kosztów audytu musi
y R1
min(R(y), R ) (y)dy c (y)dy r 23.1

0 1 0
przewyższać koszt alternatywny, stąd:
1
y c r 24
(24)
2
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
113
Warunek uczestnictwa inwestora (23.1) przybiera zatem postać
R1
R1 11 y11
R1 R1 11 yy y11
( c dy RR dy rrr 25 (25)
dy dy 25
(((yy cc) dy dy r 25
yy c))) dy RR dy 25

0 R1
000 1R1
yy1 111R1R1yy1
yy yy
y
R1
( y c) dy R dy r 25

0 1 R1
y y
która prowadzi do równania kwadratowego
11
11
2
( cR1 r 26
RR22 (((yy ccRR1 rryy 00 26
RR12 yy c))))R1 ry 00 26
y 26
1 1 1
1
22 1 y 1
22
R1
25
1 ( c()yy c R1R ryy 0 r 26
Ry2 dy) dy
0 1 R1
1
(26)
2
*
(y c rrry 27
RR** yy cc (((y1 cc2)2 22y1 27
RR* yy cc yy c)))2 2 22ry 27
y 27
y
R1
Ponieważ spełnione jest ograniczenie (24), równanie to ma jedyny pierwiastek spełniający rów-
dy 25
2
y c
R* 1 0 2( y dy )R 2yy r 27
R1 c( c) 1
y (yy)R1c r1yR r0 26
nocześnie ograniczenie (23.2), określony następująco:
2
y CC
C
yy y C
*
dy
y)dy ((y**)) 28
( y)1 ( RR1 28
dy 28
R1R**
( (((yy)))dy (RR)*) r 28
R*
R R*
yy c dy C1 dy 25
R
22
22

0 1
1
y
) R2 R 2 26
yyydy1c ( (Rc*))c )1 y 0 28 (27)

R* ( 2 2 y(R r2ry 27
y
R*
*
C 22 ( c rrr 2 29
CC 22 (((yy cc2)2 22yy 22((yy cc RR*)*)) 29
C yy c)))2 2 22ry 2((yy cc RR*) 29
y 29
1
y 1
R1
Twierdzenie 3. Jeżeli standardowa ) 1 dyyy dyc)cRC r 0 26
umowa kredytowa jest 2 cy
R21
2
*
( C y (* R dyyryr 2 yoptymalnym kontraktem dłużnym,
y c 25

0 R (2Ry) c2) 28
2
1

y2( ()y y1 R)c1 ( ** r R*) 29 27
R* yzachodzi:(
czyli jest rozwiÄ…zaniem programu (23 23.2), wtedy dla 00RR* ) )
yy,, 2dla [
y dlayy [,,,,
y,, dlayy [[00RR* ))


*
C
dla y
RR (y RR,*,,dy dla2yy(2[[RR* ,RR* ) ))
R** dlayy r[RR* * ,,
*
0, R * *)
RRR( ((yy)) c) , R* ) 27
yy) ) y R,(y dla [ R
1

(28)
2
28
c y*, dla y [**
C R*c)(y) ry2 0 26
Ry 1yy 1( y 2 (y c) 22ryR )2(*y c R* ) 29
R
**
RR11 111 11
R11RR1 111 y y111
R1 y
2 25
y(y cccc dy RR dy(dy R*R* , dlayy [ [ RR* ,,,,,yy*] 2525
y )) dy dy ) R1 *, ,dla [R 25)
c dy dyy 1 dlayy [R** y]]] 25
(((((yyy c))))dydy RR yRdyy rrrrr R ,, dla y [R* Ry 25

000000 R1RR
RR
R1 (yyyydy RR dy r dla
1
yy c) 111111R11111 R r
yyR
y dyy yyy dyC 25
określone następująco:*
0 1
1
,
dy 2R* ( dla y [[ R,2 * , y]
y (y)Cy y R*)dla y R(y c
gdzie R* jest wyznaczone przez (27), a C R 28
*
0 )
,
)2 29 11
** y * *
R1
R*1 Ry R R R 111(dy2 ) R*) yy y 27
c y (y2 c2ry R R2ry11 * y 11 R*R 11
R R* R* * 11 11 R * *
* R R*

*
( y c) dy
* *
111
111
11 crR * ) dy
dy 26 dy
1
** * **
(y1
0 * 0
R
RR222 1((((yyy ccccR1y11 rrrrrryy y000 1 ((RR ))R R yy1dy 26 R* yy1dy cc dy r
RR1 y(y c)R)R1 y0yR 000ydy (R** dlaR Ry [ R dy ((,RR** 26 R * yydy cc dy
R2R220 y ))))R1R1 00yy y y) y dy (, R* dy (RR* ) ))))R R 25 dy 000 yy1dy rrr
( c R yR dy ) yydy (R* 26
26
26

y yy
222
22211111 2 (y ) R* yy dy2 Rry dladla y[c [0 R* ) ) y dy c R* (29) r
R1 y Cc R1 (yrC )R ( y * )2 (Ry dy, *
0 *
dy
, *
2 yy R*) 2 y R*) ( R 26 29
, R * , y]
0 0
R*
2
(

* *
R*
1 2 (y)dy y c , y y , 28 y 11 2 y
1 22
11 2 2 11
1R R
2
**
R y

( y(yy ccRRR* rrydla 2 R* yy cc RR* 26 ) 2 00 31
((yy )) RR* ry 22 (((yy c R R** ) )) 22 00 31
cc) y 31
31
RR** yyy cccc 1 (((((y ccc)) 12*2yry 2727
RR* yy c y( c))c22 22*rr 0 R * y [dla 2 27
RR* y ( yyyy c)222)2 2*rrrryyy * * 27
c ) yy 27
c 2 27
RR* () ) ry [ ( c R* )
RR
2
*
22 22
2 R* y 1221 R* 1
1 2y1
R* y c (y2R c)* , (RR r0, R* 1 R*
2
Dowód. W pierwszej kolejnoÅ›ci należy zdefiniować kontrakt (R (·), R * ), który dla maÅ‚ych " > 0
y2 2ry dla* * y dy (( 27 )
]
*
c [) ,cy 29 2c 0 dy r
y ,)y 31
0 *
R*
C R ((y2 2 dy ydla2y y
2 Rc)Ry* (2r c) ( RR* y,)R *" yR 1" R* )y dy 0 y

y) , [ R ) 2

określony jest następująco: CC
* CC
yyy yyy CCc
11 C
2
(y(yRdy y ((R(******)(22 c 11 2 2 2 CC ) ) 11 21 00 R* 1 32
(((y))ydy (( R 2 2 * (*y y c1cy R R y)) R 2 282 (C 11
dydy RC ) 28
dy R)) 28
***
(yy))))dy ( RR) ) y 2 2
32
RR** ( ( * * 2828 27 22 00 32
RRRR* 32
y
1

2dy c)(yy cr RR ) [22 2 282 (((22 )) 2
(y222 ( R1 ) RR ,dla ) 28 R* ) y 1dy2 c dy r
)22 * ) R* , y ]
*
* *
R ( c yc (R* 2 dy 22
R*
2 0 2
y, 2 y dy R0*, 2 1 R2 2 (22 2 21
2
(yy )[ ry ) y 2 ( y cC R* ) y 00 y 31
ydla R R ( ) R 0 32
)
C
y
2*
2
* R2 ( r)Ry 22(*,y y R * * * 29 y 2 2
*
y(y c)))) 222y2yy ( 22(1(y cccc RR)))))) 29
2
22
CC 22(((((yyy cycc2dy yrrrrr 1y cC R** , 29 29 28 2 1 R* 1
CC 222 Ry (c)))222 222y2y 2R(2() c Ry** [R 2R2 29)*
CC 2 c Ryy CCdla*R R*
(11 * CC * 1 29

y
*
2y ((dla )C ] )
0 *
C 2 (y c) 1*ydy C c )R *C dy (R22 29 y C y dy c dy r 33 3


33
r 1 2* R r 222 2 ,, 33
33

, 2y y 1 R* * 0 1
2
2
R22 2RC ( y [ R R) 2 ( c ) 1 y 2 0 32 3
2 2 22
2 1 ( 2y c R c 22 y ,y 2
R )22 y 222 , , (

R )2 20
*
yy2 dla)yyyy [[[[0,R, * * y))))) C 2
,,,, dla2 0r[0,R R (
2 ,

y dla
dlayy [20,,0,R***
dla

C yyy,, (ydla 0 R ) c R )2 2 2 2 33
c y R *
* ,dlay  2 * 29 *1 1R
dlaR
* * * *
gdzie R1" = R* + ´RR(((yyy y " (0, y* 2 2* 2 aby warunek indywidualnej racjo- 31


" y)) ) R,,,* Rdla [RR ,,R,R*
RR, ( y(y))) czym ´dlay1yyydy Ry( ) , ,RR* )))))
RR( przy R****,,, dlayyR [R[*R* R jest ** ) )1
RR dla , R*
yy y (y* c*)R*R ry 2 y * y
y yy y
RR "dla1 [[[R**** [ 0,RRdobrane tak, R1(y c R () 2 10 0 34
1


* *
(min(RR((((yy),RR c dy dy r

min(dla R *)* ( () 0
( y2 34
34
2
R 11y ))( y)przyjmie 2

nalności kredytodawcy (23.1) był ,wiążący RR y kontraktu dyC )00 ). ten ydy) y obecnie 3430 3
R (y*) , 00 0 dla (y),), , Ry) dy ) 0 0 1

R***** ydla min(y( [R(Ry*)) ( y y) dydy min(2 ),), C
R ,,,,* min( 2 y),* * y(R"(·), Rmin(Warunek (((yy) ))dy
0Rdla20min(RR(y), 0RR)) R c( y ))dy min(RR)y R ),RR 1) )dy 2dy
1"

dla 2 2 2
R ,dlayy [[ [R1* C, ,,,Ryy]] 2 2
R ,dlayyyy [R[R* , yy]]] min(R 33
dla [Ry* [ , yy*]
dlay R*** , y
R
y
R *
R


następującą postać: min(yR(y ),* *) ( y
( ,), R ) ( y) dy 34
*
2

**
R * 0,dla 2 R*R y yRy) 1 2 0 2 1
R (y) R* R ,
y y
R , 2R dla y [[2 , y] dy ) (C ) 11 2
2 R R* **

1
y (yy) )dy (y) dy
y (( dy RR* 2 dy
( y) 2 2 32
yy (1(y1 dy RR y (yy) )dy1 1

0 R*
000 R *
*** ***( yy) c * * ) (2y dy( c RR*** 111) 31
y)dy Rr * * 00
*
R *
RR ** 111 RR ** 1 1y R*RR
RR * 111 RR * 111c)R[ R*R* 111 RR * 111
RR RR *

*
35
35
35
yyyy R dydy (((R(RR* ))))R R ,dla( ydydy1( R * )) ) ))()R*y ) CdyRdy cc dy 1 yy y 3030 35
yy dy 1(R**** ) )RR dy 1 (R***** y dy c dydy* y 30
dy R dy ( R , y] y y yyy dy 2 2 dy 2 30
dy (RR* dy c dy r (30) 3
dy
30
R C
2 R y dy RR R * *
R R* ,
****** R** * *** R*R*
* y2dyyyydy(R2 rrrrr 30
( *

000000 R R*

R*


( yy
RRdy ) R R
0 y 2 ) dy ( ( ) ((yy)dy (R* (dy )RrR y) dy
yyyy dy (R* Ry y R dydy( (( ) ()R RR *** dyy ydy cc000000 )* * dy
y yRdy R* (y ** R y 1
** * *
yy yyy) ( )dy y) dy R y ) 34
min(yR y(yy dy*) ((R*) y)y0 min(dy ) )(dyyyyR(( RR )) )dy R ((yy) )dy 30
)y y((y), 2dy RR*RR )2)R y* ( R yc), 0 ( ( y)dy 35
oo o
o R* R* *
yy y 0 1
0 R* *
R*

R y
y R* y y* y


1 C 1
(
1 y dy (R* 2 ) ( 1 (y) dy R* ) ( y) dy
2 R* 2
R* 1
C dy ( R* 1112 r 33
co prowadzi do
c ( 2 ) yR* R1 0 R* 32
R 2

(R* R *
dy 30
** * *
111 2222 (2 0
111*****0 dy )* *
2 2
(((y R R (*yR o R R 1y)) C R* *11122,dy )c y y
y
2


yy c)R)*R R Rrrr yy * 222 ( (y((yyy cccc * RR(* dy 2 100 R(y Ry ), R y 3131 3
yc))))R*** rrrRy y y* 2 min( Ry((yy *c )RR R ))) 2 0 0 ) ( y31dy
22 ) 2 RcR y R** 31
y dy ), *
36
RR* RR *2 y y) ((y) dy y)0dy2 y) dy 00 36
RR y) dy dy 36
RR (((yyyy ccccRR** )31
* * * * *
yy2RR y ) (((yy) )dy2 RR ( y (((yy) ))ydy2
(((( ( y y) dy yR) dy) R 2y y 0R 2 (1(yy) )dy 31
) ) ) dy
y) dy2 **** 2 min(0 ( (y)dy 00 (31) 36
1 2 R * * R * * R * *
R*
0
2 R*

222
222
(y R ) ( Ry cR R* 222 ) 0 31 35
cR R* 0r*y 2
R* R* * y
R*
R*
*
y ) y
dy (
2
* *



R (R y) ((yy)dy 2 R* (Ry ) dy( ) dy R ( R( ) dy 0 ( y) dy 36

1 y 1 R*
* 2 2*o
C1 2 2 ) y 2
*2 1c)R1 R(22yy y* C (R R* ) R* 2y

2
2r2), ( 222 dyy) CCy R min(,22 )y y) dy
(y 1112R y CC yc R* R ( ), R ) (0 31 34
2 2
min(1 ( )C 111 33
*
1R y) 2 (( CC 111 2
0
(
222 ((((yyy cccc RR 2 ) ) ( (2 2 dy* 0 0 00 37 3232
2 2 ( y2 R c R 0 ( 2 ) )) y 0 37 32
yy c RR* ) )) 2 2 2 2 2))2 ( ((( ) 2( ) dy22 10 0 2 1 37 32
( R 22 ))) 32
)
2 ) 37 32

3
Uwzględniając (26) i fakt, (że jest CC) 222 ( 2*22) R* ( y y
Rc RR2jego *pierwiastkiem, a następnie (29), mamy ostatecznie
22 C2 2 2
2C R* 2 2 22 2
2
2
* *
2 y


y ) dy 2 RR 0
(R
R (R 2 y() 2()y()ydy )R 37 ((R* )0R32 ( y) dy 36
*
*
* * *
()y2 dy y) Rdy y) dy
R* o y
*
C
1 2 y) dy C 1
(
2
c y ( y) dy2 R2
0
R*
2222
2
R ) 32

35
( dy min(R (y), R y0 dy (32) 34
( )
111 CC ( yy CCR R*) ( y2)22 y ( 2R ) )2
11 CC C *
1 CC CC *
min( RCy), 222
y
* *


33 (
) 2 , y ) 3333 y) dy
Ry ((R2 2 222,,), (y*0 ) R R ( 21 dy dy( * R* 0 3
33
0 33)
2

*
C2
2 dy , , (
2
*

222 221 22 o y* R2 ) , y)( y ) R (33 dy 33
222 2 2 R y
2 2
C R*
22 ( 37 y
22 ) dy R*

2
*
2 2 C y
R

y ( ) dy 2R* 2( y) dy2

1 *
y C
R* y
0C y y y yyy) (R R*
2
33
35
yy y yyy
0
*
* *
( * 2 , dy
*
2 2 2dy
min(RRy(yy),R**** ) (yRyRdydy (00yymin(R R(((yy), R 1 ) (( )y)dy) dy (y)y dy 34 36
min(R(y),),R R* ((y))y dyR min(yRdy(),),R y)(ydy 34
min(y(R ),), ) ( dyy min() R ),11111 * )y
min( R dy R R dy
min(
min(y R y*),2R ) ( y( yy(dy 37 3434
min(RR(((yy),RR )))) ( (yy)))) dy min( R((((yyy),R R) )))) ( (y ))dy) dy ( R R* ) R 34) dy

000000 )min( ) R* R (34
0000
y
* * *


C
min(R(y), R o ) (y) dy min(R (yR), R ) ( y) dy 34

0 0 1
2
******

R c 2 27
R yy 2r2y
2R y cc y c)) y 2( y 27
2
2
2(((yy 22rryr y 27 27
RR*** yyy ccc ((((Cy cc))))222 22rrryy ) c R*)27 29
RR* cc ((yy cc))2)2 ( y cc)c 27
R* ((yy 27
R** yy cc yy cc)22 22rrryy 27
R yy 2 yy 27
27
R* y c y cc 22ryy1 2 27
2r 1
1
2
C Ry (y 26
RR** yyyyy yc) ( yC )222 22R12 ( y c) R1 ry 0 27
R** cc (C cc)R )) 22rr1y dla(y c)R1 ry 0 27
R 27 28 26
27
1
y
R* yy (yy c *2 ryr2 c)R1 ry 0 27 28 26
r
R* y )))cdy ((y(yy ((R)2)
y c C c )** 22rRyy
(ycdy
28
R* (()R*) 2 2y 28
*
C
C
C
C
yyy )dy (((yydy Ry, 2 y [ 0 , R* ) 28 27
CC
yyyy Cdy cc )
R**
R
y
(((yy))dy ((RR***2 28
((yyy))dy (((R* ) 28
(((yy) )Rdy C (((RR*))2) 28
dy R*2) 28
dy R**))2 28
28

R*R* dy
R** y)dy
RR***
R
R

R*
22 CCy) , dla y [R* , R* 28 )
22 ( )
22RCR R*
2
C *
yyyy
*
27
y
y
dy2 CC (RR*** 28 27
dy y c y 28
28
((yyyy)dy 2 c((((RR))) ) R y c (R * c)2 2ry 28 29 27
RR
R**** (((y)))2dy( y 2 )2R*) * y c (y* c)2 2ry 28
R
(ydy * R*
C )2) 2 R )2R 2 (y c)2 2ry
R*
R*
Ry y y RR))*
R**))
C ((yy22c)))2( 22ry y y c R 28
C 22dy(2y 2cc 22 2rrr*y 2 2,((yy c [ , y ] 29
C 2((dlacc 29
29

CC 22 ((((yy ccc))222 22rrrryy 22((((yy ccc RR***))) 29
C 2 ((yyy cc))2)22 22rryy 22((yyy cc RR*)))) 29
C 22 ((yy 2 2 cc R**) 29
C 2 cc))2 22ryy 2 R 29
C 22 2ryy 22((yy R* 29
C 29
29
C y c) y c R* 29
C
y
*
y C
C
y
(
*

* ) ** 28
CC 222(((yyyy cRy2)222 21rrrrryy 22((yyyy dyc***RRR **))) (R*) 29
CC 22 y y* 0 cR* 29 y 28
C *22 y0 cR R*** (R*) 29
* R2)) ( 29
y
ccc y y [)dy
) dlaR ( 0,cR
C 2 ((y cc)),2 2 22rydy R 2(( y) c R
2 y
(y y),, ,) 22dla y [[[ ,dy R))) 1R ) 29 R 1 dy c R* 128
y dla Ryy2(((yy 0c,R )) 29
dla , 2
dy r 30
*
2
0
yy,, dla ( y dy ( R* )
yy dlayyy [[[00,,R**R ))))
*

, dla [00 RR** R*** R*
dla [0 R***
dla R*
dlayy
y y
R yyy,,,, 0Rdlayyy [[[00,,,,RR )))) R* )
y dla,

dla y
R ((yy)) R,, y y R ,R )))
R ((y,) R***,, dla0,yR [[[R ,,,R***
R y)* Rdla y y [R *) R
dla




RR((((yy))) RR**,,,,,, dla yyy [[[yC**** ,,,,,R*R** ) ))))y]2r
RR((yyy)) R**,* y, Rdlayydla[RR** RR**** c ) )),) 2ry 2( y c R*) 29
R ((yy)) dla yy dla* R* )
R dla R 2 (* ) y 2(y c R*)
R R* dla [RR R
* R
dlayy [y[0 ,R[*
dlayC [02,RR* ) )))2
RR* yy,,, dladla R ,,R c 2(y c R*)
R y dladla,[[[C*
29
R y) , y R R** ) 2
dla y[0 ,[,Ry* ) ,2

,
[[0,, R
0RRy
R y,y,R*** dla yy y [[Ry** ,,y ]]]2ry 29
(



R dla 02 (R* y
c

R* Rdla ,,,dla y R* y
*
RR(((yy *** R ,,1 dlayy ***R* 2) ) ( y c R* ) 1 2 0 31
RR((y )R R**** ,
R y *** R
) R
) R ,,,,,,dladla yy [*[R R yy,RR
dla2yy R* *
dlayy R
c
l
R
114 R ) , ,dladla y[[yR Ra yy]]]Ry
dladla (RR R) i,,y ,]r*
(y )RR R ,,,dladla y[[ [[[ R y]sRRi* ))))
yR * dla [ P * ]
RR* dla [ ,
R , dla*yyy [[[AR*** * , ,,*,,yy ]R****
) y R ,Å„,]k
R. R* * ,


1R** 2 *
R**
* *
1R* dla y [[[ *** 1 , y y y0,R1 ) RR 2
*
R* R** 1
* R*
R dla R dy ]] R* [y R1
dla
dlay [R[RR R** y ,,,yyy dla ) 1*
* * *
R** 1 1 y, * ) R** 11
RR 1 1 y 1

dy , ,,,dla yyyy)) [RRR , ,,yy ]](]Rdla y [y0, R1 ) R* 1 dy r

**
dy, ](((Rdla 30
* *

y dy ((,RRRR 11 30
11 R**
* y dy RRR )) dy 11)RR** dy c 0 dy rrr 30
*** * * 30
***
*
R** 1
R** 11 RR* 11(Ry ) * yyyy dy yy dyR cc dy yyrdy
RR** 11 * yyy RR** * 1
RRR 110 yy R Rdy ((R,*dla 1 R dy 1 R** ) [dy y Rdy *11dy 1) ryrdy
R** 1 dy yR , y) [ y0, dy 1100
R*
* R *

R*
R1 y , RR* dy * R*R 1c 0 y
R1 y , y [RR 000R
,
yyy10 0 0dy yR ) dy (((R**** ))dla y 1dy * cc dy) 30
yy dy yyRR*** ))))R RR R1 ( dy) yy(RR** ))))2 *y 2 dy cc dy rr 30
yy dy (((R *** )))R(R Rdy ( R** )RRR 1dyR c RR * dy 30
dy (y(R* dy (y ** dy cyC 0, 30
dy ((R*2 dy (R 30
dy R R 30
R
R
*** *
* **
dla dy c , 1

0000 yyyydy (R RR** * 30
000 R*

y c(dy)R (RR)* )dla y11 [RR yyy dy) 2rr 0 30 32

0 0
yy dy1 y y y yy dy1
yy yy yy
ydy1 RR* yy 11 (c 000 ) dy r
RR* 1 RR* 1 RR* 11
R** 11 R** 111 R** 11
R* R R**
yyy11dy R* yy* R* yyjego *mniejszy
* *

Rozwiązując uzyskane yrównanie *kwadratowe, *(((RR** ,dla yyyy 11 *
R* * R* *
y
R
*
dy (((R* dyR 2* R*dy c dy r 30
dy RR*** )))RRyR dyotrzymujemy [Rdy cc, ] 2 dy rrrrr 30
R R ,dla yyy dy cyR] 1dy 30

y1y dy ((RR )) 1 dy R ( * )))))Ryy [11dy2 c,cy00yR pierwiastek 30
y 1 y ] dy
0000 y R** R

30
dy dyR* (RR* dla yR [Rdy 1, dy
2 dy (
R y y
0 y 0
R* *
0 1yR *dy ( ) R** y dy2 R , ) R**** yy dy 1100 2 y0dy 31 30
2
11yyy**22 R* R* * y (y RR *y ) 0 yyy
R r yy 2
yy*
y c)R* rrry y 22 y* cc 22 0 31
(((yy c R yyy (((yy c R** 1y )22 00 31
(y* cc)))R** c R* y 2 2 y 31
R
R
R
11 2222 11 ))
11 22 1
11 2 11
1 1
2 2
2
* *
((yyy cc)))RR* rrr y C 222 ((((yy ccc RR*** )R)) 1 222 00 31
1RR*** 2(((yy R* ry R* R 00 31
( cc)))R* y R22 1 y cc R* 0 31
R* 1rryyy 22 ((yyy cc RR* 0 31
2 1 ((yy R *2 )))) 31
RR*2 2((yy ccc)RR***
R* 2
R**
R*
1 22
* *
* y 131 R* 1
2 y c) rryy R dy cR*R R 22 dy 00
2
1 y 131 R* 1
y 131 R* 1

22 R* C ) 22 11 dy
22R11 *22 y22 1 dy (R* 2 2 (R*
22 2
2
R ,
*
11 y2 * 2 1 R* c dy r
11 2

2 y ( )****) 21 R* ) dy31c dy r
0 * 0
*
y (y(R c RCR* y) dy1 222( 00 ) y 33

R* 0
* R* (( 31
11R***22 (yyyy ccc)))R** * rrrr0yy 22 dy yy c )R2 ) dy 2(2 00 ) R* y dy31c(33) dy r
*
y
22RR2 (((y c) 2 * r0 1y (2yyy ccc RC*R ))y 1 y 31 32 y
RCR ))) 21 2 R* y 31 0 y
22RR 2 ((y c)RR* 2yr 1 y2 2 2 c R y 22 2 00 31
2 ) R
2 2
R ( cRRR y ( ( (C 11 0
y ) 32

2 22 y R 1 11
2 y cc
2 (((yy c R 22 32
c R11 )2))2 22 1 00 32
1 C 11
11 )2 CC 2 1 22 22
1 C (((2211 )2 2)2 2 0
1 C 1
C 1
C
2 2 2
22 2
2 2
222 ((yy R ) 22 ))) 00 32
2 R 12 2 ((( 0 32
222 ((yyy cc R 2 2 32
2 00 32 1
32
32
y c R
y
który, biorąc pod ((((yy ccc RR ))) 22 2222 (((yC *)))) 22 00 c R* 32 2
uwagÄ™ (29), cc RR )zaÅ‚ożenie ´ " (0, ((  ), 222
spełnia ))) 2 22 R*C) 20
* 1
22 11 c2 * 2 samym ywykazując, że kontrakt
2y 11R)* " y() 2222 22)RC 12 2 y * 32 1 2
2 2 2
2
1
2 RR*2 (y c2) * R 21
y c ry22 2 ) 0
ry22 0
y22
(
cmin(R22 1 ( 22RyC rtym 1 1 ( yc ) 0 34
1 *2 2 ((C 1
22 (((yyyy cc RR ()2 ),2 22222 2 dy R((min()2) ) 11 222 )00 ( c R* ) 32
2 2 ((y
(23.1 23.2). 221 2
(R"(·), R1") speÅ‚nia ograniczenia ccc RR ))) 2CR ( y )((0 CC ) y ), R (0y0 ) dyR 232
2 R ) 2 2 2 2 ) 22 32
1 232
22 2 (00
(y 0 R ) 22 22 ) 22 232
32
2
2

11 C C
1 C C
C 222
2
22 2 2 22 22 33
33

C2 C C 33
22 22 ,,, 33
C C2 ,
R*
11 C C 222 2
11 C C
11 C C 2 y
1 C C
C C
C2 22 C
1
2
R ) 22 2 y 2y) 2 22 ,,(23 23.2), 1 2 2 (C ) 33 0
1 2 22 2222 ,,c R ) 33
2 2 *2(2 222 1 C 1
0 2 2 1 33
33
33 2
33 2
1
* 33
( dy y dy 2
2
2
C 2
Skoro kontrakt (id, 22* 22 2 rozwiązaniem 22R 22( 2 ,,,, ) R ) musi zachodzićC
(

)
22 122 C 22 CC 2(2y c 2 2 ( 2 ) 0
22 1 22 zadania c R ) 2 2 ( 33 0
2 2 2
2
jest CC
11 C 2 y 35

CC 2 Ry
C
*

2
12 2 2 22222,, , ) R* 2 2) y 2y)33
2 1 C C 2 33
33
33
y 2*2 ,, 2 (R* 2 2
( R ( y) dy dy
C R 2 dy 2

*
y 22 ,
y

R* 33
222 22( o y 2( ) min(R (yR),R ) dy ( 33 (34)
22
y yy y yy
min(R( ),R 2
2 22 * 22) 34

0min( R2((yy), R***)) (( y))) ydy min( R y), 34
min(2R y), R)) ((yy2 ydy min(R ),R1 ))) (((yy))) dy 34
min(R dy R R (y) dy
yyy yy
y
yyyy y),R yyydy 0min( (((yy), R y dy 34
y
y

min(RR(yyy),RR**))) (((yyy))dy min( 0R ),R ) (yy) dy 2 34
min(R((((yy), R ((yy))dy min( RC((yyy),RR C dy 2 34
min(0R ),R****)) dy min(RR ),R y)11 dy 34
min(R ), R* dy min( 00 R dy 34
min(00 ),R* dy min(RC y),),R dy 2 34
min( dy 000 min( dy 2 34
1
min(RR(((yy),RR))) (((yy)))dy min( RR((((yy),R ))) (((yyy1))dy 34
0000 min( R y),),R* y) dy min( RC ((yy), 1 1 ))) (((yy)))dy y 34
000 1 * 1
1
2
1 C

0000 ),RR11 ) ( (C) dy R2 2 ,


) 0 yyyy 2 ,
yyyy 1 2
co jest równoważne0
( 1
dy2

R* * y
* y
y * *
y R ( *
2
min(RR(y),),R**() ** ydy ( yy2 0dy R ),R dy 34
min( ( ), R * min( 34
min(R ),dy* R* ydy min( 34 36
R* min(R
RR* R*
min(yRR((yyyy),RR ) (((yy yy)ydy(( ) )2) dymin(R(((yyyy),RRy)2 dy(y) )))dy ,( y) dy 0 34
y R
0000min(yR((((yy),dyy*)) R(y*)) ) ydy 00 0min(R ((y), R )) y 34
R dy
* dy(yy2dy ) dy 34
2

* y y) dyyy) )R R**
0 1 1
* 0

min(((yy))) dy R(y ) ) y ymin(RRR (y ),),R )2) ((yyy dy
R**** yyy dy )) dy ),R1111 )2 (((y)) dy
RR y
RRR* 0 0 0
R*
35
R* y
yyy ((((yy0)))dy R ((yyy)Rdy
yy ((y00y))dy (((yy) ))Rdy * R**
yy y)) dyR RR** dy
((yy)dy RR*** dy RR
dyR R* R
dy
dy R*
35
35
35
R* *
y
( (((yy)))dy
* *
0000 y y dy ** R* y) dy R* dy ( *
000 RR**
RR
R****
*

y yy
R
0 **
y RR y dy y R ) y ( y dy
* * 35
35
35
RR**** 35
R**** yyyy 35
R 35
y R((yy))2dy yy(R2dy ) * y dy R yyymin())RR** (Ryy)))dy( 35
y ydy dy(RRR*** * (y)) dy y ( ( y)) dy
( dy ((R***
*
y *
RRR R** * yy
R* * R**
RR** R ***
RR*
R
*
y yy y )( odydy R ((** ******
((o()o)ydy (Ry(RRRdy( y( )y) dy)R (yyyy Rdy ())( R**dy R )) ),

dy * * y( )dy R y(yy ) dy) ((yR* 0y y
RR* ),
yy (yyy yy( dy))dy R ((R R (( y )min( R ((y(R), ))Rdy (((RR* **dy ))))0R yyy dy 1 ) ( y) dy
R ( ( )) dy ), dy ) dy 35 (35)
0000R (((y dydy R** 0
((y) dy

y ( (yyy))dy R* R* ) ( y dy R) (( (yRy()dy
yy)dydy CR*** ))))))R RR (R) dy) ) 37 ydyR
dy R* y
* ***
*
0 dy (yR RRy (ydyR
y yyyy( )())o(ydyy R * ))(RR y()min( )()( (RR),))Rdy(((y((( yR* *dy (R min(R ), y) dy 35
0 yy y))) dy R((R min( R (yy))dy) R) )))0RRmin(((Ryy)( ) )dy 1 ) (y) dy35
ooo RR* 1
RR* R* * dy
oooo R* 0 R** R (yy))) ydy
R**
0 R*
dy 35
35
R*
o R*

35
R** RR* 35
RR* R** yyyy
R* R** *
*
R* * y
R* R *
y
* **
yy ((y))))dy (dyR*** R)R) R )) dy R
dy R** dy (Ry***** )))))R Rdy (((yyy dy
R
R* R* **** ****
RR*
((Ryy (((yyy) )dyy (((RR* (((yyy dy R ) dy ) dy
dy 0 dy

Ry (y) dy ) dy R ))R) ((y (y))))dy (( y yyR ((yy))) Rdy (0y(y))))dy 36
oooo dyy (R * )R R dyyy R* ( 36
R
dy (
dy
* * *
* *
o y) ((yy dy( R R** ( )ydydy ( ( R** y) RRR* 00 y ) dy 36
* * y *
y
* R* y * ( R y (yR 36
R*R* * R*R* * (
RR RR** y (yyR)dy dy y ) dy 00
RR*** R* ( (oR*y* yy))y ((dy))) dy R y R R (((yy)))Rdyyy *
R* RR* R *yy
R* R ( y
dy
i prowadzi do *

R* R** R* dy
0

(((RR**R y yy) (((yy)))dy (((yy )))dy (yy dy 0 36
(((RR** yy))) (((yyy))dy ((yyy)))dy R (((yyR)) ))dy y 36
((R* R ((yy))dy ( y) dy y dy 36
R* dy dy (Ry)) dy 36
R * yy))) dy dy RR* (y ) dy 00 36
dy dy 36
dy RR* 0 y ((R)y) )dy y R* y R* ((( yR)y ) dy (( 36
dy
0 R*
* *
y dy y) dy 00
R*R** R* y) y) dy y dy R*R* dy 0 36
R** R*R** RR *R
RR* R** R*
R R
R* R*

R* R*
R* R*
* R* y
RR RR* R*
R**** R** R yyyy *
R R*
R*
R*


R* R* *
y
R*

R** dy ((y(y)dy) R (yR * (((yyyy) )R dy 00 y ) dy (R* )36 (36)( y) dy
RR y (dy) ( ) 0 36y
(yyy (dy
)) y dy y * ) R* ( )36 (y) dy
36
y ) dy dy R(**R ( (y) (y)
y *
R*
((RR*** 2y)) ((yyy dy o R dy
*
RR* 2 ) dy R** dy
R** (((R* 2yyy))) ((yy )))dy R** o R * 37 ) dy ( dy ( R* 36 Ry*
R*
( 2yy ( (y dy RR R ((yy ))(dy) (R y)))dy 000y) dy (R* )36 (y) dy
dy R*
R*
o


2
R* *
R ) ( )2))dy R dydy R*R*
22
((( 22))) R* * 37
37
37
222
2
2 2
C
C
(((( 222)))) 37
(( 222))) 37
(C 2) 37
37
( 37
37
37
C 2 37
R* R* y

y
R* R*
R* R*
CC
C
C
C
C
C

2
22222

(R* y) (y) dy 37 dy y (y) dy 0
*
(R* y) (y) dy 37 (y) (y) dy 0

Korzystając z wzoru Maclaurina, ((( "2,(") z (33) można przedstawić jako (y) dy R*
*
2
C (´222) R* (R* y) (y) dy 37R (y) dy R* (y) dy 0
37 R
R*

R* R*
R*
) 37

CC ( ( ))2)) 37
CC
C
C
2
2
2

2


2
2
( ) 37 (37)
( ) 37
( ) 37
C
C
C
Składniki wzoru (36) dla małych " > 0 i dzięki ciągłości ź w R* można zatem przedstawić jako
R
R**
R*
2
(38)
((y)) dy 22 ((R**)) 2)) 38
y dy R (( 38
R R (y) dy (R*) ( 2 2) 38
*


R* *
R *
R**
R*
2222

RR R (yyy) dy ((R***)) 38
((()))dy (RR))* (( ( 2)) ) 38
y 38
R R* dy dy R ( 22)2 38
R** ***
R*
R* dy
*
R*
yy
(
y
yy y
(((yy ))dy R 2 ) yy) dy 38 2)
y dy 22 (((dy***) ((( 22)) ((( dy 3822))
R(y ) dy 38
38
następnie ( y ) ) dy (222 (RR*) 22(( 222)) y) ) dy (( 38 39
* *


R * *
RRR
R*

( )) (R))) R* 39
y dy ( 39
y
(
y)Rdy
*


R** R*
R
R*

C
C
C R
R* 2
R**
2

yyyR y))dy 222 y * 38
y) dy
dy 22 yy( (((y)y dy(( 22))((
)
*
R
Ry* (yy dy2 yR**)y) 38 39
R* (y()y) dy dy
*** *
((( y 222dy ( R ( 39 (39)
y ( y C dy 2) (2222 38 39
yyyy
* * 2
y dy ) 2dyyyyy (R ))y) )dy( ( ))) ) 39 39
*
RyR))) )dy (yyy) RRdy (( 2222)R** 39
( ((Ry y ) dy C((y Rdy )) R R*
((Ry dy C R**dy 39
R dy 39
R* dy 39
* * ****
) (()) y)))) )dy ((( ) ))

RRR R*
R * * R* R
R*

((R** Cy))R ((yC dy ((R**)* R* R y)) dy ((
R Cy R y dy R ((R** y dy 2))
(R* (y dy (R )R (R* y) dy ( 2 2)
CCyR *
C


R R*
R** *
R
2
yy
22
yy
y
y
22
2
40
* 40
R*** R
R
oraz R R** 39
R * y ** y))dy ** ( ) 39 40
yy)) dy) dyC R** 1 *
( dy (
***
R** R()y) R R*
(R y)y) ( (dy) 1( ) Rdy 2 2* ). 39
R *
R
R*
* ) y *
R1 **R R ()

dy R ((R) ) R*))((R2 2dy2
R ** ( )dy R *** *** y) 2
RRR* *** C R* ( R *( y ))( )dy2 ( 22)2
R* (((RRR* y(()y) (yyy) dyC R((R R(*y*( ( * Rdy(* R y(y) dy).). (( ( 2)))
R R )(R 2dy
* *
(((RR** y y))) (((yy)) )dy (RR*)))RRR ( ((RR** y y)) )dy ((( 222))
((R **R y y dy ((((R***) (RR y dy (( )))
R*R y)) ((y))dy R*) R y))dy
RR R y y dy R dy
dy
2
2
* * * 2(R y dy
1


40
40
40
R * * R ***
RRR R*
R*

40
111
(40)
40
40
40
40
((R***) 2222 2).
R ) ( 222).
R
R
R**
1)dy2**2 2 (RR))* R (( ).).) dy (( 2 40
R* (R R**
R*
*
2 R y)) ((1y dyR )) 22( (() R 222).R**( y) dy 22))

2 y y1) 22 ) R ). y
(R* y) (11) * (R**) (R y) dy ( )
y
(((RR )) (2 * (( **).((R*
dy2) 2 (R 2 2).
((R*22 ).
R
** *
R
R*
2 ((R**
R yy y
2
2
((y)) dy2 ((R**)) 2)) 0 41 40
y dy2 R (( 0 41
( y) dy2 1R*) ( 2 2) 0 41
(1
* 40
40

R*
1
C 2
C 2
C R R* 2 2 2
R 22 (( ).
2222 yyyy 22 ((R**)) ( ).
22 (R*) 22).
22
((()y 22dy ((R*** ( 22)2) 0 41
y) )dy 41

*
WykorzystujÄ…c (38), (39) i (40), C ) )) )dy (yy ) dy (R 2 41
otrzymujemy (RR))*)2 (( ( 2)) 000 41
222 yyyy 2dy 22 2
22 y )

R** *
C 2
C
Cyy) RRdy (RR*)2 ((( 222)) 00 41
(((yy Rdy ((((R***)) (( 22)) 00 41
dy R 41
((y dy R*)) ) 0 41
41
*


R ***
R*
CC RRR 22
C 22
C 2
C
2 2
yy
22 22
y
2
((y)) dy ((R**)) 22)) 0 41
y dy R (( 0 41 (41)
( y) dy (R*) ( ) 0 41

R
R**
R*
C 2
C 2
C 2
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
115
Dzieląc nierówność (41) przez "2 przy " dążącym do 0, uzyskujemy dowodzoną nierówność
(28). *
Z twierdzenia 3 wynika, że jeżeli standardowa umowa kredytowa jest optymalną umową dłuż-
ną, wtedy prawdopodobieństwo zwrotu z przedsięwzięcia ponad wysokość spłaty kredytu w ocenie
przedsiębiorcy musi być wyższe lub równe pewnej wartości zależnej od kwoty spłaty, kosztu alter-
natywnego inwestycji, kosztów audytu i oceny przez przedsiębiorcę rozkładu prawdopodobieństwa
zwrotu z projektu.
Wniosek 4. W sytuacji istnienia zróżnicowanych ocen kredytodawcy i kredytobiorcy doty-
czących zwrotu z przedsięwzięcia standardowa umowa kredytowa nie zawsze jest optymalnym
kontraktem dłużnym.
Model Carliera-Renou jest jedynie rozwinięciem fundamentalnego modelu Gale a-Hellwiga,
jednak wskazuje na istotny problem dotyczący założeń modeli kosztownej weryfikacji. Założenie
o homogenicznych oczekiwaniach związanych ze zwrotem z przedsięwzięcia obydwu stron kon-
traktu jest dość mocnym założeniem i niekoniecznie prawdziwym. Model Carliera-Renou wykazu-
je, że standardowa umowa kredytowa jest optymalnym kontraktem dłużnym przy zróżnicowanych
ocenach kredytobiorcy i kredytodawcy związanych ze zwrotem z przedsięwzięcia tylko wtedy, gdy
oceniane przez przedsiębiorcę prawdopodobieństwo zwrotu z projektu ponad kwotę spłaty kredytu
przewyższa wyliczoną w modelu wartość. Standardowa umowa kredytowa nie zawsze jest zatem
optymalnym kontraktem dłużnym.
6. Podsumowanie
Wykorzystując prezentowane modele, w sposób formalny udowodniono, że standardowa umowa
kredytowa jest optymalną formą umowy dłużnej. Jest tak z jednej strony w wyniku asymetrii infor-
macyjnej między przedsiębiorcą a inwestorem, gdyż jedynie przedsiębiorca bez ponoszenia kosz-
tów obserwuje wynik przedsięwzięcia. Z drugiej strony jest to rezultatem dążenia do minimalizacji
kosztów utraconych związanych z weryfikacją wyników przedsięwzięcia.
Gdyby inwestor  kredytodawca mógł bez kosztów poznawać wynik przedsięwzięcia, wtedy
na rynku finansowym dominowałyby umowy uzależniające wysokość spłaty kredytu od łatwych
do sprawdzenia wyników przedsięwzięcia. Istotą umowy między kredytodawcą a przedsiębiorcą
byłby jedynie podział ryzyka projektu, a kontrakt określałaby wysokość spłaty kredytu dla każdego
możliwego stanu natury.
W warunkach asymetrii informacji poznanie wyników przedsięwzięcia wymaga od inwestora
kredytodawcy poniesienia kosztów weryfikacji. Analiza modelu Gale a-Hellwiga (1985) wykazała,
że zapewnienie warunków uczestnictwa i zgodności bodz
ców stron kontraktu w warunkach istnie-
nia kosztów weryfikacji sprawia, że optymalna jest taka umowa, w której kredytobiorca spłaca stałą
kwotÄ™ kredytu, a kredytodawca przeprowadza audyt i zaspokaja swoje roszczenia w drodze prze-
jęcia przedsięwzięcia dopiero w sytuacji braku wymaganej spłaty. Standardowa umowa kredytowa
z maksymalnym udziałem własnym przedsiębiorcy okazuje się optymalną formą umowy dłużnej
w sytuacji asymetrii informacyji i kosztów weryfikacji wyników przedsięwzięcia.
A. Paliński
116
Kolejny rozważany model  Krasy-Villamila (2000)  pozwolił wykazać, że standardowa umo-
wa kredytowa wyznacza doskonałą równowagę bayesowską w strategiach czystych dla kontraktów
zawieranych w warunkach kosztownego wymuszenia realizacji kontraktu w drodze postępowania
sądowego. Tym samym standardowa umowa kredytowa, będąca umową deterministyczną, typo-
wą dla kontraktów dłużnych, jest optymalna w sytuacji kosztownego wymuszenia. Determinizm
umowy oznacza brak losowej weryfikacji wyników przedsięwzięcia i możliwość podjęcia audytu
jedynie w przypadku braku lub niewystarczającej spłaty kredytu. Ponadto standardowa umowa
kredytowa jest optymalna nie tylko ex ante, ale i ex post, gdyż strony umowy nie mają intencji jej
zmiany po zaobserwowaniu wyników przedsięwzięcia.
Poprzednie analizowane w artykule modele, podobnie jak większość modeli kosztownej we-
ryfikacji, zakładały, że ocena rozkładu prawdopodobieństwa stóp zwrotu projektu jest identyczna
dla obydwu stron kontraktu. Carlier i Renou (2005) przyjęli odmienne założenie, uwzględniając
w swoim modelu heterogeniczność ocen rozkładów stóp zwrotu kredytodawcy i kredytobiorcy.
Okazuje się, że standardowa umowa kredytowa jest optymalnym kontraktem przy różnych ocenach
rozkładu stóp zwrotu tylko wtedy, gdy prawdopodobieństwo zwrotu z przedsięwzięcia ponad wy-
sokość spłaty kredytu w ocenie przedsiębiorcy jest co najmniej równe pewnej określonej wartości.
Przy jednakowych ocenach kredytodawcy i kredytobiorcy uzyskuje siÄ™ klasyczny wynik Gale a-
Hellwiga.
Każdy model, także te przedstawione, wprowadza jednak znaczne uproszczenia rzeczywistych
zjawisk, gdyż inaczej nie byłoby możliwe znalezienie jego rozwiązania. W analizowanych mode-
lach brakuje na przykład założenia dotyczącego zabezpieczenia spłaty kredytu majątkiem przed-
siębiorcy posiadanym przed podpisaniem kontraktu. Założenie to jest uwzględnione np. w modelu
Lackera (2001). Standardowa umowa kredytowa pozostaje w takiej sytuacji również optymalną
umową dłużną, pod warunkiem że kredytobiorca wyżej wycenia wartość zabezpieczenia niż inwe-
stor, co jest powszechne w praktyce gospodarczej.
Długotrwałe funkcjonowanie firmy lub duże wielookresowe przedsięwzięcia inwestycyjne wy-
magają dłuższej współpracy z kredytodawcami. To zagadnienie podejmuje Webb (1992), wykazując,
że w przypadku dwuokresowego kontraktu w pierwszym okresie umowa kredytowa wiąże wyso-
kość spłaty ze stanem natury (umowa przypominająca kapitał własny), a dopiero w drugim okresie
jest to standardowa umowa kredytowa.
Choe (1998) wprowadza podejście wykorzystujące mechanism design, z którego wynika, że
standardowa umowa kredytowa z wcześniejszym zobowiązaniem (precommitment) słabo dominu-
je każdy inny mechanizm. W praktyce wcześniejsze zobowiązanie oznacza, że kredytobiorca ma
zagwarantowany dochód niezależnie od wyników przedsięwzięcia (np. tzw. złoty spadochron dla
kadry zarządzającej), co skłania go do informowania zgodnego z prawdą o ryzyku projektu jeszcze
przed jego realizacją. Model ten różni się jednak od modeli analizowanych w niniejszej pracy
posiadaniem przez kredytobiorcę informacji na temat jakości projektu jeszcze przed podpisaniem
umowy.
Niektóre badania (np. Choe 1998) wskazują, że nie tylko optymalność (przy danych ogranicze-
niach) standardowej umowy kredytowej jest przyczyną jej powszechności, ale także nieprzewidy-
walność i zbytnie skomplikowanie rzeczywistości.
Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
117
Bibliografia
Attar A., Campioni E. (2003), Costly State Verification and Debt Contracts: A Critical Resume,
Research in Economics, Vol. 57, s. 315 343.
Border K., Sobel J. (1987), Samurai Accountant: A Theory of Auditing and Plunder. Review
of Economics Studies, Vol. 54, No. 4, s. 525 540.
Carlier G., Renou L. (2005), A Costly State Verification Model with Diversity of Options. Economic
Theory, Vol. 25, s. 497 504.
Cho I., Kreps D. (1987), Signaling Games and Stable Equilibria, Quarterly Journal of Economics,
Vol. 102, No. 2, s. 179 222.
Choe C. (1998), A Mechanism Design Approach to an Optimal Contract Under Ex Ante and Ex Post
Private Information, Review of Economic Design, Vol. 3, s. 237 255.
Freixas X., J.-C. Rochet J.-C. (1997), Microeconomics of Banking, The MIT Press, Cambridge.
Gale D., Hellwig M. (1985), Incentive-Compatible Debt Contracts: The One-Period Problem, Review
of Economics Studies, Vol. 52, No. 4, s. 647 663.
Dewatripont M., Maskin E. (1990), Contract Renegotiation in Models of Asymmetric Information,
European Economic Review, No. 34, s. 311 321.
Gibbons R. (1992), Game Theory for Applied Economists, Princeton University Press, Princeton,
New Jersey.
Jajuga K., Jajuga T. (2001), Inwestycje, PWN, Warszawa.
Krasa S., Villamil A. (2000), Optimal Contracts when Enforcement is a Decision Variable,
Econometrica, Vol. 68, No. 1, s. 119 134.
Krasa S., Villamil A. (2003), Optimal Contracts when Enforcement is a Decision Variable, a replay,
Econometrica, Vol. 71, No. 1, s. 391 393.
Lacker J. (2001), Collateralized Debt as the Optimal Contract, Review of Economic Design, Vol. 4,
s. 842 859.
Mesjasz C. (1999), Koszty transakcji i asymetria informacji jako przyczyny powstawania instytucji
pośrednictwa finansowego, Bank i Kredyt, nr 3, s. 38-40.
Mesjasz C. (2000), Kontrakty niekompletne i relacja przedstawicielstwa jako teoretyczne podstawy
nadzoru nad przedsiębiorstwem, referat przedstawiony podczas Szkoły Letniej  Warszawa
2000 , http://www.studenci.pl/zarzadzanie/proces/semeko_54.html.
Mookherjee D., Png I. (1989), Optimal Auditing, Insurance and Redistribution, Quarterly Journal of
Economics, Vol. 104, No. 2, s. 399 415.
Paliński A. (2008), Relacja kredytodawca-kredytobiorca w ujęciu teorii gier, w: P. Kawa (red.)
Współczesne uwarunkowania działalności przedsiębiorstw, Oficyna Wydawnicza Text, Kraków.
Sharma T. (2003), Optimal Contracts When Enforcement is a Decision Variable: A Comment,
Econometrica, Vol. 71, No. 1, s. 387 390.
Spence A. (1973), Job Market Signaling, Quarterly Journal of Economics, Vol. 87, No. 3,
s. 355 374.
Stradomski M. (2004), Zarządzanie strukturą zadłużenia przedsiębiorstwa, PWE, Warszawa.
Towsend R. (1979), Optimal Contracts and Competitive Markets with Costly State Verification, Journal
of Economic Theory, Vol. 21, s. 265 293.
Varian H. (2002), Mikroekonomia. Kurs średni  ujęcie nowoczesne, PWN, Warszawa.
A. Paliński
118
Watson J. (2005), Strategia. Wprowadzenie do teorii gier, WNT, Warszawa.
Webb D. (1992), Two-Period Financial Contracts with Private Information and Costly State Verification,
Quarterly Journal of Economics, Vol. 107, No. 3, s. 1113 1123.
Williamson S. (1986), Costly Monitoring, Financial Intermediation, and Equilibrium Credit Rationing,
Journal of Monetary Economics, Vol. 18, s. 159 179.
Williamson S. (1987), Costly Monitoring, Loan Contracts, and Equilibrium Credit Rationing, Quarterly
Journal of Economics, Vol. 102, No. 1, s. 135 146.
Podziękowania
Autor składa podziękowanie Recenzentom za cenne uwagi.
Costly verification as part of the bank-borrower relationship
Abstract
The paper attempts to explain why a standard loan agreement is such a popular form of debt agre-
ement. The reasoning was based on several major financial models belonging to a group of mo-
dels of costly verification. The models showed - through a formal proof - that a loan is an optimal
debt agreement in the context of costly verification by a creditor of actual return on investment.
Four models describing the lender  borrower relationship were subject to a detailed analysis:
a model of full symmetry of information, a model of costly verification in the case of information
asymmetry, a model of costly enforcement of payments and a model of heterogeneous valuations
of return on investment.
It turns out that a standard loan agreement is effective both ex ante and ex post in information
asymmetry conditions, costly verification of the return on investments and costly legal extortion.
However, certain conditions must be met in order to make this instrument an optimal debt
agreement.
Keywords: loan agreement, costly verification, information asymmetry