Ruch drgający
Ruch okresowy (periodyczny) - powtarzający się w regularnych odstępach
czasu.
Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym wyrażone za pomocą
funkcji sinus i cosinus �� drgania harmoniczne
Siła harmoniczna (sprężystości) - proporcjonalna do przesunięcia
ciała od początku układu i skierowana ku początkowi układu
F
F =� -�k �� x
x
gdzie x - przemieszczenie względem
położenia równowagi
An undamped spring-mass system undergoes simple harmonic motion.
http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion
Useful webpages:
http://video.answers.com/learn-about-harmonic-motion-part-3-no-calculus-99168827
http://www.electron.rmutphysics.com/physics/charud/scibook/Physics-for-Scientists-and-Engineers-
Serway-Beichner-4/13%20-%20Oscillatory%20Motion.pdf
Drgania harmoniczne
F =� -�k �� x
położenie równowagi
m
x = 0
F = 0
F > 0
ściskanie sprężyny
x<0
F < 0
rozciąganie sprężyny
x > 0
�� ��
II zasada dynamiki
F =� m �� a
2
d x
definicja przyspieszenia
a ��
dt2
2
d x k
=� -� x
Stąd:
równanie różniczkowe liniowe 2. rzędu
dt2 m
k
ogólne rozwiązania (przypadek 1-wymiarowy):
w�0 =�
m
x(t) =� A1 ��sin(w�0t) +� A2 ��cos(w�0t)
częstość drgań (rad/s)
Ponieważ złożeniem funkcji okresowych jest funkcja okresowa, stąd:
x(t) =� A��sin(w�0t +�j� ) x(t) =� A��cos(w�0t +�j� )
lub:
Stałe A i j� trzeba wyznaczyć z warunków początkowych tzn. x(0) i v(0)
A - maksymalne wychylenie (amplituda)
j� - faza poczatkowa
Złożenie funkcji okresowych - funkcja okresowa:
A1cosw�0t + A2sinw�0t = Asin(w�0t + j�)
A1cosw� t + A2sinw� t
A1cosw� t
A2sinw� t
2p�
okres (s)
T =�
w�0
Liczba drgań w czasie t : n = t/T
Po podzieleniu obu stron przez t - liczba drgań w jednostce czasu:
1
n 1
częstotliwość (Hz)
f =�
=�
T
t T
Położenie: x(t) = Acosw�0t amplituda: A (m)
j� =� 0
amplituda: Aw�0 (m/s)
Prędkość: dx/dt = v(t) =  Aw�0sinw�0t
amplituda: Aw�02
Przyspieszenie: d2x/dt2 = a(t) =  Aw�02cosw�0t
(m/s2)
(sina�)`=� cosa� (cosa�)`=� -�sina�
Simple pendulum
The motion of an undamped pendulum approximates to simple
harmonic motion if the amplitude is very small relative to that of the rod.
http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion
Wahadło proste (matematyczne)
Punkt materialny zawieszony na cienkiej,
nieważkiej i nierozciągliwej nici
r� r� r�
q�
F =� Q +� N
F =� -�mgsin�
dla małych kątów
l
L
N
sin� � �
m
x=Lq�
x=l
q�
x
q�
F =� -�mg
mgsinq�
L
mgcos
q�
g g
2 mg
a =� -� x �� w�0 =�
L L
okres małych drgań nie zależy od amplitudy
L
T =� 2p�
w� =� 2p� /T
ani masy wahadła
g
Wahadło fizyczne
P
Bryła sztywna zawieszona na poziomej osi
l
L
nieprzechodzącej przez środek masy
S
q�
M =� -�mgLsin�
Moment siły ciężkości:
d2q�
II zasada dynamiki bryły sztywnej:
M =� Ie� =� I
dt2
mg
Dla małych kątów
sin� � �
d2� mgL mgL
2
=� -� � �� w�0 =�
dt2 I I
l
okres drgań harmonicznych
T =� 2p�
mgL
I
I Lz
długość zredukowana
2p� =� 2p� �� Lz =�
wahadła fizycznego
mgL g
mL
Energia drgań harmonicznych
F
F =� -�k �� x
x
Ep
k �� x2
Ep =�
dEp
2
F =� -�
dx
x
punkt równowagi trwałej  minimum energii potencjalnej
Energia ruchu harmonicznego prostego
kx2
Energia potencjalna sprężyny:
Ep =�
2
Dla maksymalnie rozciągniętej sprężyny (x = A) jej energia:
EC = (1/2)kA2 Ek = 0
Po zwolnieniu sprężyny (przy założeniu braku tarcia i sił oporu),
zgodnie z zasadą zachowania energii, w dowolnej chwili:
suma energii kinetycznej i potencjalnej = (1/2)kA2
1 1 1
mv2 +� kx2 =� kA2
2 2 2
k
Stąd:
v2 =� (�A2 -� x2)�
m
Ponieważ k/m = w�02 więc: v =� w�0 A2 -� x2
Energia kinetyczna w ruchu harmonicznym
= k
kA2 sin2(�w�0t +�j�)�
Ek =�
mv2 mw�02A2 sin2(�w�0t +�j�)�
2
Ek =� =�
2 2
kA2 cos2(�w�0t +�j�)�
Ep =�
2
Oscylator harmoniczny tłumiony
Tłumienie oscylatora �� straty energii układu oscylatora
W przypadku drgań mechanicznych, siłą hamującą (tłumiącą) ruch
cząstki jest siła oporu Fop ośrodka.
v
Fop
Siła oporu lepkim płynie (cieczy lub gazie) ma zwrot przeciwny do
prędkości i jest wprost proporcjonalna do prędkości :
�� ��
Fop =� -�g� �� v
Fop = -g� dx/dt
Po włączeniu siły hamującej do oscylatora - równanie ruchu:
d2 x d x
m =� -�kx-�g�
dt2 dt
Wprowadzamy t� = m/g�
oraz oznaczamy częstość drgań nietłumionych w�02 = k/m
d2 x 1 d x
2
Otrzymujemy:
+� +�w�0 x =� 0
dt2 t� dt
Rozwiązanie w postaci drgań okresowo zmiennych tłumionych :
x =� Ae-�b� t cosw�t
Współczynnik b� = 1/(2t�) określający wielkość tłumienia nazywamy
współczynnikiem tłumienia.
Po obliczeniu pochodnych i podstawieniu do równania ruchu ��
warunek na częstość drgań tłumionych:
2 2
w� =� w�0 -� b�
Opór zmniejsza amplitudę i częstość drgań
Wielkość tłumienia określa:
Przypadek "słabego tłumienia" tj.
x
- współczynnik tłumienia b�
b� < w�0
A
(lub stała czasowa t� )
Ae-b�t
- logarytmiczny dekrement
tłumienia d�
Ae-b�tcosw� t
At Ae-�b�t
d� =� ln =� ln =�
0
At+�T Ae-�b� (t+�T )
=� ln eb�T =� b�T
-Ae-b�t
d� =� b�T
-A
T - okres drgań tłumionych
t
Przypadek tłumienia powyżej tzw. wartości krytycznej b� > w�0 �� ruch nie
jest ruchem drgającym, ciało wychylone z położenia równowagi powraca
do niego asymptotycznie �� ruch pełzający (aperiodyczny).
X
b� > w�
0
b� = w�
0
t
 Straty mocy, współczynnik dobroci
Definicja współczynnika dobroci Q:
Ezmagazynow
ana
Q =� 2p�
Estracona_ w _1_okresie
Dla przypadku słabo tłumionego oscylatora harmonicznego (b� << w�0)
Q � w�0/2b�
Typowe wartości Q
Oscylator Q
Ziemia dla fali sejsmicznej 250-400
Struna fortepianu lub skrzypiec 1000
Atom wzbudzony 107
Jądro wzbudzone 1012
Drgania wymuszone oscylatora
harmonicznego
Siła zewnętrzna F(t) przyłożona do oscylatora - podtrzymuje gasnące
drgania �� równanie ruchu:
d2 x d x
m +�g� +� kx =� F(t)
dt2 dt
Po podstawieniu t� = m/g� oraz w�02 = k/m:
d2 x 1 d x F(t)
2
+� +�w�0 x =�
dt2 t� dt m
gdzie: w�0 - częstość własna układu, tj. częstość drgań swobodnych, gdy nie
działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia ani innych sił oporu,
t� - stała czasowa związana ze współczynnikiem tłumienia b�
b� = 1/(2t�)
Gdy układ jest zasilany częstością w� różną od w�0, wówczas
drgania będą odbywały się z częstością siły zewnętrznej, a nie z
częstością własną.
Siłę F w tym przypadku nazywamy siłą wymuszającą.
F(t) F0 sinw�t
Założenie:
=� =� a�0 sinw�t
m m
gdzie a�0 = F0/m
Rozwiązanie postaci:
gdzie: A - amplituda
x=Asin(w�t +j�)
j� - przesunięcie fazowe
Przesunięcie fazowe j� mówi nam, o jaki kąt maksimum przemieszczenia
wyprzedza maksimum siły (o ile przesunięte są wykresy x(t) i F(t)).
Np. Siła osiąga swoje maksimum, gdy przemieszczenie jest równe zeru (i rośnie w
kierunku dodatnim). Oznacza to, że x opóz
nia się względem siły o p�/2.
Rozwiązanie
a�0
A =�
Amplituda:
2 2
[(w�0 -� w�2)2 +� 4b� w�2]1/ 2
2b�w�
Przesunięcie
tgj� =�
2
fazowe:
w�0 -� w�2
http://www.physics.rutgers.edu/~jackph/2005s/PS02.pdf
REZONANS
Zjawisko rezonansu występuje, gdy siła wymuszająca ma odpowiednią
częstotliwość �� gwałtowny wzrost amplitudy drgań nawet przy
niewielkiej wartości siły wymuszającej.
Częstość rezonansową w�r i
A
amplitudę rezonansową Ar
b�0 = 0
możemy obliczyć z warunku na
maksimum amplitudy drgań.
b�1
b�2
b�3
b�4
w�
w�
0�
a�0
Funkcja A(w�) osiąga maksimum
A =�
2 2
2b� w�0 -� b�
2 2
w�r =� w�0 -� 2b�
dla częstości rezonansowej:
Im mniejsze tłumienie b� (dłuższy czas t�), tym większa amplituda A.
Jeżeli tłumienie jest słabe (b� << w�0), to maksymalna amplituda
odpowiada częstości drgań własnych w�r = w�0.
Wówczas - przesunięci fazowe pomiędzy siłą a wychyleniem j� = p�/2.
�� siła nie jest zgodna w fazie z wychyleniem.
Moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą wymuszającą F zależy od
prędkości P = Fv
Graficzne przedstawienie drgania harmonicznego
Ruch rzutu końca wektora r na oś OY, przy czym wektor r wiruje dookoła
środka O ze stałą prędkością kątową w�
Długość rzutu wektora: ry = Asin(w�t+j�0)
A - promień koła
j�0 - kąt, jaki tworzy wektor r z osią OX w chwili t=o
Y
ry
j�0
O
X
Simple harmonic motion shown both in real space and phase space.
Składanie drgań w jednym kierunku
(drgania równoległe)
w�1 =� w�2
x1(t) =� A1 sin(w� t)
x =� x1 +� x2
drganie wypadkowe
x2(t) =� A2 sin(w� t)
Y
A
k1
A2
A=?
j�=?
j�2 j�
k2
k2
A1
j�1
O
X
Składanie drgań w jednym kierunku
x =� x1 +� x2
x1(t) =� Asin(w�1t)
A1 =� A2 =� A
drganie wypadkowe
x2(t) =� Asin(w�2t)
w�1 +�w�2 w�1 -�w�2
��cosć� ��
x =� x1(t) +� x2(t) =� 2Asinć� t t
�� �� �� ��
2 2
Ł� ł� Ł� ł�
w�1 -� w�2
w�1 +�w�2 C =� 2Acos
x =� C sinw�t
Oznaczenia: t
w� =�
2
2
ruch periodyczny
2p�
Td =�
w�1 -�w�2
Td
Modulacja amplitudowa
Zmienna amplituda C
Gdy w�1 i w�2 niewiele się różnią ą� dudnienia
Składanie drgań w kierunkach prostopadłych
f�
x(t) =� Ax sin(w�xt)
y(t) =� Ay sin(w�yt +� f�)
Krzywe Lissajous
w�y/w�x
Szczególne przypadki
w�x=w�y =w�, f�=0
Ay
x(t) =� Ax sin(w�t)
�� y =� x
odcinek linii prostej
Ax
y(t) =� Ay sin(w�t)
w�x=w�y =w�, f�=p�/2
x(t) =� Ax sin(w�t)
2
y x2
p�
elipsa
�� +� =� 1
y(t) =� Ay sin(w�t +� ) =� Ay cos(w�t) 2 2
Ay Ax
2